高等代数笔记2：向量空间与矩阵论

向量空间

向量空间的定义

向量空间就是解析几何中的平面向量和空间向量的进一步抽象。回顾解析几何的知识，平面中两个线性无关的向量能够线性表示整个平面上全部的向量，也就是说，对于任意的平面向量 $v$及两个线性无关的向量 $e_1,e_2$，都存在实数 $x_1,x_2$
$v=x_1e_1+x_2e_2$ $(x_1,x_2)$称为 $v$在 $e_1,e_2$下的坐标。有了两个线性无关的平面向量，全部平面都和一个实数对一一对应，一样地，全部空间向量都和一个三维实数对具备一一对应的关系。同时，向量的加法（按平行四边形法则）就是实数对各变元相加，向量的数乘就是实数对各变元乘以该实数。咱们将这一规则从2、三维推广到n维，就获得n维向量空间。
定义2.1 $K$是一个数域， $(x_1,x_2,\cdots,x_n)$的各变元都是 $K$中的数，全体这样的 $n$元数对构成的集合称为 $n$维向量空间

$n$维向量空间实际上就是 $n$维空间的一个"点"，只不过在二维和三维，咱们有明确的几何直观，二维的点就是平面上的一个点或平面上的一个向量，三维的点就是空间上的一个点或空间的一个向量。在超过四维的状况下，咱们就没法想象几何上的 $n$维向量到底“长成什么样”，不过形式是 $n$维实数对。咱们规定： $n$维向量空间上的加法为各变元分别相加，数乘为各变元分别乘以该常数。咱们就在 $n$维向量空间上，创建了两个运算。而且，按照数域的运算性质，容易验证 $n$维向量空间有以下的运算性质：
(1)(加法交换律) $x_1+x_2=x_2+x_1$
(2)(加法结合律) $x_1+x_2+x_3=x_1+(x_2+x_3)$
(3)(零元) $0+x=x$
(4)(存在相反元) $x+(-x)=0$
(5)(数乘交换律) $(ab)x=a(bx)$
(6)(数乘结合律) $(a+b)x=ax+bx$
(7)(数乘结合律) $a(x_1+x_2)=ax_1+ax_2$
(8)(单位元) $1.x=x$

这样，向量就好像“数”同样与数域中的数一块儿参与运算，这就启发咱们：能运算的，不只仅只有数，便是是抽象的集合中的元素，也是能够经过定义某种运算，具备某种运算规律，就能够如同数同样进行运算，这样，咱们对代数的认识，就从具体，走向抽象，能够认为：抽象，就是现阶段代数的核心！

固然，咱们不是为了抽象而进行抽象，向量空间有其明确的几何背景，那就是解析几何中的二维平面向量空间和三维立体几何向量空间，因此，接下来的任务，咱们要将平面解析几何和立体解析几何的若干观念，推广到 $n$维向量空间当中。

向量空间的结构

接下来，咱们将解析几何中的若干观念，推广到 $n$维向量空间中去。咱们知道，平面解析几何中，两个向量平行，就等价于存在实数 $k$， $x_1=kx_2$，此时
$x_1-kx_2=0$两个向量不平行，那么就不存在实数 $k$，使得 $x_1=kx_2$，若是假设
$k_1x_1+k_2x_2=0$那么，就必定有 $k_1=k_2=0$，不然，假设 $k_1\neq 0$，那么
$x_1=-\frac{k_2}{k_1}x_2$若是两个向量不平行，那么，平面上任意向量，均可以表为这两个向量的线性组合。
$x=k_1x_1+k_2x_2$对于 $n$维向量，一样有线性相关，线性无关，线性组合的概念。

定义2.2 $x_1,\cdots,x_m$是数域 $K$上的 $n$维向量空间的一个向量组， $k_1,\cdots,k_m\in K$，称向量 $k_1x_1+k_2x_2+\cdots+k_mx_m$是 $x_1,\cdots,x_m$的一个线性组合。

