字符串匹配的随机算法

参考《算法设计与分析》一书讲解。ref：http://blog.csdn.net/zshrong/article/details/5380971

对于其失败的几率之小的论证，书中有详细的说明。

 

给定两个字符串：X=x1,…,xn，Y=y1,…,ym，看Y是否为X的子串？（即Y是否为X中的一段。）（此问题还可用Rabin-Karp算法、Boyer-Moore算法等）

1、随机算法Monte Carlo（用brute-force 思想）

记X(j)=xjxj＋1…xj+m-1（从X的第j位开始、长度与Y同样的子串），从起始位置j=1开始到j=n-m+1，咱们不去逐一比较X(j)与Y，而仅逐一比较X(j)的指纹Ip（X(j)）与Y的指纹Ip（Y）。

因为Ip（X(j+1)）能够很方便地根据Ip（X(j)）计算出来，故算法能够很快完成。

不失通常性,设xi(1≤i≤n) 和yj(1≤j≤m)∈{0,1}，即X, Y都是0-1串。

Ip(X(j+1)) = (xj+1…xj+m)(mod p)

=(2(xj+1…xj+m-1)+xj+m)(mod p)

=(2(xj+1…xj+m-1)+2mxj-2mxj+xj+m)(mod p)

=(2(xjxj+1…xj+m-1)-2mxj+xj+m)(mod p)

（∵(xy+z)(mod p)=(x(y mod p)+z)(mod p)）

          =(2 ( (xjxj+1…xj+m-1)mod p )-2mxj+xj+m)(mod p)

          =(2*Ip(X(j))-xj+xj+m)(mod p)  (﹡)

∴Ip(X(j+1))能够利用Ip(X(j))及(﹡)式计算出来。

算法

一、 随机取一个小于M的素数p，置j←1；

二、 计算Ip(Y)、Ip(X(1))及Wp(=2m mod p)；

三、 While j≤n-m+1 do

      {if Ip(X(j))=Ip(Y) then return j /﹡X(j)极有可能等于Y﹡/

       else{使用(﹡)式计算出Ip(X(j+1))；j增1}

      }

四、 return 0;      /﹡X确定没有子串等于Y﹡/

时间复杂度：

   Y、X(1)、2m均只有m位（二进制数），故计算Ip(Y)、Ip(X(1))及2m mod p的时间不超过O(m)次运算。

    Ip(X(j+1))的计算：因为2*Ip(X(j))只须要在Ip(X(j))后加个0；当xj为1时，第二部分Wp*xj就是Wp，当xj为0时该部分为0；xj+m或为0或为1，而后进行加减法（O(1)时间）就可获得2*Ip(X(j))-xj+xj+m。但此式还要对p取模。

     因为0≤2*Ip(X(j))≤2p-2，0≤xj≤p-1，0≤xj+m≤1，所以2*Ip(X(j))-xj+xj+m的值在[-(p-1), 2p-1]之间。故实际计算时，若上式是负值，则加上p后即得Ip(X(j+1))；

  若为非负，则看其是否小于p，小于p则已得Ip(X(j+1))；

  若大于等于p，则减去p后即得Ip(X(j+1))。

    故Ip(X(j+1))的计算只需用O(1)时间。

  因为循环最多执行n-m+1次，故这部分的时间复杂度为O(n)。因而，总的时间复杂性为O(m+n)。

   失败的几率：当Y≠X(j)，但Ip(Y)=Ip(X(j))时产生失败。Ip(Y)=Ip(X(j)) 当且仅当p能整除|Y-X(j)|。当p能整除|Y-X(j)|时，p固然也能整除|Y-X(1)| |Y-X(2)|…|Y-X(j)|…|Y-X(n-m+1)|（∵p素数，反之也成立），因为|Y-X(j)|不超过m个二进制位，

       ∴|Y-X(j)|<2m。

     ∴|Y-X(1)| |Y-X(2)|…|Y-X(n-m+1)| < (2m)n-m+1≤2mn。

由数论定理2(若是a＜2n，则可以整除a的素数个数不超过p(n)个），能整除|Y-X(1)| |Y-X(2)|…|Y-X(n-m+1)|的素数个数不超过p(mn)个。

因而Pr[failure]=(Y不含在X中、但p(p＜M）可以整除|Y-X(1)| |Y-X(2)|…|Y-X(j)|…|Y-X(n-m+1)|的素数的个数）/小于M的素数的个数

≤p(mn)/ p(M) = p(mn)/ p(2mn2)   （取M=2mn2）

≈(mn/loge(mn))/(2mn2/loge(2mn2))= loge(2mn2)/2n loge(mn)

(m≥2时有)≤loge((mn)2)/2n loge(mn)=1/n

即失败的几率只与X的长度有关，与Y的长度无关。

当m=n时，问题退化为断定两个字符串是否相等的问题。

 

2、Las Vegas算法：

当 Ip(Y)=Ip(X(j))时，不直接return j，而去比较Y和X(j), 即在return j以前加一个判断看Y和X(j)是否相等，相等则 return j ，不然继续执行循环。这样，若是有子串X(j)与Y相匹配，该算法总能给出正确的位置即算法出错的几率为0）。

    ∵在最坏状况下算法执行O(mn)时间，而p能整除|I(Y)-I(X(j))|几率的不超过，故

算法的时间复杂性的指望值不超过。