【计算机系统基础】原码、反码及补码

做者： 张子秋 出处： http://www.cnblogs.com/zhangziqiu/

一. 机器数和真值

在学习原码, 反码和补码以前, 须要先了解机器数和真值的概念.

一、机器数

一个数在计算机中的二进制表示形式,  叫作这个数的机器数。机器数是带符号的，在计算机用一个数的最高位存放符号, 正数为0, 负数为1.

好比，十进制中的数 +3 ，计算机字长为8位，转换成二进制就是00000011。若是是 -3 ，就是 10000011 。

那么，这里的 00000011 和 10000011 就是机器数。

二、真值

由于第一位是符号位，因此机器数的形式值就不等于真正的数值。例如上面的有符号数 10000011，其最高位1表明负，其真正数值是 -3 而不是形式值131（10000011转换成十进制等于131）。因此，为区别起见，将带符号位的机器数对应的真正数值称为机器数的真值。

例：0000 0001的真值 = +000 0001 = +1，1000 0001的真值 = –000 0001 = –1

 

二. 原码, 反码, 补码的基础概念和计算方法.

在探求为什么机器要使用补码以前, 让咱们先了解原码, 反码和补码的概念.对于一个数, 计算机要使用必定的编码方式进行存储. 原码, 反码, 补码是机器存储一个具体数字的编码方式.

1. 原码

原码就是符号位加上真值的绝对值, 即用第一位表示符号, 其他位表示值. 好比若是是8位二进制:

[+1]_原 = 0000 0001

[-1]_原 = 1000 0001

第一位是符号位. 由于第一位是符号位, 因此8位二进制数的取值范围就是:

[1111 1111 , 0111 1111]

即

[-127 , 127]

原码是人脑最容易理解和计算的表示方式.

2. 反码

反码的表示方法是:

正数的反码是其自己

负数的反码是在其原码的基础上, 符号位不变，其他各个位取反.

[+1] = [00000001]_原 = [00000001]_反

[-1] = [10000001]_原 = [11111110]_反

可见若是一个反码表示的是负数, 人脑没法直观的看出来它的数值. 一般要将其转换成原码再计算.

3. 补码

补码的表示方法是:

正数的补码就是其自己

负数的补码是在其原码的基础上, 符号位不变, 其他各位取反, 最后+1. (即在反码的基础上+1)

[+1] = [00000001]_原 = [00000001]_反 = [00000001]_补

[-1] = [10000001]_原 = [11111110]_反 = [11111111]_补

对于负数, 补码表示方式也是人脑没法直观看出其数值的. 一般也须要转换成原码在计算其数值.

 

三. 为什么要使用原码, 反码和补码

在开始深刻学习前, 个人学习建议是先"死记硬背"上面的原码, 反码和补码的表示方式以及计算方法.

如今咱们知道了计算机能够有三种编码方式表示一个数. 对于正数由于三种编码方式的结果都相同:

[+1] = [00000001]_原 = [00000001]_反 = [00000001]_补

因此不须要过多解释. 可是对于负数:

[-1] = [10000001]_原 = [11111110]_反 = [11111111]_补

可见原码, 反码和补码是彻底不一样的. 既然原码才是被人脑直接识别并用于计算表示方式, 为什么还会有反码和补码呢?

首先, 由于人脑能够知道第一位是符号位, 在计算的时候咱们会根据符号位, 选择对真值区域的加减. (真值的概念在本文最开头). 可是对于计算机, 加减乘数已是最基础的运算, 要设计的尽可能简单. 计算机辨别"符号位"显然会让计算机的基础电路设计变得十分复杂! 因而人们想出了将符号位也参与运算的方法. 咱们知道, 根据运算法则减去一个正数等于加上一个负数, 即: 1-1 = 1 + (-1) = 0 , 因此机器能够只有加法而没有减法, 这样计算机运算的设计就更简单了.

因而人们开始探索 将符号位参与运算, 而且只保留加法的方法. 首先来看原码:

计算十进制的表达式: 1-1=0

1 - 1 = 1 + (-1) = [00000001]_原 + [10000001]_原 = [10000010]_原 = -2

若是用原码表示, 让符号位也参与计算, 显然对于减法来讲, 结果是不正确的.这也就是为什么计算机内部不使用原码表示一个数.

为了解决原码作减法的问题, 出现了反码:

计算十进制的表达式: 1-1=0

1 - 1 = 1 + (-1) = [0000 0001]_原 + [1000 0001]_原= [0000 0001]_反 + [1111 1110]_反 = [1111 1111]_反 = [1000 0000]_原 = -0

发现用反码计算减法, 结果的真值部分是正确的. 而惟一的问题其实就出如今"0"这个特殊的数值上. 虽然人们理解上+0和-0是同样的, 可是0带符号是没有任何意义的. 并且会有[0000 0000]_原和[1000 0000]_原两个编码表示0.

因而补码的出现, 解决了0的符号以及两个编码的问题:

1-1 = 1 + (-1) = [0000 0001]_原 + [1000 0001]_原 = [0000 0001]_补 + [1111 1111]_补 = [0000 0000]_补=[0000 0000]_原

这样0用[0000 0000]表示, 而之前出现问题的-0则不存在了.并且能够用[1000 0000]表示-128:

(-1) + (-127) = [1000 0001]_原 + [1111 1111]_原 = [1111 1111]_补 + [1000 0001]_补 = [1000 0000]_补

-1-127的结果应该是-128, 在用补码运算的结果中, [1000 0000]_补 就是-128. 可是注意由于其实是使用之前的-0的补码来表示-128, 因此-128并无原码和反码表示.(对-128的补码表示[1000 0000]补算出来的原码是[0000 0000]_原, 这是不正确的)

使用补码, 不只仅修复了0的符号以及存在两个编码的问题, 并且还可以多表示一个最低数. 这就是为何8位二进制, 使用原码或反码表示的范围为[-127, +127], 而使用补码表示的范围为[-128, 127].