定义2.3 $x_1,\cdots,x_m$是 $K$上的 $n$维向量空间的一个向量组，若是存在 $K$上的一组不全为 $0$的数 $k_1,\cdots,k_m\in K$，使得线性组合
$k_1x_1+k_2x_2+\cdots+k_mx_m=0$则称 $x_1,\cdots,x_m$线性相关，不然称 $x_1,\cdots,x_m$线性无关

下面咱们给出线性相关和线性无关的一个等价定义
定理2.1 $x_1,\cdots,x_m$是 $K$上的 $n$维向量空间的一个向量组， $x_1,\cdots,x_m$线性相关的充要条件是存在某个向量能被其余向量线性表示

证：
$x_1,\cdots,x_m$线性相关，则存在不全为 $0$的 $K$中的数 $k_1,\cdots,k_m$，知足
$k_1x_1+k_2x_2+\cdots+k_mx_m=0$不失通常性，不妨设 $k_1\neq 0$，则 $x_1=-\frac{1}{k_1}[k_2x_2+\cdots+k_mx_m]$

这就说明了，向量组线性相关，就等价于某个向量是"多余"的，体如今该向量能表示成其余向量的线性组合，去掉该向量和保留该向量，先后的向量组是等价的。那么何谓向量组的等价呢？

定义2.4 $x_1,\cdots,x_s$， $y_1,\cdots,y_t$是 $K$上的 $n$维向量空间的两个向量组，若是每一个 $x_i$都能被 $y_1,\cdots,y_t$线性表出，则称 $x_1,\cdots,x_s$能被 $y_1,\cdots,y_t$线性表示；若是两个向量组能够相互线性表示，则称两个向量组等价。

容易验证，向量组之间的等价是一个等价关系，即知足自反性，对称性和传递性。容易证实，若是向量组线性相关，去掉能被其余向量线性表示的向量后，两个向量组是等价的，这就足以说明线性相关的缘由是由于存在某些多余的向量，剔除掉多余的向量，先后向量组等价。

那么，咱们天然联想到，对于线性相关的向量组，咱们逐个找到能被其余向量线性表示的向量，予以剔除，直到向量组线性无关，就获得彻底没有多余向量的向量组，而且，新的向量组能够线性表出原来线性相关的向量组，就像新的线性无关的向量组就像原来的向量组的一个“不平行的平面向量”通常，经过线性组合就能获得原来的全部向量，这是“基”这个概念的雏形，只不过，在向量组这里，咱们称为“极大线性无关组”。

以上过程获得的“极大线性无关组”可能会受到剔除顺序的影响的，不一样的剔除顺序获得的极大线性无关组都不一样，可是，同一个线性相关向量组经过以上过程获得的极大线性无关组，在向量的数量上是相等的，这就是空间的维度。下面，咱们对这里观点进行严格的论证。

为了论述这个结论，咱们先讨论齐次方程有非零解的一种特殊状况。

引理2.1 对数域 $K$上的齐次线性方程组
$\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=0\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=0\\ \cdots\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n=0 \end{cases}$
若是 $n>m$，则齐次方程必有非零解

证：
用数学概括法对 $m$进行概括：
$m=1$时，若是 $n\ge 2$，则方程组等价于1个方程
$a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=0$
若是 $a_{11}=0$，那么 $(1,0,\cdots,0)$便是一组非零解。不然， $(a_{12},-a_{11},0,\cdots,0)$便是一组非零解。
假设 $m=k$时结论都成立，对 $k+1$个方程，若是 $n>k+1$，不妨设 $a_{11},\cdots,a_{m1}$不全为0，不然 $(1,0,\cdots,0)$便是一组非零解。能够经过初等变换，方程等价于
$\begin{cases} x_1+b_{12}x_2+\cdots+b_{1n}x_n=0\\ 0x_1+b_{22}x_2+\cdots+b_{2n}x_n=0\\ \cdots\\ 0x_1+b_{(k+1)2}x_2+\cdots+b_{(k+1)n}x_n=0 \end{cases}$由概括假设，方程组
$\begin{cases} b_{22}x_2+\cdots+b_{2n}x_n=0\\ \cdots\\ b_{(k+1)2}x_2+\cdots+b_{(k+1)n}x_n=0 \end{cases}$存在一组非零解 $(x_2^0,\cdots,x_n^0)$，再令 $x_1^0=-b_{12}x_2^0+\cdots-b_{1n}x_n^0$ ，这样， $(x_1^0,x_2^0,\cdots,x_n^0)$就是方程组的一组非零解。

