博弈论入门

时间  2021-07-30
标签 html ios c++ bash ide 函数 spa code 视频 栏目 HTML 繁體版
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古语有云，“笑人情似纸，世事如棋”。生活中每一个人如同棋手，其每个行为如同在一张看不见的棋盘 上布子，精明慎重的棋手们相互揣摩、牵制、争赢，下出诸多精彩纷呈、变化无穷的棋局。而什么是博 弈论？就是研究棋手们 的“出棋” 过程，从中抽象出可逻辑化的部分，并将其系统化的一门科学，也是运 筹学的一个重要学科。html

博弈论的题目有以下特色：

  • 1：博弈模型为两人轮流决策的博弈。而且两人都使用最优策略来取得胜利。ios

    • 两个玩家，都会采起最优的决策，那么若是存在一个局面为必胜局面，某玩家位于此局面。只要本身无失误，则必胜。那么一样又一个局面为必败局面，某玩家位于此局面。只要对手无失误，则必败。
    • 那也就是说，针对这样的游戏，咱们关注点应该在局面上。

  • 2：博弈是有限的。即不管两人如何决策，都会在有限步决出胜负。c++

  • 3：博弈是公平的。即两人进行决策的规则相同。bash

  • 相关概念：
    • 先手必胜状态：先手能够从这个状态走到某一个必败状态。
    • 先手必败状态：先手走不到任何一个必败状态。
    • 也就是说先手必胜状态，那么先手必定能采起某些操做，让后手面对必败态。若是是先手必败态，不管先手怎么操做，都没法让后手面对必败态。

简单博弈的基本题型

1：bash博弈；2：nim博弈；3：威佐夫博弈；5：Fibonacci博弈；6：sg函数；ide

bash博弈 (巴什博奕)

  • 假设一堆石子有n个，每次最多取m个，甲乙两个玩家轮流取石子，最后把石子取完的人获胜，保证甲乙每一步的决策都是最优的，请问给定n和m，问甲胜仍是乙胜。函数

    • 不妨假设刚刚开始ui

      n = m + 1

      ，那么后手必胜，有以下结论：spa

      • 令 n = ( m + 1 ) * r + s 其中(r > 1，0 <= s < m + 1)。若是s=0的话，先手每次取k个，后手只要取(m+1-k)个便可，后手必赢。若是s!=0的话，先手者第一次取s个，后手第一次取k个，接下来先手只要取(m + 1 - k)个便可，先手必赢。
      • 因此只需考虑 是否为0就能够断定结果。余为0，先手必败，反之必胜。

  • 例题：code

    • hdu_2188
    #include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int c, m, n;//总捐款数，每次最多m
int main() {
    //freopen("in.txt","r",stdin);
	cin >> c;
	while (c--) {
		cin >> n >> m;
		if (n % (m + 1) == 0)
			cout << "Rabbit\n";
		else
			cout << "Grass\n";
	}
	return 0;
}

  • hdu_1846视频

  • hdu_1847

Nim游戏

  • 假设有n堆石子，每堆石子分别有\(a_1,a_2,…,a_n个\),每次能够选择任意一堆且至少取1枚石子, 甲乙两个玩家轮流取石子, 最后把石子取完的人获胜, 保证甲乙每一步的决策都是最优的, 甲为先手操做, 问甲胜仍是乙胜。

  • 结论:

    • 设若\(a_1^{ ∧ }a_2^{∧}…^{∧}a_n = 0\)则先手必败, 反之必胜。

  • 证实

  • 当\(a\)不全为\(0\)时, 任意一个\(res!=0\)的局面, 先手能够经过必定的操做让后手面对\(res=0\)的局面。

  • 对于任意一个\(res=0\)的局面, 先手没法经过任何操做让后手面对\(res=0\)的局面。

  • 得出结论, 当\(res=0\)时先手必败, 反之必胜。

Nim博弈拓展-台阶Nim

  • 问题描述: 有一个\(n\)级台阶的楼梯, 每级台阶上有若干个石子, 其中第i级台阶上有\(ai\)个石子\((i≥1)\)。两位玩家路轮流操做, 每次操做能够从任意一级台阶上拿若干个石子放到下一级台阶上(不能不拿)。

  • 已经拿到地面的石子不能再拿, 最后没法进行操做的人视为失败。

  • 问若是两人都采起最优策略, 先手是否必胜.

