线段树基本操做（Segment Tree）

线段树（Segment Tree）

入门模板题 洛谷oj P3372

题目描述

　　如题，已知一个数列，你须要进行下面两种操做：

　　1.将某区间每个数加上x

　　2.求出某区间每个数的和

输入格式

　　第一行包含两个整数N、M，分别表示该数列数字的个数和操做的总个数。

　　第二行包含N个用空格分隔的整数，其中第i个数字表示数列第i项的初始值。

　　接下来M行每行包含3或4个整数，表示一个操做，具体以下：

　　操做1： 格式：1 x y k 含义：将区间[x,y]内每一个数加上k

　　操做2： 格式：2 x y 含义：输出区间[x,y]内每一个数的和

输出格式

　　输出包含若干行整数，即为全部操做2的结果。

输入样例

5 5

1 5 4 2 3

2 2 4

1 2 3 2

2 3 4

1 1 5 1

2 1 4

输出样例

11

8

20

数据范围

对于30%的数据：N<=8，M<=10

对于70%的数据：N<=1000，M<=10000

对于100%的数据：N<=100000，M<=100000

 

　　才学会写线段树不久……随便扯一篇笔记orz

 

0x00 线段树概念

　　线段树是一种二叉搜索树。它将一个区间划分红一些单元区间，每一个单元区间对应线段树中的一个叶结点。

　　插入（删除）操做的时间复杂度为O（logn）。

 

0x01 树形结构及建树

　　做为一棵树，线段树的结构体大概是这样的：

struct SegmentTree{        //树的结构体 
    long long l,r;    //覆盖的区间的左右指针
    long long value;    //该节点上维护的值
    long long tag;    //lazy标记，下面会写到，这也是线段树的精髓
}node[MAX_N*4+5];

 

　　要想建一棵线段树，能够利用线段树是个二叉树的性质，进行递归建树：

void build(REG long long p,REG long long l,REG long long r){    //递归建树 
    node[p].l=l,node[p].r=r;
    if (l==r){    //访问到了最底部，不可再分 
        node[p].value=read();
        return ;
    }
    long long mid=(l+r)>>1;
    build(p<<1,l,mid);
    build((p<<1)+1,mid+1,r);
    node[p].value=node[p<<1].value+node[(p<<1)+1].value;
}

　　

　　这样咱们就拥有了一棵树。

0x02 lazy标记（懒标记）

　　上面提到过，线段树的精髓是lazy标记。无论是要查询仍是更改数列，都绕不开它。

　　若是要修改一段区间（好比同时都增长k），最容易想到的方法是暴力枚举，一个个修改。这样操做m次，最坏时间复杂度是O(mn)。显然是过不去的。

　　因此咱们能够想：若是不修改那么多节点呢？很容易想到，咱们只关心查询须要用到的节点——并非每个被修改的节点都会在查询中被访问到的。打个比方：假设只有一次修改，一次询问。修改修改[1,16]，而询问只关心[1,8]，那么咱们对于[9,16]的修改都是没有意义的。

　　能够想到，若是点i的两个儿子都要同时增长k，考虑先不修改两个儿子，而给点i打一个标记，标记一下i的两个儿子都要被修改。

　　若是在下面的询问里要访问到i的两个儿子之一，咱们再对i的两个儿子进行修改（或下传标记），再把标记归零。若是两个儿子都会被访问到，就直接取i的值（i点维护的value值是两个儿子节点的和）。

　　这差很少就是lazy标记的思想，时间复杂度就降到了O(mlogn)。

　　写一个下传标记的函数：

 

void push_down(REG const long long& p){
    node[p<<1].value+=(node[p].tag*(node[p<<1].r-node[p<<1].l+1));
    node[(p<<1)+1].value+=(node[p].tag*(node[(p<<1)+1].r-node[(p<<1)+1].l+1));
    node[p<<1].tag+=node[p].tag;
    node[(p<<1)+1].tag+=node[p].tag;
    node[p].tag=0;
}

 

　　按照这样的思想，咱们就能够写出线段树了。其余的在最终代码里写了，再也不赘述。

 

0x03 AC代码

#include <cstdio>
#define REG register
#define MAX_N 100000

using namespace std;

long long n,m;
long long a[MAX_N+5];

long long ch,x,y,z;

inline long long read(){    //快速读入 
    REG long long ch=getchar(),x=0,f=1;
    while (ch<'0'||ch>'9'){
        if (ch=='-')    f=-1;
        ch=getchar();
    } while (ch<='9'&&ch>='0'){
        x=x*10+ch-'0';
        ch=getchar();
    }return x*f;
}

struct SegmentTree{        //树的结构体 
    long long l,r;
    long long value;
    long long tag;
}node[MAX_N*4+5];

void build(REG long long p,REG long long l,REG long long r){    //递归建树 
    node[p].l=l,node[p].r=r;
    if (l==r){    //访问到了最底部，不可再分 
        node[p].value=read();
        return ;
    }
    long long mid=(l+r)>>1;
    build(p<<1,l,mid);
    build((p<<1)+1,mid+1,r);
    node[p].value=node[p<<1].value+node[(p<<1)+1].value;
}

void push_down(REG const long long& p){
    node[p<<1].value+=(node[p].tag*(node[p<<1].r-node[p<<1].l+1));
    node[(p<<1)+1].value+=(node[p].tag*(node[(p<<1)+1].r-node[(p<<1)+1].l+1));
    node[p<<1].tag+=node[p].tag;
    node[(p<<1)+1].tag+=node[p].tag;
    node[p].tag=0;    //标记归零 
}

void change(REG long long p,REG const long long& x,REG const long long& y,REG long long& z){
    if (x<=node[p].l&&y>=node[p].r){    //是否彻底在区间内 
        node[p].value+=(z*(node[p].r-node[p].l+1));
        node[p].tag+=z;
        return ;
    }
    if (node[p].tag)    push_down(p);    //不彻底在区间内，若是有lazy标记，下传 
    REG long long mid=(node[p].l+node[p].r)>>1;
    if (x<=mid)    change(p<<1,x,y,z);
    if (y>mid)    change((p<<1)+1,x,y,z);
    node[p].value=node[p<<1].value+node[(p<<1)+1].value;
}

inline long long ask(REG long long p,REG const long long& x,REG const long long& y){
    if (x<=node[p].l&&y>=node[p].r)    return node[p].value;
    push_down(p);
    REG long long mid=(node[p].l+node[p].r)>>1;
    long long ans=0;
    if (x<=mid)    ans+=ask(p<<1,x,y);
    if (y>mid)    ans+=ask((p<<1)+1,x,y);
    return ans; 
}

int main(){
//    freopen("test1.txt","r",stdin);
    n=read(),m=read();
    build(1,1,n);
    REG long long ch;
    while (m--){
        ch=read();
        if (ch==1){
            x=read(),y=read(),z=read();
            change(1,x,y,z);
        }
        else{
            x=read(),y=read();
            printf("%lld\n",ask(1,x,y));
        }
    }
    return 0;
} 

 

 　　若是写的有哪里不对，欢迎指出，轻喷orz

 

 

 

[参考百度百科及网友讲解]