Tarjan 算法&模板

Tarjan 算法

一.算法简介

Tarjan 算法一种由Robert Tarjan提出的求解有向图强连通份量的算法，它能作到线性时间的复杂度。

 

咱们定义：

若是两个顶点能够相互通达，则称两个顶点强连通(strongly connected)。若是有向图G的每两个顶点都强连通，称G是一个强连通图。有向图的极大强连通子图，称为强连通份量(strongly connected components)。

例如：在上图中，{1 , 2 , 3 , 4 } , { 5 }　,  { 6 } 三个区域能够相互连通，称为这个图的强连通份量。

Tarjan算法是基于对图深度优先搜索的算法，每一个强连通份量为搜索树中的一棵子树。搜索时，把当前搜索树中未处理的节点加入一个堆栈，回溯时能够判断栈顶到栈中的节点是否为一个强连通份量。

再Tarjan算法中，有以下定义。

DFN[ i ] : 在DFS中该节点被搜索的次序(时间戳)

LOW[ i ] : 为i或i的子树可以追溯到的最先的栈中节点的次序号

当DFN[ i ]==LOW[ i ]时，为i或i的子树能够构成一个强连通份量。

 

二.算法图示

以1为Tarjan 算法的起始点，如图

顺次DFS搜到节点6

 回溯时发现LOW[ 5 ]==DFN[ 5 ] ,  LOW[ 6 ]==DFN[ 6 ] ,则{ 5 } , { 6 } 为两个强连通份量。回溯至3节点，拓展节点4.

拓展节点1 ， 发现1再栈中更新LOW[ 4 ]，LOW[ 3 ] 的值为1

 回溯节点1，拓展节点2

自此，Tarjan Algorithm 结束，{1 , 2 , 3 , 4 } , { 5 }　,  { 6 } 为图中的三个强连通份量。

不难发现，Tarjan Algorithm 的时间复杂度为O(E+V).

三.算法模板

 1 void Tarjan ( int x ) {
 2          dfn[ x ] = ++dfs_num ;
 3          low[ x ] = dfs_num ;
 4          vis [ x ] = true ;//是否在栈中
 5          stack [ ++top ] = x ;
 6          for ( int i=head[ x ] ; i!=0 ; i=e[i].next ){
 7                   int temp = e[ i ].to ;
 8                   if ( !dfn[ temp ] ){
 9                            Tarjan ( temp ) ;
10                            low[ x ] = gmin ( low[ x ] , low[ temp ] ) ;
11                  }
12                  else if ( vis[ temp ])low[ x ] = gmin ( low[ x ] , dfn[ temp ] ) ;
13          }
14          if ( dfn[ x ]==low[ x ] ) {//构成强连通份量
15                   vis[ x ] = false ;
16                   color[ x ] = ++col_num ;//染色
17                   while ( stack[ top ] != x ) {//清空
18                            color [stack[ top ]] = col_num ;
19                            vis [ stack[ top-- ] ] = false ;
20                  }
21                  top -- ;
22          }
23 }

 

 

(完)