tarjan算法总结

部份内容引自https://www.cnblogs.com/stxy-ferryman/p/7779347.html

Tarjan算法不是一个算法而是一类算法

1.求取强连通份量

　　强连通份量————有向图的强连通子图

　　tarjan算法基于dfs，利用栈的思想，把下面全部的点都遍历完毕后，所能连接的最小祖先节点（可能没有），就是要寻找的强连通份量

　　因此咱们须要dfn数组存储dfs的遍历顺序,low数组存储这个节点后全部的子孙节点所能到达的最小节点（dfn最小）值

　　为了可以得知构成这个强连通份量的全部的点，能够利用栈去记录，由于退的时候，确定是退到最头上（若是有额外的分支，那么以前确定早就退栈了）

　　当咱们遍历的时候初始化时dfn = low = idx这个初始化意思很好懂，若是没有后继节点，值就是这个

　　接下来咱们可能会面对三种点

　　·没有遍历过的，咱们就递归tarjan遍历，而后优化low[u] = min(low[u],low[v])

　　·咱们遍历过了，这个点还在栈中，那就表明这个点u能够到达，因此咱们更新的时候,low[u] = min(low[u],dfn[v])_____你要知道此时的low[v]是取决于如今的low[u]的由于v在栈中，因此u是v的后继节点，这是一条返祖边

　　·咱们遍历过了，这个点不在栈中了，证实这个点经历了一次退栈，造成了一次联通份量，可是不包括u，由于这个点不能到达u，若是这个点能够到达u的话，u又能够到达这个点，那么就不会退栈了（这里的到达都是要通过子孙节点的），因此对于这样的点，没必要考虑任何问题

　因此直到遍历完全部的子孙节点咱们就能够进行退栈的操做了，那些独立的联通份量的标志就是

　　low == dfn

　　意思就是对于节点u，其子孙节点所能到达的最大节点就是u，也就是造成了一个回路，环，并且能够保证这个环是最大的

因此说了这么多，以上的算法思想用于求取一个图的强连通份量——最后进行color染色处理

void tarjan(int u,int fa)
{
    dfn[u] = low[u] = ++index;
    stk[s_cnt++] = u;
    instk[u] = true;
    
    for(int i = id[u];~i;i = e[i].pre)
    {
        int v = e[i].to;
        if(!dfn[v])
        {
            tarjan(v,u);
            low[u] = min(low[u],low[v]);
        }
        else if(instk[v] == true)
        {
            low[u] = min(low[u],dfn[v]);
        }
    }
    if(dfn[u] == low[u])
    {
        col++;
        while(s_cnt > 0 && stk[s_cnt] != u)
        {
            s_cnt --;
            color[stk[s_cnt]] = col;
            instk[stk[s_cnt]] = false;
        }
    }
}

 2.tarjan缩点

利用tarjan算法能够把一个图变成单向无环图

这个继承自强连通份量，对于每个强连通份量，咱们可以看出一个超级点，这个超级点的内部能够互相到达，而后根据这个图所表示的含义，一般要去计算超级点的度，最后输出知足题意的超级点内全部的点

和上面的代码一致

3·求割点和桥（割边）

割点：去掉这个点（和这个点外射的全部边），把一个连通图变成多个连通份量

割边：一样的道理，去掉这条边，把一个连通图变成多个连通份量

这时候咱们要判断什么时候是一个割点

　　1.当前节点是根节点——从这个节点开始的dfs，因此若是这个点有两个子树，那么就是一个割点

　　2.任意节点，若是low[v] >= dfn[u],表示u的这个子孙可以到达的最小祖先节点是比u小的，因此u是子孙v链接祖先的关键点

void tarjan_gedian(int u,int fa)
{
    int son = 0;
    dfn[u] = low[u] = ++index;
    for(int i = id[u];~i;i = e[i].pre)
    {
        int v = e[i].to;
        if(!dfn[v])
        {
            tarjan(v,u);　　　　　　　　son++;
            low[u] = min(low[u],low[v]);
            if(u != root && low[v] >= dfn[u])
            {
                cut_point[u] = 1;
            }
            else if(u == root && son > 1)
            {
                cut_point[u] = 1;
            }
        }
        else if(v != fa)对于割点u这是一条回路，且u割去以后毫无影响，因此忽略这样的两点间回路状况
        {
            low[u] = min(low[u],dfn[v]);
        }
    }
}