Z算法

Z算法

Z算法是一种用于字符串匹配的算法。此算法的核心在于$z$数组以及它的求法。

（如下约定字符串下标从$1$开始）

$z$数组和Z-box

定义$z$数组：$z_{a,i}$表示从字符串$a$的第$i$位开始，日后能与$a$的前缀匹配的最长长度。显然，$z_{a,1}=|a|$恒成立。

一个Z-box是一个区间。给定一个字符串$a$，那么$a$上存在一个Z-box$[l,r]$当且仅当知足如下所有条件：

• $l\ne1$；
• $z_{a,l}\ne0$；
• $r=l+z_{a,l}-1$。

通俗来讲，若从$a$的第$i$位开始能与$a$的前缀匹配至少$1$位，那么能匹配的最长的串覆盖过的区间就是一个Z-box。（$l\ne1$是由于位置$1$很特殊，自己就是前缀，单独考虑）

例如若$a=\texttt{acactaac}$，那么$z_{a}=[8,0,2,0,0,1,2,0]$，Z-box有$[3,4],[6,6],[7,8]$。

$z$数组的求法

给定字符串$a$，如今咱们须要求出$z_{a}$。

因为$z_{a,1}$的值不用求，并且位置$1$比较特殊，就是前缀，因此咱们单独处理。

假设咱们如今已经知道了$z_{a,2\sim i-1}$和使得$zr$最大的Z-box$[zl,zr]$，要求出$z_{a,i}$并更新$zl,zr$，那么分$2$种状况：

1. $zr<i$。此时咱们直接暴力地从第$i$位向后匹配求出$z_{a,i}$。若是$z_{a,i}\ne0$，则令$zl=i,zr=i+z_{a,i}-1$；
2. $zr\ge i$。设$i-zl+1=i'$，即$i'$是把跨越$i$的Z-box$[zl,zr]$平移至$a$的前缀处后$i$的位置。此时又分$2$种状况：
   1. $i+z_{a,i'}\le zr$。显然$\left[i,i+z_{a,i'}\right]\subsetneq[zl,zr]$。根据Z-box的定义，$\forall j\in\left[i,i+z_{a,i'}\right],a_j=a_{j-zl+1}$。那么从$a$的第$i$位开始与$a$的前缀匹配的状况和从第$i'$位开始是同样的，直接令$z_{a,i}=z_{a,i'}$，$zl,zr$不变；
   2. $i+z_{a,i'}>zr$。同理，$\forall j\in[i,zr],a_j=a_{j-zl+1}$。那么$a$的第$i\sim zr$位与$a$的前缀匹配的状况和第$i'\sim zr-zl+1$位是同样的，显然$z_{a,i}$至少有$zr-i+1$这么多，因而直接从第$zr+1$位开始暴力向后匹配求出$z_{a,i}$，并令$zl=i,zr=i+z_{a,i}-1$（由于$z_{a,i}$不可能为$0$）。

这样先令$z_1=|a|$，而后按上述方法从$i=2$递推到$i=|a|$，即可求出$z_a$数组。

下面是求$z$数组的代码：

//|a|=n
void z_init(){//求z数组
	z[1]=n;//特殊处理z[1]
	int zl=0,zr=0;//右端点最大的Z-box
	for(int i=2;i<=n;i++)//从i=2递推到i=n
		if(zr<i){//第1种状况
			z[i]=0;
			while(i+z[i]<=n&&a[i+z[i]]==a[1+z[i]])z[i]++;//直接向后暴力匹配
			if(z[i])zl=i,zr=i+z[i]-1;//更新右端点最大的Z-box
		}
		else if(i+z[i-zl+1]<=zr)z[i]=z[i-zl+1];//第2种状况的第1种状况
		else{//第2种状况的第2种状况
			z[i]=zr-i+1;//z[i]至少有zr-i+1这么多
			while(i+z[i]<=n&&a[i+z[i]]==a[1+z[i]])z[i]++;//后面再暴力匹配
			zl=i;zr=i+z[i]-1;//更新右端点最大的Z-box
		}
}

时间复杂度

按上述方法求$z$数组的时间复杂度是线性的$\mathrm{O}(|a|)$。

证实~~（感性）~~：观察上述方法可发现，只有当$i>zr$时，才可能将这个位置的字符与前缀匹配，而匹配结束后会把$zr$更新至最后一个匹配成功的位置，因此每一个字符最多会和前缀成功匹配$1$次，因此匹配成功的总次数为$\mathrm{O}(|a|)$；算$z_{a,i}$时，若是日后暴力匹配（即遇到的不是第$2$种状况的第$1$种状况），那么第$1$次匹配失败就会停下来，因此匹配失败的总次数也为$\mathrm{O}(|a|)$。所以总时间就是匹配所花的时间$\mathrm{O}(|a|)+\mathrm{O}(|a|)=\mathrm O(|a|)$再加上一些赋值、更新$zl,zr$等一些$1$次只要$\mathrm O(1)$的操做，就仍是$\mathrm O(|a|)$了。得证。

应用

Z算法和ExKMP算法是彻底等价的，由于它们求的数组的意思是同样的。可是哈希、KMP能求的东西却有Z算法力所不及的。

Z算法最经常使用的用法就是字符串模式匹配（这个哈希和KMP也能够作到线性复杂度）。考虑把模式串$b$隔一个不经常使用字符接到文本串$a$前面，即令$c=b+\texttt{!}+a$。而后求出$z_c$，从$i=|b|+2$到$i=|c|$扫一遍，若是$z_i=|b|$，那么在该位置匹配成功。**注意：**所谓不经常使用字符必定不能在串中出现，否则会出bug。若是要用模式串$c$去匹配两个文本串$a,b$，能够令$d=c+\texttt{!}+a+\texttt @+b$，这时两个分隔符不能相同，否则也会出bug。

为何Z算法在字符串模式匹配上花的时间和哈希相同呢？Z算法算出了从每一位开始能与前缀匹配的最长长度，可是字符串模式匹配只须要知道可否与前缀$c_{1\sim|b|}$匹配，并未彻底使用$z$数组的价值。若是你就是想知道某一位开始能与前缀匹配的最长长度，哈希可就要二分的帮助了，复杂度是带$\log$的，不如用Z算法预处理一下。具体的能够参考下面$3$道例题。

不只如此，Z算法的常数比哈希小（由于为了使哈希不被卡<del>、不在CodeForces上FST</del>，通常要写双重哈希），正确率也比哈希高（Z算法正确率固然是$100%$啦）。

例题

CodeForces 526D - Om Nom and Necklace

题解传送门

CodeForces 427D - Match & Catch

题解传送门

CodeForces 955D - Scissors

题解传送门

原文出处：https://www.cnblogs.com/ycx-akioi/p/Z-algorithm.html