逆元讲解（三种方法）

【同余的定义】：

 

【同余的主要性质】：

 

 (a+b)%d=(a%d+b%d)%d

 加减乘除都能分开写

 要注意的是减法，由于减法可能会减出来负值因此能够这样写（a-b+mod）%mod；

性质证实：

 

 

【逆元】

（1）定义：

 就是一个数的倒数，那为何要求一个数的倒数：好比a/b这个时候b的值特别大，就是致使double精度不够因此咱们要将a/b换成a*c，其中c^-1=b.

 

【费马小引理求解逆元】：（易知费马定理是有限制的：a与p要互质）

代码实现：（精华就是快速幂）

 1 long long quickpow(long long a,long long b){
 2  if(b<0)  return 0;
 3  long long ret=1;
 4  a%=mod;
 5  while(b){
 6   if(b & 1 ) ret = ( ret *a ) % mod
 7   b>>=1;
 8   a = (a * a)% mod;
 9  }
10  return ret;
11 }
12 long long inv(long long a){
13  return quickpow(a,mod-2);
14 }

 

 

 

【扩展欧几里得算法求逆元】：

展转相除法：

能够来这看看（回溯获得方程解）：https://baike.baidu.com/item/展转相除法/4625352?fr=aladdin#4

（2）扩展欧几里得算法的证实：（这种方法也要求a和m互质）

 

（3）求解逆元：

（4）代码实现：

 1 #include <iostream>
 2 #include <stdio.h>
 3 #include <stdlib.h>
 4 #include <ctype.h>
 5 #include<string.h>
 6 #include <math.h>
 7 #include<algorithm>
 8 using namespace std;
 9 typedef long long ll;
10 void extgcd(ll a,ll b,ll& d,ll& x,ll& y)
11 {
12     if(!b)
13     {
14         d=a;
15         x=1;
16         y=0;
17     }
18     else
19     {
20         extgcd(b,a%b,d,y,x);
21         y-=x*(a/b);
22     }
23 }
24 int ModularInverse(int a,int b)
25 {
26     
27     ll d,x,y;
28     extgcd(a,b,d,x,y);
29     return d==1?(x+b)%b:-1;  //返回的结果就是(1/a)mod(b)的结果
30     // complete this part
31 }
32 int main()
33 {
34     printf("%d\n",ModularInverse(2,3));//结果是2
35     /*
36     2*x+3*y=1mod(3)  //那个x就是(1/2)mod(3)的结果，y的话不用管，由于3*y取模于3都是0
37     */
38     return 0;
39 }

 

 

（3）、

可是对于要求好多数的逆元的题目，这样写会超时

咱们还有线性求逆元的方法 

来看带余除法 式子 p=k*i+r 

咱们能够写成 k*i+r≡0(mod p) 

式子两边同乘 i^-1*r^-1 (i^-1,r^-1皆为模p意义下的逆元) 

因此咱们有 k*r^-1+i^-1≡0(mod p) 

i^-1≡-k*r^-1(mod p)

i^-1≡-(p/i)*(p%i)^-1(mod p)

 

因此i^-1能够用(p%i)^-1推出，因此就能够用递推式求出来1到i之间全部数的逆元

代码：

 1 //一、线性求逆元
 2 int inv[MAXN]; 
 3 void INV(int a,int p)//线性求到a的逆元 
 4 {
 5     inv[1] = 1;
 6     for (int i=2; i<=a; ++i)
 7         inv[i] = (-(p/i))*inv[p%i]%p; 
 8 }
 9 
10 //二、单独求某个值的逆元
11 int INV(int a)//线性求a的逆元 
12 {
13      if (a==1) return 1;
14      return ((-(p/a)*INV(p%a))%p);
15 }