掌握树状数组~完全入门

先贴一下树状数组的模板代码：

 1 int lowbit(int i)  2 {  3     return i & -i;//或者是return i-(i&(i-1));表示求数组下标二进制的非0最低位所表示的值
 4 }  5 void update(int i,int val)//单点更新
 6 {  7     while(i<=n){  8         C[i]+=val;  9         i+=lowbit(i);//由叶子节点向上更新树状数组C，从左往右更新
10  } 11 } 12 int sum(int i)//求区间[1,i]内全部元素的和
13 { 14     int ret=0; 15     while(i>0){ 16         ret+=C[i];//从右往左累加求和
17         i-=lowbit(i); 18  } 19     return ret; 20 }

模板中最多见的三个函数：①取数组下标二进制非0最低位所表示的值；②单点更新；③区间查询。树状数组，顾名思义是树状的数组，咱们首先引入二叉树，叶子节点表明A[1]~A[8]。

如今变形一下：

如今定义每一列的顶端节点C数组（其实C数组就是树状数组），如图：

C[i]表明子树的叶子节点的权值之和，如图能够知道：

C[1]=A[1];

C[2]=A[1]+A[2];

C[3]=A[3];

C[4]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4];

C[5]=A[5];

C[6]=A[5]+A[6];

C[7]=A[7];

C[8]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5]+A[6]+A[7]+A[8];

将C数组的下标i转化成二进制：

1=(001)    C[1]=A[1];

2=(010)    C[2]=A[1]+A[2];

3=(011)    C[3]=A[3];

4=(100)    C[4]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4];

5=(101)    C[5]=A[5];

6=(110)    C[6]=A[5]+A[6];

7=(111)    C[7]=A[7];

8=(1000)   C[8]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5]+A[6]+A[7]+A[8];

对照式子能够发现：C[i]=A[i-2^k+1]+A[i-2^k+2]+......+A[i];（k为i的二进制中从最低位到最高位连续零的个数）

例如：当i=8时，k=3，能够自行代入验证。如今引入lowbit(x)：其实就是取出x的二进制的最低位1，换言之，lowbit(x)= 2^k，k的含义与上面相同。

 1 int lowbit(int i)  2 {  3      return i&(-i);  4 }  5 /*
 6 -i 表明i的负数 计算机中负数使用对应的正数的补码来表示  7 例如 : i=6（0110） 此时 k=1  8 -i=-6=(1001+1)=(1010)  9  i&(-i)=(0010)=2=2^1 10 C[i]=A[i-2^k+1]+A[i-2^k+2]+......A[i]; 11 C[i]=A[i-lowbit(i)+1]+A[i-lowbit(i)+2]+......A[i]; 12 */

 接下来是区间查询（求和）：利用C[i]数组，求A数组中前i项和：举两个栗子：

①i=7，前7项和：sum[7]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5]+A[6]+A[7]；

而C[4]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]；C[6]=A[5]+A[6]；C[7]=A[7]；能够获得：sum[7]=C[4]+C[6]+C[7]。

数组下标写成二进制：sum[(111)]=C[(100)]+C[(110)]+C[(111)]；

②i=5，前5项和：sum[5]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5]；

而C[4]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]；C[5]=A[5]；能够获得：sum[5]=C[4]+C[5]；

数组下标写成二进制：sum[(101)]=C[(100)]+C[(101)]；

细细观察二进制，树状数组追其根本就是二进制的应用，结合代码演示一下代码过程：

1 int sum(int i)//求区间[1,i]全部元素的和
2 { 3     int ret=0; 4     while(i>0){ 5         ret+=C[i];//从右往左区间求和
6         i-=lowbit(i); 7  } 8     return ret; 9 }

对于i=7进行演示：

                           7(111)  ans+=C[7] 

lowbit(7)=001  7-lowbit(7)=6(110)  ans+=C[6]

lowbit(6)=010  6-lowbit(6)=4(100)  ans+=C[4]

lowbit(4)=100  4-lowbit(4)=0(000)  break；

对于i=5进行演示：

                           5(101)  ans+=C[5]

lowbit(5)=001  5-lowbit(5)=4(100)  ans+=C[4]

lowbit(4)=100  4-lowbit(4)=0(000)  break；

最后是单点更新：当咱们修改A数组中某个值时，应当如何更新C数组呢？回想一下，区间查询的过程，再看一下上文中列出的过程。这里声明一下：单点更新其实是不修改A数组的，而是修改树状数组C，向上更新区间长度为lowbit(i)所表明的节点的值。

1 void update(int i,int val)//更新单节点的值
2 { 3     while(i<=n){ 4         C[i]+=val; 5         i+=lowbit(i);//由叶子节点向上更新a数组
6  } 7 } 8 //能够发现 更新过程是查询过程的逆过程 9 //由叶子结点向上更新C[]数组

如图：当在A[1]加上值val，即更新A[1]时，须要向上更新C[1],C[2],C[4],C[8]，这个时候只需将这4个节点每一个节点的值加上val便可。这里为了方便你们理解，人为添加了个A数组表示每一个叶子节点的值，事实上A数组并不用修改，实际运用中也可不设置A数组，单点更新只需修改树状数组C便可。下标写成二进制：C[(001)],C[(010)],C[(100)],C[(1000)]；

lowbit(1)=001  1+lowbit(1)=2(010)  C[2]+=val；

lowbit(2)=010  2+lowbit(2)=4(100)  C[4]+=val；

lowbit(4)=100  4+lowbit(4)=8(1000) C[8]+=val；

最后说一下树状数组的优缺点：①特色：代码短小，实现简单；容易扩展到高纬度的数据；

②缺点：只能用于求和，不能求最大/小值；不能动态插入；数据多时，空间压力大。