想把这个问题说清楚,不太容易。通过这篇文章,希望我能帮大家解决一些疑惑吧。
我们先来看A和B有什么含义。
在直线上取任意两点 P1:(x1, y1)和 P2:(x2, y2),得:
Ax1 + By1 + C = 0
Ax2 + By2 + C = 0
两式相减得:
A(x1 - x2) + B(y1 - y2) = 0
设O为圆点(0,0), 则:
OP1
=x1y1
OP2
=x2y2
P2P1
=OP1
−OP2
=x1−x2y1−y2
P2P1
与直线共线,上式A(x1 - x2) + B(y1 - y2) = 0,可写成向量的内积:
AB⋅x1−x2y1−y2=ON
⋅P2P1
= 0
其中:
ON
=AB
两个向量的内积是0,根据内积的几何意义,这两个向量必然垂直。因此,系数A,B组成的向量是一个垂直于直线的向量。
在此,需要简要说明一下向量内积的几何意义,更深一层的意义,后续会出一篇文章单独来介绍。
V1
⋅V2
的内积值等于
V2
在
V1
上的投影长度乘以
V1
向量的长度,如下图:
所以当V2与V1垂直时,V2在V1上的投影长度为0,V2与V1的内积为0。投影长度具有方向性,即投影与V1同向,投影长度为正,投影与V1反向,投影长度为负。所以我们可以根据内积的值来判断,两个向量的夹角范围:
值为正:> 0度 && < 90度
值为0:= 90度
值为负:> 90度 && < 180度
好了,回到线性方程 Ax + By = -C,将其写成向量式:
AB⋅xy =
ON
⋅OP
= -C
根据内积的几何意义,-C的值是
OP
在
ON
上的投影长度乘以向量
ON
的向量长度。尤其是当
ON
是单位向量(向量长度为1)时,-C的值是原点距直线的距离。
即使
ON
不是单位向量,我们也可以将其转成单位向量,Ax + By = -C两边同时除以
A2+B2
,即:
A2+B2
Ax+A2+B2
By=A2+B2
−C
此时:
ON
=
A2+B2
AA2+B2
B为单位向量,原点距直线的距离则为:
A2+B2
−C
好了,我们总结一下:A、B系数组成的向量垂直于直线,将A,B组成的向量转成单位向量,
A2+B2
−C即是原点距直线的距离。
知道了该几何性质,我们可以计算空间任意一点距离直线的距离。步骤如下:假设空间任意一点P,做一条平行于已知直线并且经过点P的直线
A′x+B′y=C′,计算出原点距该直线的距离:
A′2+B′2
−C′。
两距离相减得任意一点距离直线的距离:
distance =
A′2+B′2
−C′ -
A2+B2
−C