  • 结论
    • \(res=a_1∧a_3∧a_5∧,…,∧a_n=0\)(固然这里的n是奇数)先手必败, 反之先手必胜。
  • 证实

  • 1): 考虑极端状况, 当\(a1,a3,…,an\)全为0时, \(res=0\), 此时先手只能将偶数级台阶往下搬, 后手只须要将先手从偶数级台阶上搬下来的石子所有搬到下一级偶数级台阶, 先手必败。

  • 2): 当\(res=x≠0\)时, 经过经典\(Nim\)游戏的证实, 咱们知道必定有一种方法搬必定的石子到下一级让后手面对res为0的局面。

  • 3):当\(res=x=0\)且\(a\)不全为\(0\)时, 咱们没法经过任何操做让下一个状态的\(res\)也为\(0\)。

  • 即对于\(res\)不为\(0\)的状况, 先手总能经过必定的操做让后手面对\(res\)为\(0\)的状况,。

  • 然而\(res\)为\(0\)时, 先手不管作什么操做都没法让后手面对\(res\)为\(0\)的状况。

  • 那么此刻咱们就将题目转化为在奇数台阶上的经典Nim游戏。

  • 思考题:

  • 为何不用\(res=a_2∧a_4∧a_6∧,…,∧a_n=0\)(n为偶数)来断定胜负？

    • 由于当先手搬去必定的石子让后手面对\(res=0\)的状况, 后手能够搬去一号台阶的石子到地面让先手从新面对\(res=0\)的状况
例题:
  • hdu_1850(经典Nim)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 100 + 10;
int n, a[maxn], res;
int main() {
    //freopen("in.txt","r",stdin);
	while (cin >> n,n)
	{
		res = 0;
		for (int i = 1; i <= n; i++){
			cin >> a[i];
			res ^= a[i];
		}
		if (res == 0) puts("0");
		else{
			int ans = 0;
			for (int i = 1; i <= n; i++)
				if ((res ^ a[i]) < a[i]) ans++;
			cout << ans << endl;
		}
	}
	return 0;
}
  • hdu_1730(经典Nim)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main() {
	//freopen("in.txt","r",stdin);
	int n, m;
	while (cin >> n >> m) {
		int res = 0;
		for (int i = 1; i <= n; ++i) {
			int a, b; cin >> a >> b;
			res = res ^ (abs(a - b) - 1);
		}
		if (res == 0) puts("BAD LUCK!");
		else puts("I WIN!");
	}
	return 0;
}
  • poj_1704(台阶Nim)
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 1000 + 10;
int a[N];
int main() {
	//freopen("in.txt", "r", stdin);
	int t, n;
	cin >> t;
	while (t--) {
		int ans = 0;
		cin >> n;
		for (int i = 1; i <= n; ++i) cin >> a[i];
		sort(a + 1, a + n + 1);
		if (n % 2)
		{
			ans ^= (a[1] - 1);
			for (int i = 3; i <= n; i += 2)
				ans ^= (a[i] - a[i - 1] - 1);
		}
		else for (int i = 2; i <= n; i += 2)
			ans ^= (a[i] - a[i - 1] - 1);
		if (ans) printf("Georgia will win\n");
		else printf("Bob will win\n");
	}
	return 0;
}
  • hdu_4315(台阶Nim)
#include<bits/stdc++.h> 
using namespace std;
const int maxn = 1e3 + 10;
int a[maxn];
int n, k;
int main() {
    //freopen("in.txt","r",stdin);
    while(cin >> n >> k)
    {
        memset(a, 0, sizeof a);
        for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]);
        if(k == 1) puts("Alice");
        else
        {
            int res = 0;
            if(n & 1)
            {
                if(k == 2) res ^= a[1] - 1;
                else res ^= a[1];
                for(int i = 3; i <= n; i += 2)
                    res ^= a[i] - a[i - 1] - 1;
            }
            else
            {
                for(int i = 2; i <= n; i += 2)
                    res ^= a[i] - a[i - 1] - 1;
            }
            if(res) puts("Alice");
            else puts("Bob");
        }
    }
    return 0;
}

