统计学习方法笔记 -- 概论
统计学习方法是基于训练数据构建统计模型，从而对数据进行预测和分析。
统计学习分为，监督学习（supervised learning），非监督学习，半监督学习和强化学习（reinforcement learning），其中以监督学习最为常见和重要，因此这里只讨论监督学习算法
统计学习的过程以下，
1. 获取训练数据集合
2. 肯定假设空间，即全部可能的模型的集合
3. 肯定模型选择的准则（什么是最优模型的标准），即学习的策略
4. 实现求解最优模型的算法（如何获取最优模型），即学习的算法
5. 经过算法中假设空间中，找到最优模型
6. 使用该模型对新数据进行预测和分析函数
输入数据
输入实例x记做，学习
训练集，有一组输入/输出数据组成，表示为 
测试
联合几率分布
监督学习假设输入和输出的随机变量X和Y遵循联合几率分布P(X,Y)，P(X,Y)表示分布函数或分布密度函数。
这个是基本假设，即输入和输出数据间是存在某种规律和联系的，不然若是彻底随机的，就谈不上学习了。而且训练数据和测试数据是依据P(X,Y)独立同分布产生的优化
假设空间
监督学习的目的在于学习一个由输入到输出的映射，这个映射由模型来表示。
而这样的模型不仅一个，可能不少，全部可能的模型的集合就是假设空间（hypothesis space）. 假设空间表明了学习的范围，监督学习的目的就是从假设空间中找到最优的模型spa
统计学习三要素 
3d
模型
在监督学习中，模型有两类
非几率模型，决策函数 
几率模型，条件几率 
orm
策略
如何定义一个模型好坏？blog
损失函数(L(Y,f(X))，度量一次预测的结果好坏，即表示预测值f(X)和真实值Y之间的差别程度。 
ip
其余几个损失函数都比较好理解
对数损失函数，解释一下
首先它用于几率模型，最精确的预测P(Y|X)=1，因此为1时L=0，没有损失
而P都是小于1，因此对数为负，而且越小L的值越大，想一想对数分布曲线
风险函数(risk function)或指望损失(expected loss)
用于度量平均预测结果的好坏，其实就是损失函数的指望
输入X，输出Y遵循联合分布P(X,Y)，定义以下 
数学指望
参考http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E6%9C%9F%E6%9C%9B
指望就是求平均值，对于离散值很简单，乘上几率相加就能够，好比抛骰子的指望就是，
对于连续数据，稍微复杂些，须要使用积分，本质仍是同样的。
积分参考，http://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%A7%AF%E5%88%86
上面说了风险函数代码了模型的平均的预测结果，因此学习的目标应该是选择风险函数最小的模型。
可是问题在于，计算风险函数须要知道联合分布P(X,Y)，可是这个是没法知道的，不然也不用学习了，因此监督学习就成了一个病态问题（ill-formed problem），即没法精确的判断模型真正的效果
经验风险(empirical risk或经验损失(empirical loss)
既然没法获得真正的风险函数的值，咱们就用训练数据集上的平均损失来模拟真正的风险函数 
当N无穷大的时候，经验风险会逼近指望风险
因此咱们能够采用经验风险最小化（empirical risk minimization, ERM）的策略来找到最优的模型，当样本容量足够大的时候，能保证很好的学习效果
在现实中被普遍使用，好比，极大似然估计（maximum likelihood estimation）
固然这种策略的问题就是会致使过拟合（over-fitting）现象
因此提出结构风险最小化（structural risk minimization，SRM）策略来防止过拟合 
其实思路很简单，就是在经验风险后面加上表示模型复杂度的正则化项（regularizer）或罚项（penalty term），其中J(f)表示模型复杂度，模型越复杂就越大
