离散数学及其应用课程复习Kenneth H.Rosen
时间 2021-01-21
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cs课程笔记资料
逻辑推理
图论
树结构
离散数学及其应用课程笔记
MiracleZero
chap1 The Foundations: Logic and Proofs
英文 |
中文 |
英文 |
中文 |
proposition |
命题 |
equivalence |
等价式 |
predicate |
谓词 |
quantifier |
量词 |
inference |
推理 |
negation |
否定NOT
¬ |
conjunction |
合取ANDKaTeX parse error: Undefined control sequence: \and at position 1: \̲a̲n̲d̲ |
Disjunction |
析取OR
∨ |
Exclusive or |
异或XOR
⊕ |
Implication |
IF-THEN
→ |
Biconditional |
IF AND ONLY IF
↔ |
hypothesis |
假设 |
antecedent |
前件 |
premise |
前提 |
conclusion |
结论 |
consequence |
后件 |
converse |
逆 |
contrapositive |
逆否 |
inverse |
反 |
bitwise |
逐位 |
knight |
骑士 |
knave |
无赖 |
Tautologies |
永真式 |
Contradictions |
矛盾式 |
Contingencies |
可能式 |
Normal Forms |
范式 |
Dual |
对偶式 |
Pierce arrow |
或非
↓ |
Sheffer stroke |
与非$ |
$ |
satisfiable |
DNF |
析取范式 |
CNF |
合取范式 |
clause |
子句 |
domain |
论域 |
Universal Quantifier |
全称量词
∀ |
Existential Quantifier |
存在量词
∃ |
counterexample |
反例 |
Uniqueness Quantifier |
唯一性量词
∃! |
scope |
(变量的)作用域 |
nested |
嵌套的 |
argument |
论证 |
proof |
证明 |
theorem |
定理 |
axioms |
公理 |
lemma |
引理 |
corollary |
推论 |
|
猜想 |
trivial |
平凡证明 |
vacuous proof |
空证明 |
rational number |
有理数 |
without loss of generality |
不失一般性 |
|
|
-
异或
p |
q |
p⊕q |
T |
T |
F |
T |
F |
T |
F |
T |
T |
F |
F |
F |
-
IF p THEN q
p implies q
p only if q=q if p
q when p
q whenever p
q follows from p
p is sufficient for q 充分
q is necessary for p 必要
q unless
¬p
-
逆、逆否、反
符号 |
含义 |
定义 |
q→p |
is the **converse **of
p→q |
逆(左右颠倒) |
¬q→¬p |
is the contrapositive of
p→q |
逆否(与原命题等价) |
¬p→¬q |
is the inverse of
p→q |
反 |
-
优先级
operator |
precedence |
¬ |
1 |
∧ |
2 |
∨ |
3 |
→ |
4 |
↔ |
5 |
-
对偶式
S=(p∨¬q)∧r∧T
S∗=(p∧¬q)∨r∨F
即所有and变成or,所有or变成and,所有T变成F,所有F变成T
s⇔t if and only if
s∗⇔t∗
-
功能完备符号:
{¬,∨}、
{¬,∧}、
{∣}、
{↓}
-
析取DNF范式:
(A1∧A2)∨B1∨(C1∧C2)
合取CNF范式:
(A1∨A2)∧B1∧(C1∨C2)
-
量词优先级比逻辑运算符更高
-
命题中的变量必须是Bound variable(被赋值的或被量词约束的)
chap2 Basic Structures: Sets, Functions, Sequences, Sums, and Matrices
英文 |
中文 |
英文 |
中文 |
Sequences |
序列 |
Summation |
求和 |
Cardinality |
基数 |
paradox |
悖论 |
Power Set |
幂集 |
tuple |
有序元组 |
Cartesian Product |
笛卡尔积 |
union |
集合的并
∪ |
intersection |
集合的交
∩ |
complement |
集合的补
Aˉ |
Inclusion-Exclusion |
容斥原理 |
symmetric difference |
对称差 |
Domain |
定义域 |
Codomain |
陪域、值域 |
Image |
像 |
Preimage |
