盒子与球解题报告

题目描述：

Description

现有r个互不相同的盒子和n个互不相同的球，要将这n个球放入r个盒子中，且不容许有空盒子。问有多少种方法？
例如：有2个不一样的盒子（分别编为1号和2号）和3个不一样的球（分别编为一、二、3号），则有6种不一样的方法：

Input

两个整数，n和r，中间用空格分隔。（0≤n, r≤10）

Output

仅一行，一个整数（保证在长整型范围内）。表示n个球放入r个盒子的方法。

Sample Input

3 2

Sample Output

6

思路：一道数学问题，与求包含n个元素的集合划分为正好k个非空不相交子集的方法的数目十分类似，因此用Stirling数来解决，

递推公式为：

S(n,k)=0; (n<k||k=0) 
S(n,n) = S(n,1) = 1,

S(n,k) = S(n-1,k-1) + kS(n-1,k).

固然这道题还有一点不一样之处就是每一个盒子又有区别，因此到最后求出Stirling数后，还要乘上k(盒子数)的全排列。

如下为记忆化搜索和递推两种思路的源代码：

记忆化搜索源程序：
#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
int n,k,sum=0;
void init()
{
  scanf("%d %d",&n,&k);
}
int work(int n,int k)
{
  if(k>n)
	return(0);
  else if(k==1||k==n)
	return(1);
  else return(work(n-1,k-1)+work(n-1,k)*k);
}
int jiecheng(int k)
{
  int i;
  int zong=1;
  for(i=k;i>0;i--)
    zong*=i;
  return(zong);
}
void solve()
{
  if(k==1)
	  printf("%d",1);
  else if(k==n)
    printf("%d",jiecheng(k));
  else if(k>n)
    printf("%d",0);
  else if(k==0)
    printf("%d",0); //中间加了好多特殊状况判断，感受有点没有必要~~
  else   
  {
	  sum=work(n,k);
    printf("%d",sum*jiecheng(k));
  }
}
int main()
{
  init();
  solve();
}
 
递推源代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
int a[11][11];
int n,k;
void init()
{
  freopen("1257.in","r",stdin);
  scanf("%d %d",&n,&k);
  a[0][0]=1;
}
int jiecheng(int k)
{
  int i;
  int zong=1;
  for(i=k;i>0;i--)
    zong*=i;
  return(zong);
}
void solve()
{
  int i,j;
  for(i=1;i<=k;i++)
    for(j=1;j<=n;j++)
      a[j][i]=a[j-1][i-1]+(a[j-1][i]*i);
  freopen("1257.out","w",stdout);
  printf("%d",a[n][k]*jiecheng(k));
}
int main()
{
  init();
  solve(); 
}
反思：没有什么注释的，只要细心便可。
 斯特林数 

 
 
 
 

 

 

  
  
  
  
  

 

  
  斯特林数出如今许多组合枚举问题中. 对第一类斯特林数 StirlingS1[n,m]， 给出恰包含 m 个圈的 n 个元素 的排列数目. 斯特林数知足母函数关系 . 注意某些 的定义与 Mathematica 中的不一样，差异在于因子 . 第二类斯特林数 StirlingS2[n,m]给出把 n 个可区分小球分配到m个不可区分的的盒子，且盒子没有空盒子的方法的数量. 它们知足关系 . 划分函数 PartitionsP[n]给出把整数 n 写为正整数的和，不考虑顺序的方法的数目. PartitionsQ[n]给出把整数 n 写为正整数的和，而且和中的整数是互不相同的 写法的数目 

 

 
 
 
 

 

 

  
  
  
  
  

 

  
  设S(p,k)是斯特林数 

 

 
 
 
 

 

 

  
  
  
  
  

 

  
  S(p,k)的一个组合学解释是：将p个物体划分红k个非空的不可辨别的（能够理解为盒子没有编号）集合的方法数。 

 

 
 
 
 

 

 

  
  
  
  
  

 

  
  S(p,k)的递推公式是： 

 

 
 
 
 

 

 

  
  
  
  
  

 
 
 
  　S(p,k) = k*S(p-1,k) + S(p-1,k-1) ,1<= k <=p-1 

 

 
 
 
 

 

 

  
  
  
  
  

 

  
  边界条件： 

 

 
 
 
 

 

 

  
  
  
  
  

 
 
 
  S(p,p) = 1 ,p>=0 

 

 
 
 
 

 

 

  
  
  
  
  

 
 
 
  S(p,0) = 0 ,p>=1 

 

 
 
 
 

 

 

  
  
  
  
  

 

  
  递推关系的说明：考虑第p个物品，p能够单独构成一个非空集合，此时前p-1个物品构成k-1个非空的不可辨别的集合，方法数为S(p-1,k-1)；也能够前p-1种物品构成k个非空的不可辨别的集合，第p个物品放入任意一个中，这样有k*S(p-1,k)种方法。 

 

 
 
 
 

 

 

  
  
  
  
  

 

  
  第一类斯特林数和第二类斯特林数有相同的初始条件，但递推关系不一样。引用Brualdi《组合数学》里的一段注释 “对于熟悉线性代数的读者，解释以下：具备（好比）实系数，最多为p次的那些各项式造成一个p+1维的向量空间。组1，n，n^2，...。n^p和组 A(n, 0)，A(n,1)，A(n,2)，... ，A(n,p)都是该空间的基。第一类Stirling数和第二类Stirling数告诉咱们如何用其中的一组基表示另外一组基。”