定理2.2 $x_1,\cdots,x_s$和 $y_1,\cdots,y_t$是数域 $K$上 $n$维向量空间的两个向量组， $x_1,\cdots,x_s$能被 $y_1,\cdots,y_t$线性表出， $y_1,\cdots,y_t$线性无关， $s > t$，则 $x_1,\cdots,x_s$线性相关

证：
由 $x_1,\cdots,x_s$能被 $y_1,\cdots,y_t$线性表出，则存在 $mn$个 $K$中的数 $k_{ij}$，使得
$\begin{cases} x_1=k_{11}y_1+\cdots+k_{1t}y_t\\ x_2=k_{21}y_1+\cdots+k_{2t}y_t\\ \cdots\\ x_s=k_{s1}y_1+\cdots+k_{st}y_t \end{cases}$令 $z_1,\cdots,z_s\in S$，而且
$z_1x_1+z_2x_2+\cdots+z_sx_s=0$由 $y_1,\cdots,y_t$线性无关，就获得线性方程组
$\begin{cases} k_{11}z_1+k_{21}z_2+\cdots+k_{s1}z_s=0\\ k_{12}z_1+k_{22}z_2+\cdots+k_{s2}z_s=0\\ \cdots\\ k_{1t}z_1+k_{2t}z_2+\cdots+k_{st}z_s=0 \end{cases}$因为 $s>t$，方程的未知量个数大于方程的个数，那么，方程必有非零解，这就说明了 $x_1,\cdots,x_s$线性相关

推论2.1 $x_1,\cdots,x_s$和 $y_1,\cdots,y_t$是数域 $K$上 $n$维向量空间的两个线性无关的向量组，而且等价，那么 $s=t$

定义2.5 $x_1,\cdots,x_m$是数域 $K$上 $n$维向量空间的一个的向量组， $y_1,\cdots,y_s$是 $x_1,\cdots,x_m$的一个子向量组，若是知足：
(1) $y_1,\cdots,y_s$线性无关
(2) $x_1,\cdots,x_m$可由 $y_1,\cdots,y_s$线性表出
则称 $y_1,\cdots,y_s$是 $x_1,\cdots,x_m$的极大线性无关组

任何向量组的极大线性无关组必定存在，但不惟一，但按照推论\ref{cor1}，极大线性无关组的向量个数必定是肯定的，称极大线性无关组的向量个数是向量组的秩。

向量组的秩，就如图向量组的维数，规定向量组最少能够由其中多少个向量线性表出。

最后，咱们来给出向量组和线性方程组之间的联系。对线性方程组
$\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=0\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=0\\ \cdots\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n=0 \end{cases}$
实际上，咱们能够表成
$x_1a_1+x_2a_2+\cdots+a_nx_n=0$其中 $a_i=(a_{1i},\cdots,a_{mi})$，这样，线性相关就至关以上齐次线性方程组由非零解，线性无关就至关于以上其次线性方程只有零解。

向量组的秩和矩阵的秩

接下来，咱们搭起向量组和矩阵之间的桥梁。向量组咱们能够写成矩阵的形式，将向量组元素按列排列就是列向量，按行排列就是行向量，那么，任何矩阵均可以视为一个行向量组和列向量组。下面，咱们来给出行向量组和列向量组的联系。行向量组的秩称为矩阵的行秩，列向量组的秩为矩阵的列秩

