RSA算法原理（一）

若是你问我，哪种算法最重要？

我可能会回答"公钥加密算法"。

由于它是计算机通讯安全的基石，保证了加密数据不会被破解。你能够想象一下，信用卡交易被破解的后果。

进入正题以前，我先简单介绍一下，什么是"公钥加密算法"。

1、一点历史

1976年之前，全部的加密方法都是同一种模式：

　　（1）甲方选择某一种加密规则，对信息进行加密；

　　（2）乙方使用同一种规则，对信息进行解密。

因为加密和解密使用一样规则（简称"密钥"），这被称为"对称加密算法"（Symmetric-key algorithm）。

这种加密模式有一个最大弱点：甲方必须把加密规则告诉乙方，不然没法解密。保存和传递密钥，就成了最头疼的问题。

1976年，两位美国计算机学家Whitfield Diffie 和 Martin Hellman，提出了一种崭新构思，能够在不直接传递密钥的状况下，完成解密。这被称为"Diffie-Hellman密钥交换算法"。这个算法启发了其余科学家。人们认识到，加密和解密可使用不一样的规则，只要这两种规则之间存在某种对应关系便可，这样就避免了直接传递密钥。

这种新的加密模式被称为"非对称加密算法"。

　　（1）乙方生成两把密钥（公钥和私钥）。公钥是公开的，任何人均可以得到，私钥则是保密的。

　　（2）甲方获取乙方的公钥，而后用它对信息加密。

　　（3）乙方获得加密后的信息，用私钥解密。

若是公钥加密的信息只有私钥解得开，那么只要私钥不泄漏，通讯就是安全的。

1977年，三位数学家Rivest、Shamir 和 Adleman 设计了一种算法，能够实现非对称加密。这种算法用他们三我的的名字命名，叫作RSA算法。从那时直到如今，RSA算法一直是最广为使用的"非对称加密算法"。绝不夸张地说，只要有计算机网络的地方，就有RSA算法。

这种算法很是可靠，密钥越长，它就越难破解。根据已经披露的文献，目前被破解的最长RSA密钥是768个二进制位。也就是说，长度超过768位的密钥，还没法破解（至少没人公开宣布）。所以能够认为，1024位的RSA密钥基本安全，2048位的密钥极其安全。

下面，我就进入正题，解释RSA算法的原理。文章共分红两部分，今天是第一部分，介绍要用到的四个数学概念。你能够看到，RSA算法并不难，只须要一点数论知识就能够理解。

2、互质关系

若是两个正整数，除了1之外，没有其余公因子，咱们就称这两个数是互质关系（coprime）。好比，15和32没有公因子，因此它们是互质关系。这说明，不是质数也能够构成互质关系。

关于互质关系，不可贵到如下结论：

　　1. 任意两个质数构成互质关系，好比13和61。

　　2. 一个数是质数，另外一个数只要不是前者的倍数，二者就构成互质关系，好比3和10。

　　3. 若是两个数之中，较大的那个数是质数，则二者构成互质关系，好比97和57。

　　4. 1和任意一个天然数是都是互质关系，好比1和99。

　　5. p是大于1的整数，则p和p-1构成互质关系，好比57和56。

　　6. p是大于1的奇数，则p和p-2构成互质关系，好比17和15。

3、欧拉函数

请思考如下问题：

　　任意给定正整数n，请问在小于等于n的正整数之中，有多少个与n构成互质关系？（好比，在1到8之中，有多少个数与8构成互质关系？）

计算这个值的方法就叫作欧拉函数，以φ(n)表示。在1到8之中，与8造成互质关系的是一、三、五、7，因此 φ(n) = 4。

φ(n) 的计算方法并不复杂，可是为了获得最后那个公式，须要一步步讨论。

第一种状况

若是n=1，则 φ(1) = 1 。由于1与任何数（包括自身）都构成互质关系。

第二种状况

若是n是质数，则 φ(n)=n-1 。由于质数与小于它的每个数，都构成互质关系。好比5与一、二、三、4都构成互质关系。

第三种状况

若是n是质数的某一个次方，即 n = p^k (p为质数，k为大于等于1的整数)，则

好比 φ(8) = φ(2^3) =2^3 - 2^2 = 8 -4 = 4。

这是由于只有当一个数不包含质数p，才可能与n互质。而包含质数p的数一共有p^(k-1)个，即1×p、2×p、3×p、...、p^(k-1)×p，把它们去除，剩下的就是与n互质的数。

上面的式子还能够写成下面的形式：

能够看出，上面的第二种状况是 k=1 时的特例。

第四种状况

若是n能够分解成两个互质的整数之积，

　　n = p1 × p2

则

　　φ(n) = φ(p1p2) = φ(p1)φ(p2)

即积的欧拉函数等于各个因子的欧拉函数之积。好比，φ(56)=φ(8×7)=φ(8)×φ(7)=4×6=24。

这一条的证实要用到"中国剩余定理"， 这里就不展开了，只简单说一下思路：若是a与p1互质(a<p1)，b与p2互质(b<p2)，c与p1p2互质(c<p1p2)，则 c与数对 (a,b) 是一一对应关系。因为a的值有φ(p1)种可能，b的值有φ(p2)种可能，则数对 (a,b) 有φ(p1)φ(p2)种可能，而c的值有φ(p1p2)种可能，因此φ(p1p2)就等于φ(p1)φ(p2)。

第五种状况

由于任意一个大于1的正整数，均可以写成一系列质数的积。

根据第4条的结论，获得

再根据第3条的结论，获得

也就等于

这就是欧拉函数的通用计算公式。好比，1323的欧拉函数，计算过程以下：

4、欧拉定理

欧拉函数的用处，在于欧拉定理。"欧拉定理"指的是：

若是两个正整数a和n互质，则n的欧拉函数 φ(n) 可让下面的等式成立：

也就是说，a的φ(n)次方被n除的余数为1。或者说，a的φ(n)次方减去1，能够被n整除。好比，3和7互质，而7的欧拉函数φ(7)等于6，因此3的6次方（729）减去1，能够被7整除（728/7=104）。

欧拉定理的证实比较复杂，这里就省略了。咱们只要记住它的结论就好了。

欧拉定理能够大大简化某些运算。好比，7和10互质，根据欧拉定理，

已知 φ(10) 等于4，因此立刻获得7的4倍数次方的个位数确定是1。

所以，7的任意次方的个位数（例如7的222次方），心算就能够算出来。

欧拉定理有一个特殊状况。

假设正整数a与质数p互质，由于质数p的φ(p)等于p-1，则欧拉定理能够写成

这就是著名的费马小定理。它是欧拉定理的特例。

欧拉定理是RSA算法的核心。理解了这个定理，就能够理解RSA。

5、模反元素

还剩下最后一个概念：

若是两个正整数a和n互质，那么必定能够找到整数b，使得 ab-1 被n整除，或者说ab被n除的余数是1。

这时，b就叫作a的"模反元素"。

好比，3和11互质，那么3的模反元素就是4，由于 (3 × 4)-1 能够被11整除。显然，模反元素不止一个， 4加减11的整数倍都是3的模反元素 {...,-18,-7,4,15,26,...}，即若是b是a的模反元素，则 b+kn 都是a的模反元素。

欧拉定理能够用来证实模反元素必然存在。

能够看到，a的 φ(n)-1 次方，就是a的模反元素。

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好了，须要用到的数学工具，所有介绍完了。RSA算法涉及的数学知识，就是上面这些，下一次我就来介绍公钥和私钥究竟是怎么生成的。

（完）