假设咱们如今拿到了一个很是大的数组，对于这个数组里面的数字要反复不断地作两个操做。node
一、（query）随机在这个数组中选一个区间，求出这个区间全部数的和。c++
二、（update）不断地随机修改这个数组中的某一个值。算法
时间复杂度：数组
枚举：数据结构
枚举L~R的每一个数并累加。ide
- query：O（n）
找到要修改的数直接修改。函数
- update：O（1）
若是query与update要作不少不少次，query的O（n）会被卡住，因此时间复杂度会很是慢。那么有没有办法把query的时间复杂度降成O（1）呢？其中一种方法以下：学习
- 先创建一个与a数组同样大的数组。
- s[1]=a[1];s[2]=a[1]+a[2];s[3]=a[1]+a[2]+a[3];...;s[n]=a[1]+a[2]+a[3]+...+a[n]（在s数组中存入a的前缀和）
- 此时a[L]+a[L+1]+...+a[R]=s[R]-s[L-1]，query的时间复杂度降为O（1）。
- 但若要修改a[k]的值，随之也需修改s[k],s[k+1],...,s[n]的值，时间复杂度升为O（n）。
前缀和：ui
query：O（1）spa
update：O（n）
- 咱们发现，当咱们想尽方法把其中一个操做的时间复杂度改为O（1）后，另外一个操做的时间复杂度就会变为O（n）。当query与update的操做特别多时，不论用哪一种方法，整体的时间复杂度都不会特别快。
- 因此，咱们将要讨论一种叫线段树的数据结构，它能够把这两个操做的时间复杂度平均一下，使得query和update的时间复杂度都落在O（n log n）上，从而增长整个算法的效率。
线段树
假设咱们拿到了以下长度为6的数组：
在构建线段树以前，咱们先阐述线段树的性质：
一、线段树的每一个节点都表明一个区间。
二、线段树具备惟一的根节点，表明的区间是整个统计范围，如[1,N]。
三、线段树的每一个叶节点都表明一个长度为1的元区间[x,x]。
四、对于每一个内部节点[l,r]，它的左子结点是[l,mid]，右子节点是[mid+1,r]，其中mid=(l+r)/2（向下取整）。
依照这个数组，咱们构建以下线段树（结点的性质为sum）：
若咱们要求[2-5]区间中数的和：
若咱们要把a[4]改成6：
- 先一层一层找到目标节点修改，在依次向上修改当前节点的父节点。
接下来的问题是：如何保存这棵线段树？
- 用数组存储。
若咱们要取node结点的左子结点（left）与右子节点（right），方法以下：
- left=2*node+1
- right=2*ndoe+2
举结点5为例（左子结点为节点11，右子节点为节点12）：
- left5=2*5+1=11
- right5=2*5+2=12
接下来给出建树的代码：
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int N = 1000; int a[] = {1, 3, 5, 7, 9, 11}; int size = 6; int tree[N] = {0}; //创建范围为a[start]~a[end] void build(int a[], int tree[], int node/*当前节点*/, int start, int end){ //递归边界(即遇到叶子节点时) if (start == end){ //直接存储a数组中的值 tree[node] = a[start]; } else { //将创建的区间分红两半 int mid = (start + end) / 2; int left = 2 * node + 1;//左子节点的下标 int right = 2 * node + 2;//右子节点的下标 //求出左子节点的值(即从节点left开始,创建范围为a[start]~a[mid]) build(a, tree, left, start, mid); //求出右子节点的值(即从节点right开始,创建范围为a[start]~a[mid]) build(a, tree, right, mid+1, end); //当前节点的职位左子节点的值加上右子节点的值 tree[node] = tree[left] + tree[right]; } } int main(){ //从根节点(即节点0)开始建树,建树范围为a[0]~a[size-1] build(a, tree, 0, 0, size-1); for(int i = 0; i <= 14; i ++) printf("tree[%d] = %d\n", i, tree[i]); return 0; }
运行结果：
update操做：
- 肯定须要改的分支，向下寻找须要修改的节点，再向上修改节点值。
- 与建树的函数相比，update函数增长了两个参数x，val，即把a[x]改成val。
例：把a[x]改成6（代码实现）
void update(int a[], int tree[], int node, int start, int end, int x, int val){ //找到a[x],修改值 if (start == end){ a[x] = val; tree[node] = val; } else { int mid = (start + end) / 2; int left = 2 * node + 1; int right = 2 * node + 2; if (x >= start && x <= mid) {//若是x在左分支 update(a, tree, start, mid, x, val); } else {//若是x在右分支 update(a, tree, right, mid+1, end, x, val); } //向上更新值 tree[node] = tree[left] + tree[right]; } } 在主函数中调用： //把a[x]改为6 update(a, tree, 0, 0, size-1, 4, 6);
运行结果：
query操做：
- 向下依次寻找包含在目标区间中的区间，并累加。