定理2.3 初等行变换不改变矩阵的行秩

证：
设矩阵 $A$的行向量组为 $x_1,x_2,\cdots,x_n$
交换第 $i$和 $j$行不改变行向量组的构成，交换第 $i$行和第 $j$行后行向量组等价。
将第 $i$行乘以一个非零常数 $k$，则行向量组变为
$x_1^\prime=x_1,\cdots,x_{i-1}^\prime=x_{i-1}, x_i^\prime=kx_i,x_{i+1}^\prime=x_{i+1},\cdots,x_n^\prime=x_n$ $\begin{cases} x_1 = x_1^\prime \\ \cdots\\ x_{i-1} =x_{i-1}^\prime \\ x_i = \frac{1}{k}x_i^\prime\\ x_{i+1} = x_{i+1}^\prime\\ \cdots\\ x_n= x_n^\prime \end{cases}$
所以，先后的行向量组等价。
相似地，能够验证将 $i$行加上第 $j$行的 $k$倍后，先后的行向量组等价。
所以，初等行变换后矩阵的行向量组都等价，初等行变换不改变矩阵的行秩

固然，初等行变换也不改变矩阵的列秩。
定理2.4 初等行变换不改变矩阵的列秩

证：
设 $y_1,\cdots,y_m$是矩阵的列向量组，其极大线性无关组为 $z_1,\cdots,z_s$。
再设 $z_i=(z_{i1},\cdots,z_{in})$，那么方程组
$\begin{cases} z_{11}x_1+z_{21}x_2+\cdots+z_{s1}x_s = 0\\ z_{12}x_1+z_{22}x_2+\cdots+z_{s2}x_s=0\\ \cdots\\ z_{1n}x_1+z_{2n}x_2+\cdots+z_{sn}x_s=0 \end{cases}$只有零解，交换两行至关于交换 $z_i$的两个变元，至关于交换方程组的两个方程，某行乘以 $k$倍至关于 $z_i$对应变元乘以 $k$倍，至关于线性方程组对应行乘以 $k$倍，将第 $j$行的 $k$倍加到第 $i$行至关于将第 $j$个份量的 $k$加到第 $i$个份量，至关于将第 $j$个方程的 $k$倍加到第 $i$个方程。
于是初等行变换后不改变极大线性无关组的线性无关性。只要证实变换后获得的 $z_1^\prime,\cdots,z_s^\prime$是 $y_1^\prime,\cdots,y_n^\prime$的极大线性无关组便可。实际上，因为 $z_1,\cdots,z_s$是 $y_1,\cdots,y_n$的极大线性无关组，对任意的 $i=1,\cdots,n$，存在 $K$中的常数 $x_1,\cdots,x_s$，使得：
$y_i=x_1z_1+\cdots+x_sz_s$设 $y_i=(y_{i1},\cdots,y_{in})$，写成线性方程组形式为
$\begin{cases} y_{i1}=z_{11}x_1+z_{21}x_2+\cdots+z_{s1}x_s\\ y_{i2}=z_{12}x_1+z_{22}x_2+\cdots+z_{s2}x_s\\ \cdots\\ y_{in}=z_{1n}x_1+z_{2n}x_2+\cdots+z_{sn}x_s \end{cases}$初等行变换至关于交换两个方程，某个方程乘以 $k$倍，将某个方程的 $k$倍加到另外一个方程，初等行变换先后方程组都成立，所以， $z_1^\prime,\cdots,z_s^\prime$是 $y_1^\prime,\cdots,y_n^\prime$的极大线性无关组

推论2.2 初等列变换不改变矩阵的行秩和列秩

咱们知道，任何矩阵均可以经过初等行变换化为行阶梯状矩阵。即 $i\le r$，第 $i$行第 $s_i$列为 $1$，前面的列为 $0$，后 $n-r$行全为0，而且 $1\le s_1<\cdots<s_r\le n$。再经过初等列变换，能够将矩阵化成以下的形式：
$\left[ \begin{matrix} 1& & & & & \\ &\cdots& & &0& \\ & & 1 & & & \\ & 0 & & &0& \end{matrix} \right]$以上矩阵称为矩阵的标准型，经过标准型，咱们就不可贵到

