平面几何趣题集萃

如下收集暑假期间遇到的平面几何题，以及解法的一些提示。给将来的本身复习参考用。

多图片预警（请注意流量）

 

目录： 

Part 0：杂题(7) 

Part 1：等腰三角形中斯特瓦尔特定理的应用(8)

 

Part 0：杂题 

一、如图，锐角三角形ABC中，AD垂直于BC。在线段AD上任取一点E，链接BE并延长交AC于F，链接CE并延长交AB于G。

求证：DA平分∠GDF

证法一：建坐标系，代数法（略）。

证法二：三角函数暴力推（略）。

证法三：关键词：赛瓦定理。辅助线以下：

 

二、刚刚在 matrix67 的博客上翻阅到一题：http://www.matrix67.com/blog/archives/442

任意给定一个三角形ABC。令M为BC上的中点，令H为BC上的垂足。角A的平分线与BC交于点D。过B、C分别向角平分线AD做垂线，垂足分别为P、Q。

证实H、P、M、Q四点共圆。

博主的证法朴实又简洁明了。

评论区中 Pegasus 提到了一个出类拔萃的作法，尽管不那么简洁，但十分有趣天然奇妙，忍不住来分享一下：

做△ABC外接圆交AD延长线于X，∵AD是角平分线，∴MX⊥BC

根据相交弦定理，AD·DX=BD·DC

两边同时乘以cos∠ADB的平方，获得PD·DQ=HD·DM。因而PHQM四点公圆。

 

三、

 

 from 中等数学 2011-07 一道 IMO 几何题的另解

阅读了原题解（中等数学 2009-09 第 50 届 IMO 试题解答 ）和这篇“另解”，发现它们都采用了高深的三角函数。

因而这里来展现一下几何方法（因为偷懒就写简要过程了）：

 

显然O,K,C共线。连结OC，连结DK。做D关于OC的对称点。

∠OD'K=∠OEK，因此D'和E点重合，或O,K,D',E四点公圆。

① D'和E点重合，则BE⊥AC，易得 ∠BAC=60°

② O,K,D',E四点公圆。∵∠OD'E=90°，∴∠OKE=90°。

∴∠OEK=∠EOK=45°

由于K在∠DAC的角平分线上，易得AO=AE。∠AOE=∠AEO，∠BAD+∠ABE=∠ACB+∠EBC。

因此 ∠BAC=90°

综上，∠BAC=60° 或 90°

 

四、

关键词：R乘到左边，面积法

 

五、

关键词：构造平均长度。

 

六、

关键词：对称

 

七、

 

关键词：先猜后证。

结论：四边形AO₁O₂P是等腰梯形，AO₁=PO₂

方法一：PS=PT因而PM₁=PM₂（《中等数学 · 2011年第8期 · 构造对称结竞赛题》中的证法）

方法二：图中两个三角形全等。

 

 

 

Part 1：等腰三角形中斯特瓦尔特定理的应用。（from 中等数学 2011.7）

斯特瓦尔特定理原型：https://baike.baidu.com/item/%E6%96%AF%E7%89%B9%E7%93%A6%E5%B0%94%E7%89%B9%E5%AE%9A%E7%90%86 

特殊情形：等腰三角形 ABC 中 AB=AC，则 AB²－AD² =BD·DC

 

一、

关键词：圆幂定理

 

二、

 关键词：无

 

三、

关键词：两个外心，定差幂线定理（平方的差相等即垂直）

 

四、

关键词：牛顿定理（类似证四线共点），定差幂线。

 

五、

 

最关键的一步，有两条线是垂直的？！

关键词：圆的幂（本质仍是斯特瓦尔特），定差幂线定理

 

六、

 关键词：彻底四边形的密克尔点（四圆共点）

 

七、

方法一（朴素、基础方法）：调和点列，梅涅劳斯定理。

方法二（模仿上一题作法）：密克尔点。

 

八、

关键词：梅涅劳斯定理。