- 与建树的函数相比，query函数增长了两个参数L，Rl，即把求a的区间[L,R]的和。
例：求a[2]+a[3]+...+a[5]的值（代码实现）
int query(int a[], int tree[], int node, int start, int end, int L,int R){ //若目标区间与当时区间没有重叠,结束递归返回0 if (start > R || end < L){ return 0; } //若目标区间包含当时区间,直接返回节点值 else if (L <=start && end <= R){ return tree[node]; } else { int mid = (start + end) / 2; int left = 2 * node + 1; int right = 2 * node + 2; //计算左边区间的值 int sum_left = query(a, tree, left, start, mid, L, R); //计算右边区间的值 int sum_right = query(a, tree, right, mid+1, end, L, R); //相加即为答案 return sum_left + sum_right; } } 在主函数中调用： //求区间[2,5]的和 int ans = query(a, tree, 0, 0, size-1, 2, 5); printf("ans = %d", ans);
运行结果：
最后，献上完整的代码：
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int N = 1000; int a[] = {1, 3, 5, 7, 9, 11}; int size = 6; int tree[N] = {0}; //创建范围为a[start]~a[end] void build(int a[], int tree[], int node/*当前节点*/, int start, int end){ //递归边界(即遇到叶子节点时) if (start == end) { //直接存储a数组中的值 tree[node] = a[start]; } else { //将创建的区间分红两半 int mid = (start + end) / 2; int left = 2 * node + 1;//左子节点的下标 int right = 2 * node + 2;//右子节点的下标 //求出左子节点的值(即从节点left开始,创建范围为a[start]~a[mid]) build(a, tree, left, start, mid); //求出右子节点的值(即从节点right开始,创建范围为a[start]~a[mid]) build(a, tree, right, mid+1, end); //当前节点的职位左子节点的值加上右子节点的值 tree[node] = tree[left] + tree[right]; } } void update(int a[], int tree[], int node, int start, int end, int x, int val){ //找到a[x],修改值 if (start == end){ a[x] = val; tree[node] = val; } else { int mid = (start + end) / 2; int left = 2 * node + 1; int right = 2 * node + 2; if (x >= start && x <= mid) {//若是x在左分支 update(a, tree, left, start, mid, x, val); } else {//若是x在右分支 update(a, tree, right, mid+1, end, x, val); } //向上更新值 tree[node] = tree[left] + tree[right]; } } //求a[L]~a[R]的区间和 int query(int a[], int tree[], int node, int start, int end, int L,int R){ //若目标区间与当时区间没有重叠,结束递归返回0 if (start > R || end < L){ return 0; } //若目标区间包含当时区间,直接返回节点值 else if (L <=start && end <= R){ return tree[node]; } else { int mid = (start + end) / 2; int left = 2 * node + 1; int right = 2 * node + 2; //计算左边区间的值 int sum_left = query(a, tree, left, start, mid, L, R); //计算右边区间的值 int sum_right = query(a, tree, right, mid+1, end, L, R); //相加即为答案 return sum_left + sum_right; } } int main(){ //从根节点(即节点0)开始建树,建树范围为a[0]~a[size-1] build(a, tree, 0, 0, size-1); for(int i = 0; i <= 14; i ++) printf("tree[%d] = %d\n", i, tree[i]); printf("\n"); //把a[x]改为6 update(a, tree, 0, 0, size-1, 4, 6); for(int i = 0; i <= 14; i ++) printf("tree[%d] = %d\n", i, tree[i]); printf("\n"); //求区间[2,5]的和 int ans = query(a, tree, 0, 0, size-1, 2, 5); printf("ans = %d", ans); return 0; }
运行结果：