由于机器使用补码, 因此对于编程中经常使用到的32位int类型, 能够表示范围是: [-2³¹, 2³¹-1] 由于第一位表示的是符号位.而使用补码表示时又能够多保存一个最小值.

 

四 原码, 反码, 补码 再深刻

计算机巧妙地把符号位参与运算, 而且将减法变成了加法, 背后蕴含了怎样的数学原理呢?

将钟表想象成是一个1位的12进制数. 若是当前时间是6点, 我但愿将时间设置成4点, 须要怎么作呢?咱们能够:

1. 往回拨2个小时: 6 - 2 = 4

2. 往前拨10个小时: (6 + 10) mod 12 = 4

3. 往前拨10+12=22个小时: (6+22) mod 12 =4

2,3方法中的mod是指取模操做, 16 mod 12 =4 即用16除以12后的余数是4.

因此钟表往回拨(减法)的结果能够用往前拨(加法)替代!

如今的焦点就落在了如何用一个正数, 来替代一个负数. 上面的例子咱们能感受出来一些端倪, 发现一些规律. 可是数学是严谨的. 不能靠感受.

首先介绍一个数学中相关的概念: 同余

 

同余的概念

两个整数a，b，若它们除以整数m所得的余数相等，则称a，b对于模m同余

记做 a ≡ b (mod m)

读做 a 与 b 关于模 m 同余。

举例说明:

4 mod 12 = 4

16 mod 12 = 4

28 mod 12 = 4

因此4, 16, 28关于模 12 同余.

 

负数取模

正数进行mod运算是很简单的. 可是负数呢?

下面是关于mod运算的数学定义:

上面是截图, "取下界"符号找不到如何输入(word中粘贴过来后乱码). 下面是使用"L"和"J"替换上图的"取下界"符号:

x mod y = x - y L x / y J

上面公式的意思是:

x mod y等于 x 减去 y 乘上 x与y的商的下界.

以 -3 mod 2 举例:

-3 mod 2

= -3 - 2xL -3/2 J

= -3 - 2xL-1.5J

= -3 - 2x(-2)

= -3 + 4 = 1

因此:

(-2) mod 12 = 12-2=10

(-4) mod 12 = 12-4 = 8

(-5) mod 12 = 12 - 5 = 7

 

开始证实

再回到时钟的问题上:

回拨2小时 = 前拨10小时

回拨4小时 = 前拨8小时

回拨5小时= 前拨7小时

注意, 这里发现的规律!

结合上面学到的同余的概念.实际上:

(-2) mod 12 = 10

10 mod 12 = 10

-2与10是同余的.

(-4) mod 12 = 8

8 mod 12 = 8

-4与8是同余的.

距离成功愈来愈近了. 要实现用正数替代负数, 只须要运用同余数的两个定理:

反身性:

a ≡ a (mod m)

这个定理是很显而易见的.

线性运算定理:

若是a ≡ b (mod m)，c ≡ d (mod m) 那么:

(1)a ± c ≡ b ± d (mod m)

(2)a * c ≡ b * d (mod m)

若是想看这个定理的证实, 请看:http://baike.baidu.com/view/79282.htm

因此:

7 ≡ 7 (mod 12)

(-2) ≡ 10 (mod 12)

7 -2 ≡ 7 + 10 (mod 12)

如今咱们为一个负数, 找到了它的正数同余数. 可是并非7-2 = 7+10, 而是 7 -2 ≡ 7 + 10 (mod 12) , 即计算结果的余数相等.

接下来回到二进制的问题上, 看一下: 2-1=1的问题.

2-1=2+(-1) = [0000 0010]_原 + [1000 0001]_原= [0000 0010]_反 + [1111 1110]_反

先到这一步, -1的反码表示是1111 1110. 若是这里将[1111 1110]认为是原码, 则[1111 1110]原 = -126, 这里将符号位除去, 即认为是126.

发现有以下规律:

(-1) mod 127 = 126

126 mod 127 = 126

即:

(-1) ≡ 126 (mod 127)

2-1 ≡ 2+126 (mod 127)

2-1 与 2+126的余数结果是相同的! 而这个余数, 正式咱们的指望的计算结果: 2-1=1

因此说一个数的反码, 其实是这个数对于一个膜的同余数. 而这个膜并非咱们的二进制, 而是所能表示的最大值! 这就和钟表同样, 转了一圈后总能找到在可表示范围内的一个正确的数值!

而2+126很显然至关于钟表转过了一轮, 而由于符号位是参与计算的, 正好和溢出的最高位造成正确的运算结果.

既然反码能够将减法变成加法, 那么如今计算机使用的补码呢? 为何在反码的基础上加1, 还能获得正确的结果?

2-1=2+(-1) = [0000 0010]_原 + [1000 0001]_原 = [0000 0010]_补 + [1111 1111]_补

若是把[1111 1111]当成原码, 去除符号位, 则:

[0111 1111]_原 = 127

其实, 在反码的基础上+1, 只是至关于增长了膜的值:

(-1) mod 128 = 127

127 mod 128 = 127

2-1 ≡ 2+127 (mod 128)

此时, 表盘至关于每128个刻度转一轮. 因此用补码表示的运算结果最小值和最大值应该是[-128, 128].

可是因为0的特殊状况, 没有办法表示128, 因此补码的取值范围是[-128, 127]

本人一直不善于数学, 因此若是文中有不对的地方请你们多多包含, 多多指点!