算法详解之Tarjan

“tarjan陪伴强联通份量
生成树完成后思路才闪光
欧拉跑过的七桥古塘
让你 心驰神往”----《膜你抄》

1、tarjan求强连通份量

1. 什么是强连通份量？

引用来自度娘的一句话：

“有向图强连通份量：在有向图G中，若是两个顶点vi,vj间（vi>vj）有一条从vi到vj的有向路径，同时还有一条从vj到vi的有向路径，则称两个顶点强连通(strongly connected)。
若是有向图G的每两个顶点都强连通，称G是一个强连通图。有向图的极大强连通子图，称为强连通份量(strongly connected components)。”

一脸懵逼......不过倒也不难理解。

反正就是在图中找到一个最大的图，使这个图中每一个两点都可以互相到达。这个最大的图称为强连通份量，同时一个点也属于强连通份量。

如图中强连通份量有三个：1-2-3,4,5

1. 强连通份量怎么找？

噫......固然，经过肉眼能够很直观地看出1-2-3是一组强连通份量，但很遗憾，机器并无眼睛，因此该怎么判断强连通份量呢？

若是还是上面那张图，咱们对它进行dfs遍历。

能够注意到红边很是特别，由于若是按照遍历时间来分类的话，其余边都指向在本身以后被遍历到的点，而红边指向的则是比本身先被遍历到的点。

若是存在这么一条边，那么咱们能够yy一下，emmmm.......

从一个点出发，一直向下遍历，而后忽得找到一个点，那个点居然有条指回这一个点的边！

那么想必这个点可以从自身出发再回到自身

想必这个点和其余向下遍历的该路径上的全部点构成了一个环，

想必这个环上的全部点都是强联通的。

但只是强联通啊，咱们须要求的但是强连通份量啊......

那怎么办呢？

咱们仍是yy出那棵dfs树

不妨想一下，何时一个点和他的全部子孙节点中的一部分构成强连通份量？

他的子孙再也没有指向他的祖先的边，却有指向他本身的边

由于只要他的子孙节点有指向祖先的边，显然能够构成一个更大的强联通图。

好比说图中红色为强连通份量，而蓝色只是强联通图

那么咱们只须要知道这个点u下面的全部子节点有没有连着这个点的祖先就好了。

但彷佛还有一个问题啊......

咱们怎么知道这个点u它下面的全部子节点必定是都与他强联通的呢？

这彷佛是不对的，这个点u之下的全部点不必定都强联通

那么怎么在退回到这个点的时候，知道全部和这个点u构成强连通份量的点呢？

开个栈记录就好了

什么？！这么简单？

没错~就是这么简单~

若是在这个点以后被遍历到的点已经能与其下面的一部分点（也可能就只有他一个点）已经构成强连通份量，即它已是最大的。

那么把它们一块儿从栈里弹出来就好了。

因此最后处理到点u时若是u的子孙没有指向其祖先的边，那么它以后的点确定都已经处理好了，一个常见的思想，能够理解一下。

因此就能够保证栈里留下来u后的点都是能与它构成强连通份量的。

彷佛作法已经明了了，用程序应该怎么实现呢？

因此为了实现上面的操做，咱们须要一些辅助数组

• (1)、dfn[ ]，表示这个点在dfs时是第几个被搜到的。

• (2)、low[ ]，表示这个点以及其子孙节点连的全部点中dfn最小的值

• (3)、stack[ ]，表示当前全部可能能构成是强连通份量的点。

• (4)、vis[ ]，表示一个点是否在stack[ ]数组中。

那么按照之上的思路，咱们来考虑这几个数组的用处以及tarjan的过程。

假设如今开始遍历点u：

(1)、首先初始化dfn[u]=low[u]=第几个被dfs到

dfn能够理解，但为何low也要这么作呢？

由于low的定义如上，也就是说若是没有子孙与u的祖先相连的话，dfn[u]必定是它和它的全部子孙中dfn最小的（由于它的全部子孙必定比他后搜到）。

(2)、将u存入stack[ ]中，并将vis[u]设为true

stack[ ]有什么用？

若是u在stack中，u以后的全部点在u被回溯到时u和栈中全部在它以后的点都构成强连通份量。

(3)、遍历u的每个能到的点，若是这个点dfn[ ]为0，即仍未访问过，那么就对点v进行dfs，而后low[u]=min{low[u],low[v]}

low[ ]有什么用？

应该能看出来吧，就是记录一个点它最大能连通到哪一个祖先节点（固然包括本身）

若是遍历到的这个点已经被遍历到了，那么看它当前有没有在stack[ ]里,若是有那么low[u]=min{low[u],low[v]}

若是已经被弹掉了，说明不管如何这个点也不能与u构成强连通份量，由于它不能到达u

若是还在栈里，说明这个点确定能到达u，一样u能到达他，他俩强联通。

(4)、假设咱们已经dfs完了u的全部的子树那么以后不管咱们再怎么dfs，u点的low值已经不会再变了。

那么若是dfn[u]=low[u]这说明了什么呢？

再结合一下dfn和low的定义来看看吧

dfn表示u点被dfs到的时间，low表示u和u全部的子树所能到达的点中dfn最小的。

这说明了u点及u点之下的全部子节点没有边是指向u的祖先的了，即咱们以前说的u点与它的子孙节点构成了一个最大的强连通图即强连通份量

此时咱们获得了一个强连通份量，把全部的u点之后压入栈中的点和u点一并弹出，将它们的vis置为false，若有须要也能够给它们打上相同标记（同一个数字）

对了，tarjan一遍不能搜完全部的点，由于存在孤立点或者其余

因此咱们要对一趟跑下来尚未被访问到的点继续跑tarjan

怎么知道这个点有没有被访问呢？

看看它的dfn是否为0！

这看起来彷佛是o(\(n^2\))的复杂度，但其实均摊下来每一个点只会被遍历一遍

因此tarjan的复杂度为o(\(n\))。

tarjan到此结束

参考博文:http://www.javashuo.com/article/p-tajucyol-gy.html