数据结构与算法(十一) B树

B树

是一种平衡的多路搜索树，多用于文件系统、数据库的实现

• 1个节点能够存储超过2个元素、能够拥有超过2个子节点
• 拥有二叉搜索树的一些特质（小的子节点在左面 大的子节点在右面）
• 平衡，每一个节点的全部子树高度一致
• 比较矮

m阶B树性质

一个节点最多拥有m个子节点

• 假设一个节点存储元素个数为x
  • 根节点：
  • 非根节点：
  • 若是有子节点 子节点个数为
• 若是有子节点
  • 根节点上的子节点：
  • 非跟节点上的子节点：

celing为向上取整

• 若是要是m = 3
  • 他的子节点个数为，所以可称为（2，3）树、2-3树。
• 若是要是m = 4
  • 他的子节点个数为，所以可称为（2，4）树、2-3-4树。
• 若是要是m = 5
  • 他的子节点个数为，所以可称为（3，5）树、3-4-5树。

B树和二叉搜索树的关系

• B树其实适合二叉搜索树是等价的
  • 只要把二叉搜索树和部分子节点与父节点结合就生成了b树
• 多代节点合并，能够得到一个超级节点
  • 两代合并最多有4个子节点
• m阶B树最多须要代合并

搜索

• 一、如今节点内部从小到大搜索元素
• 二、若是命中，搜索结束
• 三、若是未命中，再去对应的子节点去搜索元素，重复步骤1

添加

元素必然是添加到叶子节点中

上溢

• 假设3阶B树，当节点添加第三个数据的时候（最多添加两个） 叫上溢

假设B树的阶级为m， 上溢节点最中间的节点为k

• 上溢的节点元素必然等于m

解决上溢

• 将k位置的元素向上与父节点合并
• 将[0,k - 1]和[k + 1,m - 1]位置的元素分裂成两个子节点
  • 这两个子节点的元素个数，必然都不会低于最低限制（ceiling(m/2) - 1）
• 一次分裂完毕后，可能致使父节点上溢，重复上述方法
  • 最极端的状况是，一直上溢到根节点。

以4阶B树添加举例

删除

叶子节点

​ 直接删除

非叶子节点

• 找到前驱或者后继，覆盖删除所须要的元素的值。
• 在把前驱或者后继删掉。
• 非叶子节点的前驱或者后继必然在叶子节点中

下溢

• 假设5阶B树，叶子节点最低个数为ceiling(m/2) - 1 = 2个 当删除后只剩下一个的时候 称为下溢

解决下溢：

• 下溢的元素必然是ceiling(m/2) - 1 个
• 若是下溢的节点的临近兄弟节点至少有(ceiling(m/2))个元素，能够向其借一个元素（最后一个元素）
  • 将父节点最后一个元素插入到下节点的最小位置
  • 将借来的元素插入到父节点最小位置
• 若是下溢的节点的临近兄弟节点只有(ceiling(m/2)) - 1
  • 将父节点的中间元素挪下来与左右子节点进行合并
  • 合并后的节点元素等于ceil(m/2) + ceil(m/2) - 2; 不超过m - 1
    • 可能致使父节点下溢，下溢可能一直向上传播。（若是根节点下溢 就和子节点合并）

以4阶B树删除举例

​

喜欢的能够关注下个人公众号，会在第一时间更新