原像 |
Injection |
单射 |
Surjection |
满射 |
Bijection |
双射 |
Inverse Function |
反函数 |
progression |
级数 |
Recurrence Relations |
递推关系 |
lexicographic |
字典序 |
computable |
可计算的 |
rectangular |
矩形的 |
identity matrix |
单位矩阵 |
transpose |
转置 |
symmetric |
对称的 |
-
集合的基数记为
∣A∣,即集合中元素的个数
-
幂集
P(A):集合中所有子集组成的集合,一个n个元素的集合的幂集有
2n个元素
-
两个元素的元组被称为ordered pairs序偶
-
笛卡尔积:
A×B={(a,b)∣a∈A∧b∈B}
-
对称差:
A⊕B=(A−B)∪(B−A)
-
反函数的前提是原函数是双射的
-
f∘g(x)=f(g(x))
-
n!∼2πn
(en)n
-
Sum |
Closed Form |
∑k=0nark |
r−1arn+1−a,r=1 |
∑k=1nk |
2n(n+1) |
∑k=1nk2 |
6n(n+1)(n+2) |
∑k=1nk3 |
4n2(n+1)2 |
∑k=0∞xk,∣x∣<1 |
1−x1 |
∑k=1∞kxk−1 |
(1−x)21 |
-
可数集:基是有限的或跟正整数集相同,则是可数的
-
一个无限且可数的集合的基被称为
ℵ0(可以跟正整数集建立一个一一对应的映射)
-
实数集的基为
ℵ1
-
一个集合的幂集的基,一定大于原集合的基
chap3 Algorithms
英文 |
中文 |
英文 |
中文 |
Brute-Force |
暴力算法 |
Tractable |
易解 |
Intractable |
难解 |
polynomial |
多项式 |
-
Notation |
Explaination |
Big-O:
f(x) is
O(g(x)) |
∣f(x)∣≤C∣g(x)∣ |
Big-Omega:
f(x) is
Ω(g(x)) |
∣f(x)∣≥C∣g(x)∣ |
Big-Theta:
f(x) is
Θ(g(x)) |
O(g(x))&Ω(g(x)) |
-
NP类:可以在多项式复杂度内被check,但不能在多项式复杂度内解决
-
NP完全类:if you find a polynomial time algorithm for one member of the class, it can be used to solve all the problems in the class
chap5 Induction and recursion
- 数学归纳法:
P(1)∧∀k(P(k)→P(k+1))→∀nP(n)
- BASIC STEP:
- INDUCTIVE STEP:
- Hence,…
- 每个简单多边形都会把一个区域变为内部区域和外部区域
- 任何一个简单多边形都有其内部的对角线(lemma)
- 良序性(正整数体系的公理):A set is well ordered if every subset has a least element.
chap6 Counting
英文 |
中文 |
英文 |
中文 |
Pigeonhole |
鸽巢 |
Permutation |
排列 |
Combination |
组合 |
Binomial Coefficient |
二项系数 |
distinguishable |
可分辨的 |
|
|
-
排列:
P(n,r)=(n−r)!n!
-
组合:
C(n,r)=(n−r)!r!n!
-
二项式定理:
(x+y)n=Σj=0n(nj)xn−jyj
-
Σk=1n(−1)k(nk)=0
-
帕斯卡定理:
(n+1k)=(nk−1)+(nk)
-
Vandermonde’s:
(m+nr)=Σk=0r(mr−k)(nk)
- 推论:
(2nn)=Σk=0n(nk)2
-
有n种饼干,取出共r个饼干的组合数量为:
C(n+r−1,r)
-
n个物体,k个盒子:
n个物体 |
r个盒子 |
数量 |
不同 |
不同 |
n1!n2!⋅⋅nk!n! |
相同 |
不同 |
C(n+r−1,n−1) |
不同 |
相同 |
– |
相同 |
相同 |
– |
chap8 Advanced Counting Techniques
英文 |
中文 |
英文 |
中文 |
Homogeneous |
齐次的 |
Nonhomogeneous |
非齐次的 |
generating function |
生成函数 |
Inclusion-Exclusion |
容斥原理 |
Derangement |
错位排序 |
|
|
-
degree:
an=an−1+an−8的degree为8
a recurrence relation of degree 8
-
Hanoi汉诺塔(3个柱子):
Hn=2n−1
-
齐次:每个x都是1次方的
-
非齐次公式:
如果递推关系是为:
an=c1an−1+c2aa−2+⋅⋅⋅+ckan−k+F(n)
非齐次项
F(n)可以被记为
F(n)=(btnt+bt−1nt−1+⋅⋅⋅+b1n+b0)sn
如果s是
an=c1an−1+c2aa−2+⋅⋅⋅+ckan−k的一个根,m为次数,最后的特解可以被记为:
f(n)=nm(ptnt+pt−1nt−1+⋅⋅⋅+p1n+p0)sn
