hdu3949 XOR(线性基)

HDU3949 XOR(线性基)

题目：

给你\(n\)个数，从其中随便取任意数问你第\(k\)小的异或和是多少。

题解：

这题是线性基的应用之一。咱们知道一个集合的线性基能够异或出这个集合的全部异或和，而且方法惟一。对于一个数x可否被异或出来，咱们能够这样作，假设x的最高位为r，那么在线性基里面找到最高为也为r的数，让x异或r。而后不断重复这个操做，若是最后x能为0那么确定是能的。而后咱们如今想一想怎么经过线性基求第k小的异或和。
首先，线性基能够当作一个最大线性无关组，也就是说最高位以上都是0。如今假设最大线性基是这样的：

00100010 - - - - - - 4
00011000 - - - - - - 3
00000110 - - - - - - 2
00000001 - - - - - - 1

那么异或和排序显然是（用编号表示）：
\(1\Rightarrow2\Rightarrow(2\bigoplus1)\Rightarrow3\Rightarrow(3\bigoplus1)\Rightarrow(3\bigoplus1\bigoplus2)\Rightarrow......\Rightarrow(4\bigoplus1\bigoplus2\bigoplus3)\)
这个排序显然是按照二进制最高位排序加上去的。可是若是想按这样的规律数显然是不行的。不过，咱们能够联系下上面说的一个数x可否组成的原理。若是我将线性基用离散化的思想处理，而后再按照上面的排序思想。就能够把题目转化乘k可否由离散后的线性基组成。
举个例子：咱们假设要求第k小的数，先上面的线性基离散化就能够当作

1000
0100
0010
0001

而后，这个新的线性基能够组成\(2^5-1\)排名内的全部数。也就是原线性基全部能够组成的异或的数量。k必定在这里面，不然就不存在。所以，咱们只须要分解k的全部1就好了。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1e5+5;
long long a[maxn],p[maxn],tot;
void Guass(int n)
{
    memset(p,0,sizeof(p));
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=63;j>=0;j--)
        {
            if((a[i]>>j)&1)
            {
                if(p[j]) a[i]^=p[j];
                else
                {
                    p[j]=a[i];
                    break;
                }
            }
        }
    }
    for(int i=63;i>=0;i--)
    {
        if(!p[i])continue;
        for(int j=i+1;j<=62;j++)
        {
            if((p[j]>>i)&1) p[j]^=p[i];
        }
    }
    tot=0;
    for(int i=0;i<=63;i++) if(p[i]) p[tot++]=p[i];
}
int main()
{
    int T,i,j,n,Q;
    long long k;
    scanf("%d",&T);
    for(int s=1;s<=T;s++)
    {
        printf("Case #%d:\n",s);
        scanf("%d",&n);
        for(i=1;i<=n;i++) scanf("%I64d",&a[i]);
        Guass(n);
        scanf("%d",&Q);
        while(Q--)
        {
            scanf("%I64d",&k);
            if(n!=tot)k--;
            if(k>=(1ll<<tot))printf("-1\n");
            else
            {
                long long ans=0;
                for(i=0;i<=63;i++) if((k>>i)&1) ans^=p[i];
                printf("%I64d\n",ans);
             } 
        }
    }
}