Wythoff 游戏 (威佐夫博弈)

  • 两堆石子各有若干个, 两人轮流从一堆取至少一个石子或从两堆取一样多的物品, 最后一名取完石子者胜利。

  • 结论:

    • 当两堆石子各有\(n\)和\(m\)个且不妨设\(n<m\)。
    • 当\((m−n)(√5+1)/2=n\)时, 先手必败。
  • 证实

  • •首先考虑最(zhao)极(gui)端(lv)的状况, (0, 0), (1, 2), (3, 5)局面为先手必败局面。并且这样的数字对被称为奇异局势。

  • 奇异局势的定义以下：

    • 设数字对为\(a[(i),b(i)]\)
    • 1:\(a(0)=b(0)=0\);
    • 2: \(a(k)\)是前面数字对中未出现的最小的天然数, 且\(a(k)+k=b(k)\)。

  • 接下来咱们看奇异局势的几个性质:

    • 性质1: 任何天然数都包含在一个且仅有一个奇异局势中。

    • 性质2: 任意操做都能将奇异局势转变为非奇异局势.

    • 性质3: 采起适当的方法, 可将非奇异局势转变为奇异局势。

      证实略

  • 结论：奇异局势必败

例题
  • hdu_2177
#include<bits/stdc++.h> 
using namespace std;
int n, m;
    
bool check(int n, int m) {
    int x = min(n, m), y = max(n, m);
    double c = (sqrt(5.00000) + 1) / 2;
    double d = (double)(y - x);
    if(x == int(c*d)) return 1; // 必败     return 0;
}
    
void work() {
    if(n > m) swap(n, m); // (n, m)     //第一个模块 咱们能一块儿减去让他成为必败态     {
        int tem = m - n;
        double c = (sqrt(5.00000) + 1) / 2;
        int a = double(tem) * c;
        int b = a + tem;
        if(n - a == m - b) cout << a << " " << b << endl;
    }
    //第二个模块 咱们求出当前n的奇异局势, 若是m比他大 拿走就行     //若是m比他小咱们求出(x, n) 而后拿走m     {
        double c = (sqrt(5.00000) + 1) / 2;
        int x = n;
        double d = x / c;
        int y = n + d;
        if(m > y) cout << x << " " << y << endl;
        else
        {
            double x = double(n) * 2 / (sqrt(5.000000) + 1);
            cout << int(x) << " " << n << endl;
        }
    }
}
    
int main() {
    while(cin >> n >> m)
    {
        if(!(n + m)) break;
        if(check(n, m)) puts("0");
        else
        {
            puts("1");
            work();
        }
    }
    return 0;
}

斐波那契博弈(Fibonacci Nim Game)

  • 一堆石子有n个,两人轮流取.先取者第1次能够取任意多个，但不能所有取完。之后每次取的石子数不能超过上次取子数的2倍。取完者胜。给定n,问先手必胜仍是必败。

  • 结论：
    • 当\(n\)为\(fibonacci\)数的时候,先手必败
  • 证实：

例题：

  • hdu_2516
#include<bits/stdc++.h> 
using namespace std;
typedef long long ll;
unordered_map<int, int> mp;
ll f[50];
void fib() {
    f[0] = f[1] = 1;
    for(int i = 2; i <= 50; i++)
    {
        f[i] = f[i - 1] + f[i - 2];
        mp[f[i]]++;
    }
}
    
int main() {
    int n;fib();
    while(cin >> n)
    {
        if(n == 0)break;
        if(!mp[n]) puts("First win");
        else puts("Second win"); //若是是fibonacci数, 则先手必败
    return 0;
}