如果s不是是
an=c1an−1+c2aa−2+⋅⋅⋅+ckan−k的一个根,最后的特解可以被记为:
f(n)=(ptnt+pt−1nt−1+⋅⋅⋅+p1n+p0)sn
例如
an=6an−1−9an−2+F(n)
F(n)=(n2+1)3n
则$m=2, s=3, f(n)=n2(p_2n2+p_1n+p_0)3^n $(s=3为一个根)
an=6an−1−9an−2+F(n)
F(n)=n22n
则$s=2, f(n)=(p_2n2+p_1n+p_0)2n $(s=2不是一个根)
-
分治算法复杂度:
f(n)=af(n/b)+cnd
f(n) is ⎩⎪⎨⎪⎧O(nd)O(ndlogn)O(nlogba)ifififa<bda=bda>bd
-
生成函数:
f(x)=Σk=0∞akxk,g(x)=Σk=0∞bkxk
-
f(x)+g(x)=Σk=0∞(ak+bk)xk
-
α⋅f(x)=Σk=0∞α⋅akxk
-
x⋅f′(x)=Σk=0∞k⋅akxk
-
f(αx)=Σk=0∞αk⋅akxk
-
f(x)g(x)=Σk=0∞(Σj=0kajbk−jxk)
-
广义二项式定理:
(uk)={u(u−1)⋅⋅⋅(u−k+1)/k!1ififk>0k=0
(1+x)u=Σk=0∞(uk)xk
例如
请找到
(1+x)−n的生成函数
(1+x)−n=Σk=0−n(−nk)xk=Σk=0−n(−1)kC(n+k−1,k)xk
- n元素集合的错位排序个数:
Dn=n![1−1!1+2!1−3!1+⋅⋅⋅+(−1)nn!1]
chap9 Relations
英文 |
中文 |
英文 |
中文 |
properties |
性质 |
closure |
闭包 |
reflexive |
自反的 |
symmetric |
对称的 |
antisymmetic |
反对称的 |
transitive |
可传递的 |
Composition |
组合 |
diagonal |
对角线上 |
Equivalence |
等价 |
Congruence |
同余 |
representive |
代表元 |
partition |
划分 |
partial ordering |
偏序 |
hasse diagram |
哈塞图 |
lattices |
格 |
total order/linear order |
全序/线序
≼ |
chain |
链 |
maximal |
极大元 |
minimal |
极小元 |
greatest element |
最大元 |
least element |
最小元 |
compatible |
兼容的 |
-
集合的性质
-
自反性Reflexive
(a,a)∈R,
∀x[x∈U→(x,x)∈R]
空集上的空关系是自反的
-
对称性Symmetric
∀x∀y[(x,y)∈R→(y,x)∈R]
-
反对称性Antisymmetric
KaTeX parse error: Undefined control sequence: \and at position 31: …ll y[(x,y)\in R\̲a̲n̲d̲(y,x)\in R \to …
不存在除了自反之外的对称关系
-
传递性Transitive
KaTeX parse error: Undefined control sequence: \and at position 42: … z [(x,y)\in R \̲a̲n̲d̲ ̲(y,z)\in R\to (…
-
Rn⊂R↔R is transitive
-
逆关系:
R−1={(a,b)∣(b,a)∈R}
-
关系操作:
-
(R∪S)−1=R−1∪S−1
-
(R∩S)−1=R−1∩S−1
-
(R)−1=(R−1)
-
(A×B)−1=B×A
-
transitive closure:
连通关系connectivity relation:
R∗=∪1∞Rn
关系的传递闭包就是关系的连通关系
R∗=t(R)
-
等价关系:自反、对称且传递
a b
-
R为集合A上的一个等价关系,则在集合A中与元素a相关的所有元素可以被表示为
[a]R(等价类)
[a]R={s∣(a,s)∈R}
-
代表元:等价类中的任何一个元素都可以被成为代表元
-
集合的划分:
pr(A)={Ai∣i∈I}
-
R1、
R2为A上的两个等价关系,则
R1∪R2是A上的自反、对称关系,
(R1∪R2)∗是自反、对称、传递关系即等价关系
-
偏序关系:自反、传递、反对称(分大小的不平等关系)
-
poset(S,≼):定义在集合S上的一个偏序关系
- 如果集合中任意两个元素都是可比的,则成为全序、线序,整个集合被称为一个链
- 良序:拥有最小元素
- 极小(大)元:没有一个小于它
- 最小(大)元:所有元素都大于等于它
- 格:任意一对元素都拥有最大上界和最小下界的偏序集,被称为一个格
chap10 Graphs
英文 |
中文 |
英文 |
中文 |
vertice |
顶点 |
edge |
边 |
endpoint |
端点 |
multigraph |
多重图 |
pseudograph |
伪图 |
adjacent |
相邻顶点 |
incident |
关联 |
pendant |
悬挂 |
in degree |
入度 |
out degree |
出度 |
Bipartite |
二分图 |
regular graph |
正规图 |
