这都还不懂动态规划,那就没辙了

有必定规律可循,找套路.

---

什么是动态规划.

有多少种方式走到右下角(这才能够用动态规划)
输出全部走到右下角的路径(dfs 递归)

---

题目分类:

1. 计数
   有多少种方式走到右下角

有多少种方法选出K个数使得和是sum

1. 求最大最小值

从左下角走到右下角路径的最大数值和
最长上升子序列长度

1. 求存在性

取石子游戏,先手是否必赢
能不能选出K个数使得和是Sum

---

coin change

有3中硬币,面值:2元,5元,7元,每种硬币足够多

买一本书须要27元.

如何用最少的硬币组合正好付清,不须要对方找钱.(求最大最小值)

先不考虑动态规划:
直觉:
尽可能用大的硬币,最后若是能够用一种硬币付清就行.

用直觉的答案是错误的.

动态4步走:

1. 肯定状态(定海神针)

• 解动态规划须要开一个数组,数组每一个元素f[i]活着fi 表明什么

  • 相似于解数学中,X,Y,Z表明什么(状态)

• 肯定状态须要两个意思:

  • 最后一步

    • 虽然不知道最优策略是什么,可是最优策略确定是K枚硬币a1,a2,....ak 面值加起来是27
    • 因此必定有一枚最后硬币:ak
    • 除掉这枚硬币,前面硬币的面值加起来是27-ak
    • 咱们不关心 K-1枚硬币是如何拼出27-ak的(多是1种拼法,可能有100种拼法),并且咱们如今甚至还不清楚ak和k,可是咱们肯定前面的硬币拼出了27-ak(最后一步,不肯定中有肯定的)
    • 关键: 由于是最优策略,由于拼出27-ak的硬币数必定要最少,不然就不是最优策略了. 不考虑最后一枚硬币,剩下硬币的拼法也是最优策略.

  • 子问题:

    • 于是,最少用多少硬币能够拼出27-ak
    • 原来的问题是用多少枚硬币拼出27
    • 咱们将原问题转换成子问题,并且规模更小: 27-ak
    • 为了简化定义,咱们设f(X)= 最少用多少枚硬币拼出X
  • 即便分析了 最后一步,以及子问题,但仍然不知道最后一枚硬币 ak是多少

  • 最后一枚硬币ak 只多是2,5,7

    • 若是ak=2,f(27)= 应该是f(27-2)+1
    • 若是ak=5,f(27)= 应该是f(27-5)+1
    • 若是ak=7,f(27)= 应该是f(27-7)+1
    • 除此以外,没有其余可能了.
    • 须要求最少的硬币数:
    • f(27) = min{f(27-2)+1,f(27-5)+1,f(27-7)+1} +1

递归解法:

递归算法分析:

现象:

• f(20) 重复算了3次
• f(15) 重复算了2次

结果:

冗余重复计算作了不少,效率低下.

如何避免?

1. 将计算结果保存下来
2. 并改变计算的顺序.

2. 转移方程

• 设状态f[X] = 最少用多少枚硬币拼出X (方括号是表示数组)
• 对于任意X:
• 到这里,动态规划问题已经解决了一半.

3. 初始条件 和 边界问题

肯定好转移方程后,须要肯定初始条件和 边界问题.

• f[27] = min{f[27-2]+1,f[27-5]+1,f[27-7]+1} +1
• 两个问题: X-2,X-5, 或者 X-7 小于0 怎么办?何时停下来?

• 若是不能拼出Y,就定义f[Y]=正无穷

  • 例如f[-1]=f[-2]=正无穷
  • 在实际操做中,不会真的开f[-1]
• 因此 f[1]= min{f[-1]+1,f [-4]+1,f[-6]+1}= 正无穷,表示拼不出 1
• 初始条件: f[0] = 0

4. 肯定计算顺序

• 初始条件: f[0]= 0
• 而后按递增顺序计算 f[1],f[2],f[3]....(通常都是递增计算)
• 好处: 但咱们计算f[X]时,f[X-2],f[X-5],f[X-7]都已经获得结果了,避免了重复计算

时间复杂度:

O(n)= n

总结:

1. 求最值类型优先考虑动态规划.

2. 肯定状态

   • 最后一步: 最优策略中使用的最后一枚硬币ak
   • 转化成子问题:最少的硬币拼出更小面值27-ak
3. 肯定转移方程:f[X] = min{f[X-2]+1,f[X-5]+1,f[X-7]+1} +1
4. 肯定初始条件 和边界状况: f[0]=0;没法拼出,F[X] = 正无穷
5. 肯定计算顺序: f[0]-->f[1]-->f[2]....

个人滴滴云专属AI大师码：3388，
购买滴滴云GPU等AI产品输入大师码享9折优惠。
点击 www.didiyun.com前往滴滴云官网购买

本篇文章由一文多发平台ArtiPub自动发布