SG函数

  • \(mex\)运算:
    • 定义\(mex(S)\)为不属于集合S的最小非负整数运算。
    • •举个栗子: \(S=1,2,3,mex(s)=0\);
  • SG函数:
    • •\(SG\)函数: 设对于每一个节点x, 设从x出发有k条有向边分别到达节点\(y1,y2,…,yk\), 定义SG(x)函数为后继节点\(y1,y2,…,yk\)的SG函数值构成的集合再执行mex运算的结果。
    • 特别的, 整个有向图GG的SGSG函数被定义为有向图起点s的SG函数值, 即\(SG(G)=SG(s)\)
    • 有向图终点的SG函数为0。
  • 结论:
    • •先手必败, 则该局面对应\(SG函数=0\)。反之必胜。

例题
  • hdu_1524
#include<bits/stdc++.h>
#define ms(a,b) memset(a,b,sizeof a)
using namespace std;
const int maxn = 1e3 + 100;
int n, num;
int sg[maxn];
int head[maxn], ver[maxn], nxt[maxn], tot;

void add(int u, int v) {
	ver[++tot] = v, nxt[tot] = head[u], head[u] = tot;
}

int getSG(int x) {
	if (sg[x] != -1)return sg[x];
	bool vis[maxn] = { false };
	for (int i = head[x]; i; i = nxt[i]) { // 扫描全部出边
		int y = ver[i];
		sg[y] = getSG(y);
		vis[sg[y]] = true;//全部出边的sg函数值
	}
	for (int i = 0; i < n; ++i)
		if (!vis[i]) return sg[x] = i;// mex运算 
	return 0;
}

void init() {
	ms(head, 0), ms(sg, -1), ms(ver, 0), ms(nxt, 0);
	tot = 0;
}

int main() {
	//freopen("in.txt", "r", stdin);
	ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0);
	while (cin >> n) {
		init();
		for (int i = 0; i < n; ++i) {
			cin >> num; while (num--) {
				int x; cin >> x;
				add(i, x);
			}
		}
		while (cin >> num && num) {
			int res = 0;
			while (num--) {
				int x; cin >> x;
				res ^= getSG(x);
			}
			if (res) puts("WIN");
			else puts("LOSE");
		}
	}
}
  • hdu_1536
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 1e4 + 10;
int s[maxn], sg[maxn];
int k;
    
void init() {
    memset(sg, -1, sizeof(sg));
}
    
int GetSg(int x) {
    if(sg[x] != -1) return sg[x];
    bool vis[maxn]; memset(vis, 0, sizeof(vis));
    for(int i = 1; i <= k; i++)
        if(x >= s[i])
        {
            sg[x - s[i]] = GetSg(x - s[i]);
            vis[sg[x - s[i]]] = 1;
        }
    for(int i = 0; ; i++)
        if(!vis[i]) return sg[x] = i;
    return 0;
    
}
    
int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    while(cin >> k)
    {
        init();
        if(k == 0) break;
        for(int i = 1; i <= k; i++) cin >> s[i];
        int num; cin >> num;
        while(num--)
        {
            int x, res = 0; cin >> x;
            for(int i = 1; i <= x; i++)
            {
                int y; cin >> y;
                res ^= GetSg(y);
            }
            if(res) cout << "W";
            else cout << "L";
        }
        cout << endl;
    }
    return 0;
}

参考

【博弈论】关于三姬分金(五海盗分赃)的博弈论问题分析

李永乐老师对三姬分金视频讲解

ACM集训队讲解

李永乐老师对三姬分金视频讲解

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