定理2.5 矩阵的行秩和列秩相等

咱们就称矩阵的行秩或列秩为矩阵的秩，矩阵 $A$的秩记为 $r(A)$。以上过程也提供了求解矩阵的秩的方法，就是利用矩阵的初等变换，化为阶梯阵或者标准型。

线性方程组解的结构

对于线性方程组，咱们最感兴趣的问题方程组有无解？若是有，有多少解，也就是解的个数。关于这个问题，咱们不妨将全部解视为一个空间，考察解空间的结构。
咱们先来考察齐次线性方程组的解的结构。对齐次线性方程组
$\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=0\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=0\\ \cdots\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n=0 \end{cases}$咱们关心的问题是齐次线性方程组是否有非零解。咱们将全部的解记成 $n$维向量的形式，全体解的集合记为 $V$，容易验证：
(1) $x_1,x_2\in V$，则 $x_1+x_2\in V$
(2) $x\in V,k\in K$，则 $kx\in V$
也就是说， $V$对向量的加法和数乘是封闭的。咱们把 $V$称为齐次线性方程组的解空间。正如平面上全部向量可由两个不共线的向量线性表出，空间上全部向量可由三个不共面的向量线性表出。解空间也有这么一组基，全部解均可以表为这组基的线性组合。
相似地，咱们就猜测 $V$是 $K$上齐次线性方程组
$\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=0\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=0\\ \cdots\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n=0 \end{cases}$的解空间，存在有限个线性无关的解向量 $\tau_1,\cdots,\tau_s$，方程组任意解可表为该向量组的惟一的线性组合。

定理2.6 对 $K$上齐次线性方程组
$\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=0\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=0\\ \cdots\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n=0 \end{cases}$ $V$是其解空间， $A$是其系数矩阵， $r=r(A)$，则存在 $n-r$个线性无关的解向量 $\tau_1,\cdots,\tau_{n-r}$， $V$中任意向量可表为 $\tau_1,\cdots,\tau_{n-r}$的线性组合

证：
设 $a_1,\cdots,a_n$是 $A$的列向量组。
若是 $r(A)=n$，方程组等价于
$x_1a_1+x_2a_2+\cdots+x_na_n=0$由 $a_1,\cdots,a_n$线性无关，方程组仅有零解。
若是 $r<n$，不妨设 $a_1,\cdots,a_r$是 $a_1,\cdots,a_n$的极大线性无关组，那么 $a_{r+1},\cdots,a_n$能被 $a_1,\cdots,a_r$线性表出，设
$\begin{cases} a_{r+1}=k_{11}a_1+\cdots+k_{r1}a_r\\ a_{r+2}=k_{12}a_1+\cdots+k_{r2}a_r\\ \cdots\\ a_n = k_{1(n-r)}a_1+\cdots+k_{r(n-r)}a_r \end{cases}$代入，就有
$\sum_{i=1}^r{(x_i+x_{r+1}k_{i1}+\cdots+x_nk_{i(n-r)})a_i} =0$再由 $a_1,\cdots,a_r$线性无关，就能够获得方程组 $\tag{1} \begin{cases} x_1+x_{r+1}k_{11}+\cdots+x_nk_{1(n-r)}=0\\ x_2+x_{r+1}k_{21}+\cdots+x_nk_{2(n-r)}=0\\ \cdots\\ x_r+x_{r+1}k_{r1}+\cdots+x_nk_{r(n-r)}=0 \end{cases}$对 $i=1,\cdots,n-r$，令
$\tau_i = (-k_{1i},\cdots,-k_{ri},0,\cdots,0,1,0,\cdots,0)$即第 $r+i$个变元取1，前 $r$个变元取 $(-k_{1i},\cdots,-k_{ri})$，其他变元取0。容易验证 $\tau_1,\cdots,\tau_{n-r}$是方程组的解向量，而且线性无关。
任意线性方程组的解必然知足方程组(1)。这样，设 $(x_1,\cdots,x_r,x_{r+1},\cdots,x_n)$是方程组的解，就有
$\left( \begin{matrix} x_1\\ x_2\\ \cdots\\ x_r \end{matrix} \right)= \sum_{i=1}^{n-r}x_{r+i} \left( \begin{matrix} -k_{1i}\\ -k_{2i}\\ \cdots\\ -k_{ri} \end{matrix} \right)$因而
$\left( \begin{matrix} x_1\\ x_2\\ \cdots\\ x_r\\ x_{r+1}\\ \cdots\\ x_{n} \end{matrix} \right) = \sum_{i=1}^{n-r}x_{r+i} \tau_i$即任意解向量均可以表为 $\tau_1,\cdots,\tau_r$的线性组合