由于越是过拟合的模型越是复杂，因此经过regularizer能够有效平衡拟合程度
算法
用什么样的方法来求解最优模型
这样统计学习模型就归结为最优化问题，若是最优化问题有显式的解析解，比较简单，直接求出便可。但一般解析解是不存在的，因此就须要利用最优化算法来求解。
过拟合与模型选择
再仔细分析一下过拟合问题
当咱们在假设空间中，选择模型的时候，但愿能够尽量逼近那个“真”模型，具体上讲就是两个模型间，参数个数相同，而且参数向量相近
可是若是在选择的时候一味的提升对训练集的预测能力，会致使获得比真模型复杂度更高的模型，即包含更多的参数，称为过拟合
例子，用M次多项式去拟合图中训练集中的10数据点 
能够看到当多项式参数个数为0，1时拟合效果是不好的
但当为9时，完美的通过训练集中的每一个点，但由于训练集是有噪点的，因此这个模型过于复杂，拟合程度也很差，这就是过拟合
只有当为3时，达到很好的拟合效果
以下图，当训练偏差接近于0的时候，模型复杂度会大大增长，而且测试偏差也会变大，因此必需要找到那个平衡点上的模型
问题是如何找到，下面有两个方法
正则法
这个方法前面提过 
正则项能够有不一样的形式，好比在回归问题中，损失函数是平方损失，正则项能够是参数向量的L1范数或L2范数
具体定义参考下面，反正均可以表明模型的复杂度
给定向量x=（x1，x2，...xn）
L1范数：向量各个元素绝对值之和，曼哈頓距離
L2范数：向量各个元素的平方求和而后求平方根，歐幾里得距離
正则法是符合奥卡姆剃刀（Occam’s razor，http://zh.wikipedia.org/zh/%E5%A5%A5%E5%8D%A1%E5%A7%86%E5%89%83%E5%88%80）原理的，优先选择更简单的模型
交叉验证
1. 简单交叉验证，将数据70%做为训练集，30%做为测试集，而后选出测试偏差最小的模型
2. S-fold交叉验证，将数据随机分红S份，将S-1份做为训练集，剩下的做为测试集，对于训练集和测试集有S种选择，因此选出S次评测的平均偏差最小的模型
3. leave-one-out交叉验证，S-fold的特例，用于数据缺少的状况，S=N，即一份里面只有一个数据
泛化能力（generalization ability）
学习方法的泛化能力指该方法学习到的模型对未知数据的预测能力
每每采用经过测试偏差来评价学习方法的泛化能力，问题是过于依赖测试集，而且测试集是有限的，不是很可靠
因此定义泛化偏差来表示泛化能力
泛化偏差（generalization error），即模型的指望风险 
可是指望风险是没法精确算出的，因此只能定义
泛化偏差上界 （generalization error bound） 
前面说了，指望风险是没法算出的，因此思路仍然是用经验偏差加上一项来表明泛化偏差的上界，具体证实就不写了
理解，
第一项是经验偏差（训练偏差）
第二项，N是样本数量，当N趋于无穷时，这项为0，即指望偏差等于经验偏差
d表示假设空间中的函数个数，越大就越难学，泛化偏差就越大
统计学习的分类
生成模型和判别模型
生成方法
由数据学习联合几率分布P(X,Y)，而后求出条件几率分布P(Y|X)做为预测模型，即生成模型，典型的如，朴素贝叶斯和隐马尔可夫模型 
优势，
能够获得联合几率分布
收敛速度更快
当存在隐变量时，仍可使用
判别方法
由数据直接学习决策函数f(X)或条件几率分布P(Y|X)做为预测模型，即判别模型
典型的如，KNN，感知机，决策树，逻辑回归，支持向量等
优势，
学习准确率比较高
便于对数据进行抽象，能够简化学习问题
统计学习还能够根据输入输出的不一样类型，分为，
分类问题
输出变量是有限个离散值时，就是分类问题
学习出的分类模型或分类决策函数称为分类器（classifier）
标注问题
输入是一个观测序列，而输出是一个标记序列
典型的应用，词性标注，输入词序列，输出是（词，词性）的标记序列
回归问题 输入输出都是连续变量是，就是回归问题，等价于函数拟合