proper subgraph |
真子图 |
Isomorphism |
同构 |
path |
通路 |
connected component |
连通部分 |
articulation point |
割点 |
Approximation algorithm |
近似算法 |
planer |
平面图 |
region |
区域 |
Elementary subdivision |
初等细分 |
Homeomorphic |
同胚 |
dual graph |
对偶图 |
chromatic number |
着色数 |
-
G=(V,E)
-
无向图分类:
- 简单图:没有环,没有多重边
- 多重图:没有环,可以有多重边
- 伪图:可以有环和多重边
-
有关图的术语:
- adjacent:两个顶点之间有边相连,则称这两个顶点相关联
- incident with vertices u and v:这条边连接了顶点u和v
- loop:环
- degree of a vertex顶点的度:在无向图中即为有多少条边与这个点关联(环算两个度)
-
deg(v)=0,v is isolated
-
deg(v)=1,v is pendant
- 无向图中,
Σv∈Vdeg(v)=2e
- 有向图中,一条边的起点initial vertex,终点terminal vertex
-
Σv∈Vdeg+(v)=Σv∈Vdeg−(v)=E
-
一些特殊的图:
- 完全图
Kn:每对顶点之间有且只有一条边相连
- 圈图
Cn:n个顶点围成一个圈首尾相连
- 轮图
Wn:在圈图中间加个点
- 立方图
Qn
-
完全二分图
Kmn:两组集合中每个点都与对面任意一个点相连
-
正规图:每个顶点的度都相同
-
induced subgraph诱导子图:当且仅当子图中的边都在原图里,仅删除与子图中不存在的顶点相连的边
-
Incidence matrices关联矩阵:纵坐标为顶点,横坐标为边,针对无向图
-
path is simple:没有一条边被重复的通路
-
图的连通:任意一对顶点间都有path
-
割点:关节点,删去后会增加connected components的个数
-
割边/桥:关节边,删去后会增加connected components的个数
-
任何一个强连通的有向图都是弱连通的,可以把弱连通看作无向图,而强连通指有向图每对顶点间都双向连通
- strongly connected components/strong components:有向图中的最大强连接子图
-
欧拉回路:遍历所有的边,每条边只访问一遍
- 区别欧拉通路和欧拉回路:是否要求回到原点
- 欧拉图:包含欧拉回路的图
- 对于无向图:
- 欧拉回路充要条件:当且仅当每个顶点都是偶数个度
- 欧拉通路充要条件:当且仅当只有2个顶点是奇数个度
- 对于有向图
- 欧拉回路:弱连接+出度与入度相同
- 欧拉通路:弱连接+起点的出度多一个,终点的入度多一个
-
哈密尔顿问题:遍历所有点,每个点只访问一遍
- 还有没充要条件
- 充分条件(满足条件则一定有,不满足也可能有):
- 狄拉克定理:
∀v∈V,deg(v)≥2n则有哈密尔顿通路
- 欧尔定理:
∀不相邻顶点v,u∈V,deg(v)+deg(u)≥n
- 必要条件(用于判断不是哈密尔顿):
- 连通图,每个顶点的度都必须大于等于1
- 最多只有两个顶点的度是1
- 如果一个顶点的度为2,则两条边都为哈密尔顿回路的一部分
- 从顶点集合V中去掉一组顶点S,则新图的连接部分数量<=S的个数
-
weighted graph加权图:
G=(V,E,W)
-
Dijkstra:寻找最短路径,要求所有路径都是正权重的
- iterative
-
Lk(v)=min{Lk−1(v),Lk−1(u)+w(u,v)}
-
O(n2)
-
旅行商问题
-
平面图:可以画在平面上且边与边不交叉
-
区域Region:包括有界区域和无界区域
-
欧拉公式:对于连通的平面简单图
r=e−v+2
对于非平面图也可能成立
-
区域的度:区域边的总数(绕一圈的边的总数)
-
推论1:
e≤3v−6,if v≥3
对于不连通的平面简单图也成立
-
推论2:对于一个平面简单图,G一定有一个顶点的度不超过5
-
推论3:对于一个平面简单图,如果任何一个回路的长度都大于3,则
e≤2v−4
-
Kuratowski定理
- 初等细分:增加原有道路上的细分点
- 同胚:可以通过一系列的初等细分所获得的图
- 一个图是非平面的
⇔包含一个与
K3,3或
K5同胚的子图
-
着色问题
- 地图的对偶图,相邻的区域间连线
- 等价于对偶图的顶点着色,使每条边上的两个顶点不同颜色
- 最少着色数记为
χ(G)
- 四色定理:一个平面图的着色数不超过4
chap11 Trees
英文 |
中文 |
英文 |
中文 |
root |
根 |
internal vertice |
有孩子的节点 |
subtrees |
子树 |
isomorphic |
同构的 |
preorder |
前序 |
inorder |
中序 |
postorder |
后序 |
spanning tree |
生成树 |
backtracking |
回溯 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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