【算法复习】求解递归式的方法

 求解递归式的方法

【代入法】

• 代入法求解分为两步：
  • 猜想解的形式
  • 用数学概括法求出解的常数C，并证实正确性，关键步骤是用猜想的解代入到递归式中。
• 作出好的猜想（没有通常方法，只能凭经验）
  • 与见过的解相似，则猜想之。
  • 先证较宽松的上、下界，减少猜想范围。咱们能够从下界Ω(n)开始，上界O(n^2)，而后逐渐收敛至(nlog2n)
• 细节修正
  • 有时猜想解是正确的，但数学概括法却不能直接证实其细节，这是由于数学概括法不是强大到足以证实其细节。
  • 这时可从猜想解中减去一个低阶项以使数学概括法得以知足
• 避免陷阱
  • 与求和式的数学概括法相似，证实时渐近记号的使用易产生错误。
  • 如：证实O(n)时必须严格证实≤cn，不能讲其换作cn+n
• 变量变换
  • 有时改动变量能使未知递归式变为熟悉的式子。例如：

【代入法例题】

 

【递归树法】

• 递归树最适合用来生成好的猜测，而后可用代入法来验证猜想是否正确
• 须要关注：
  • 达到边界条件所需的迭代次数
  • 迭代过程当中的和式。若在迭代过程当中已估计出解的形式，亦可用代入法

 

 【递归树法例题】

 

【Master原理】

•  Master定理也叫主定理。它提供了一种经过渐近符号表示递推关系式的方法。应用Master定理能够很简便的求解递归方程。

 

定理4.1（主定理） 令a≥1和b>1是常数，f(n)是一个函数，T(n)是定义在非负整数上的递归式：

　　　　　　　　　　　　　　T(n) = aT(n/b) + f(n)

其中咱们将n/b解释为。那么T(n)有以下渐近界：

　　

主定理的三种状况，通过分析，能够发现都是把f(n)与比较。

第一种状况是更大，第二种状况是 与f(n)相等，第三种状况是f(n)更大。

 

【主定理例题】