这就证实了基础解系的存在性，而且由基础解系的构造，任意齐次线性方程组任意两个基础解系的向量个数是一致的。而且，由上面的证实过程，咱们知道 $x_{r+1},\cdots,x_n$是能够任取的，取定一组值， $x_1,\cdots,x_r$随之肯定，就获得齐次方程组的一组解，这 $n-r$个元就称为自由变元。总结上面的论述，就有：

定理2.7 齐次线性方程组的系数矩阵为 $A$， $n$为未知数个数， $r=r(A)$，则方程组有非零解的充要条件是 $r<n$，而且解空间的维数是 $n-r$

至此，咱们完美地解决了齐次线性方程组的求解问题。如今，咱们转入到非齐次方程组的求解问题。对非齐次线性方程组
$\begin{cases} a_{11}x_1+\cdots+a_{1n}x_n=b_1\\ a_{21}x_1+\cdots+a_{2n}x_n=b_2\\ \cdots\\ a_{m1}x_1+\cdots+a_{mn}x_n=b_m \end{cases}$咱们记系数矩阵为 $A$，增广矩阵为 $\overline{A}$。系数矩阵的列向量组为 $a_1,\cdots,a_n$，常数项向量为 $\beta$，方程组就等价于
$a_1x_1+\cdots+a_nx_n=\beta$也就是 $\beta$可否被 $a_1,\cdots,a_n$线性表出。

引理2.3 $x_1,\cdots,x_m\in K^n$是 $K^n$上线性无关的向量组， $\beta in K^n$，若是 $x_1,\cdots,x_m,\beta$线性相关，则存在惟一的一组 $k_1,\cdots,k_m\in K$，使得
$\beta = k_1x_1+\cdots+k_mx_m$

证：
因为 $x_1,\cdots,x_m,\beta$，存在不全为0的一组数 $k_1,\cdots,k_m,k_{m+1}$，使得
$k_1x_1+\cdots+k_mx_m+k_{m+1}\beta=0$若是 $k_{m+1}\neq 0$，那么 $k_1,\cdots,k_m$不全为0，而且
$k_1x_1+\cdots+k_mx_m=0$与 $x_1,\cdots,x_m$线性无关矛盾，所以 $k_{m+1}\neq 0$，即
$\beta = -\frac{1}{k_{m+1}}{k_1x_1+\cdots+k_mx_m}$这就证实了存在性，再证惟一性，假设
$\beta = k_{1}x_1+\cdots+k_mx_m$
$\beta = l_1x_1+\cdots+l_mx_m$那么
$(k_1-l_1)x_1+\cdots+(k_m-l_m)x_m=0$由 $x_1,\cdots,x_m$线性无关，就有
$k_i=l_i\quad i=1,\cdots,m$

定理2.8 非齐次线性方程组的系数矩阵为 $A$，增广矩阵为 $\overline{A}$，则方程组有解的充要条件是 $r(A)=r(\overline{A})$

证：
设 $A$的列向量组为 $a_1,\cdots,a_n$，常数项向量为 $\beta$
必要性，假设方程组有解，那么 $\beta$能被 $a_1,\cdots,a_n$线性表出，所以， $a_1,\cdots,a_n,\beta$\和 $a_1,\cdots,a_n$等价，从而秩相等，所以 $r(A)=r(\overline{A})$
充分性，假设 $r(A)=r(\overline{A})$，反证法，假设 $\beta$不能被 $a_1,\cdots,a_n$线性表出，设 $a_1^\prime,\cdots,a_s^\prime$是 $a_1,\cdots,a_n$的极大线性无关组，那么 $a_1^\prime,\cdots,a_s^\prime,\beta$必定线性无关，不然 $\beta$能被 $a_1^\prime,\cdots,a_s^\prime$线性表出，与假设矛盾，这样
$r(\overline{A})\ge r(A)+1>r(A)$又与 $r(A)=r(\overline{A})$矛盾，矛盾的根源在假设了 $\beta$不能被 $a_1,\cdots,a_n$线性表出，故 $\beta$能被 $a_1,\cdots,a_n$线性表出，齐次线性方程组有解

假设非齐次方程组有解，那么解空间又是何种结构呢？设非齐次线性方程组的解空间是 $V$，若是 $x_1\in V$，对任意的 $x\in V$， $x-x_1$就是齐次方程的解。也就是说，假设 $\tau_1,\cdots,\tau_{n-r}$是齐次方程的基础解系，那么存在 $c_1,\cdots,c_{n-r}$，使得
$x=x_1+c_1\tau_1+\cdots+c_{n-r}\tau_{n-r}$反过来，对任意的常数 $c_1,\cdots,c_{n-r}$，向量
$x_1+c_1\tau_1+\cdots+c_{n-r}\tau_{n-r}$一定是非齐次方程的解，也就是说，任何非齐次方程的解等于某个特解+齐次方程的通解。至此，咱们已经明晰了非齐次方程和齐次方程解的结构，咱们对上面的论述，总结到以下定理：

定理2.9 非齐次线性方程的系数矩阵为 $A$，增广矩阵为 $\overline{A}$，未知数个数为 $n$，则
(1) $r(A)\neq r(\overline{A})$时方程组无解
(2) $r(A)=r(\overline{A})=n$时，方程组有惟一解
(3) $r(A)=r(\overline{A})<n$时，方程组有无穷多组解

至此，咱们完全回答了如何求解线性方程组，线性方程组有无解，有多少解的问题。而咱们回答这些问题的过程，是借助向量空间而非直接对数的运算进行讨论的，咱们也能够看到，方程组有界仍是无解的问题，齐次方程有无非零解的问题，本质上是向量空间的向量组线性相关仍是线性无关，向量组的秩，以及某个向量可否被系数矩阵向量组线性表示的问题。可见，要解决一个代数方程的问题，咱们不必定要直接对数的运算进行讨论。更多的是认清代数方程背后的抽象代数系统的代数结构，这就是代数学的核心与精髓。

矩阵论初步

矩阵的加法和数乘

上一章，咱们将矩阵视为向量的组合，这一章，咱们把矩阵视为单独的元素，赋予矩阵一些运算，使矩阵也成为一个代数系统。咱们将会看到，能"算"的，不只仅只有数和向量，甚至矩阵也能"算"。

咱们记全体 $K$上的 $m$行 $n$列矩阵为 $M_{m,n}$，定义 $M_{m,n}$上的加法是对应位置的数相加，即 $\left[ \begin{matrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn} \end{matrix} \right] + \left[ \begin{matrix} b_{11}&b_{12}&\cdots&b_{1n}\\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\ b_{m1}&b_{m2}&\cdots&b_{mn} \end{matrix} \right] =\\ \left[ \begin{matrix} a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}&\cdots&a_{1n}+b_{1n}\\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\ a_{m1}+b_{m1}&a_{m2}+b_{m2}&\cdots&a_{mn}+b_{mn} \end{matrix} \right]$矩阵的数乘定义为 $k\left[ \begin{matrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn} \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} ka_{11}&ka_{12}&\cdots&ka_{1n}\\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\ ka_{m1}&ka_{m2}&\cdots&ka_{mn} \end{matrix} \right]$由数域的运算规律，容易验证，矩阵空间 $M_{m,n}$也有以下的八条运算规律：
(1) $A\in M_{m,n},B\in M_{m,n}$