【机器学习】多项式回归

注：在上一篇的通常线性回归中，使用的假设函数是一元一次方程，也就是二维平面上的一条直线。可是不少时候可能会遇到直线方程没法很好的拟合数据的状况，这个时候能够尝试使用多项式回归。多项式回归中，加入了特征的更高次方（例如平方项或立方项），也至关于增长了模型的自由度，用来捕获数据中非线性的变化。添加高阶项的时候，也增长了模型的复杂度。随着模型复杂度的升高，模型的容量以及拟合数据的能力增长，能够进一步下降训练偏差，但致使过拟合的风险也随之增长。

 

 

图A，模型复杂度与训练偏差及测试偏差之间的关系

 

0. 多项式回归的通常形式

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在多项式回归中，最重要的参数是最高次方的次数。设最高次方的次数为$n$，且只有一个特征时，其多项式回归的方程为：

$$ \hat{h} = \theta_0 + \theta_1 x^1 + \ ... \  + \theta_{n-1} x^{n-1} +  \theta_n x^n $$

若是令$x_0 = 1$，在多样本的状况下，能够写成向量化的形式：

$$\hat{h} = X \cdot \theta$$

其中$X$是大小为$m \cdot (n+1)$的矩阵，$\theta$是大小为$(n+1) \cdot 1$的矩阵。在这里虽然只有一个特征$x$以及$x$的不一样次方，可是也能够将$x$的高次方当作一个新特征。与多元回归分析惟一不一样的是，这些特征之间是高度相关的，而不是一般要求的那样是相互对立的。

 在这里有个问题在刚开始学习线性回归的时候困扰了本身好久：若是假设中出现了高阶项，那么这个模型仍是线性模型吗？此时看待问题的角度不一样，获得的结果也不一样。若是把上面的假设当作是特征$x$的方程，那么该方程就是非线性方程；若是当作是参数$\theta$的方程，那么$x$的高阶项均可以看作是对应$\theta$的参数，那么该方程就是线性方程。很明显，在线性回归中采用了后一种解释方式。所以多项式回归仍然是参数的线性模型。

 

1. 多项式回归的实现

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下面主要使用了numpy、scipy、matplotlib和scikit-learn，全部使用到的函数的导入以下：

1 import numpy as np
2 from scipy import stats
3 import matplotlib.pyplot as plt
4 from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures
5 from sklearn.linear_model import LinearRegression
6 from sklearn.metrics import mean_squared_error

下是使用的数据是使用$y = x^2 + 2$并加入一些随机偏差生成的，只取了10个数据点：

 1 data = np.array([[ -2.95507616,  10.94533252],
 2        [ -0.44226119,   2.96705822],
 3        [ -2.13294087,   6.57336839],
 4        [  1.84990823,   5.44244467],
 5        [  0.35139795,   2.83533936],
 6        [ -1.77443098,   5.6800407 ],
 7        [ -1.8657203 ,   6.34470814],
 8        [  1.61526823,   4.77833358],
 9        [ -2.38043687,   8.51887713],
10        [ -1.40513866,   4.18262786]])
11 m = data.shape[0]  # 样本大小
12 X = data[:, 0].reshape(-1, 1)  # 将array转换成矩阵
13 y = data[:, 1].reshape(-1, 1)
14 plt.plot(X, y, "b.")
15 plt.xlabel('X')
16 plt.ylabel('y')
17 plt.show()

这些数据点plot出来，以下图：

图1-1，原始数据

1.1 直线方程拟合

下面先用直线方程拟合上面的数据点：

 1 lin_reg = LinearRegression()
 2 lin_reg.fit(X, y)
 3 print(lin_reg.intercept_, lin_reg.coef_)  # [ 4.97857827] [[-0.92810463]]
 4 
 5 X_plot = np.linspace(-3, 3, 1000).reshape(-1, 1)
 6 y_plot = np.dot(X_plot, lin_reg.coef_.T) + lin_reg.intercept_
 7 plt.plot(X_plot, y_plot, 'r-')
 8 plt.plot(X, y, 'b.')
 9 plt.xlabel('X')
10 plt.ylabel('y')
11 plt.savefig('regu-2.png', dpi=200)

图1-2，直线拟合的效果

可使用函数"mean_squared_error"来计算偏差(使用前面介绍过的Mean squared error, MSE)：

h = np.dot(X.reshape(-1, 1), lin_reg.coef_.T) + lin_reg.intercept_
print(mean_squared_error(h, y)) # 3.34

 

1.2 使用多项式方程

为了拟合2次方程，须要有特征$x^2$的数据，这里可使用函数"PolynomialFeatures"来得到：

1 poly_features = PolynomialFeatures(degree=2, include_bias=False)
2 X_poly = poly_features.fit_transform(X)
3 print(X_poly)

结果以下：

[[-2.95507616  8.73247511]
 [-0.44226119  0.19559496]
 [-2.13294087  4.54943675]
 [ 1.84990823  3.42216046]
 [ 0.35139795  0.12348052]
 [-1.77443098  3.1486053 ]
 [-1.8657203   3.48091224]
 [ 1.61526823  2.60909145]
 [-2.38043687  5.66647969]
 [-1.40513866  1.97441465]]

利用上面的数据作线性回归分析：

 1 lin_reg = LinearRegression()
 2 lin_reg.fit(X_poly, y)
 3 print(lin_reg.intercept_, lin_reg.coef_)  # [ 2.60996757] [[-0.12759678  0.9144504 ]]
 4 
 5 X_plot = np.linspace(-3, 3, 1000).reshape(-1, 1)
 6 X_plot_poly = poly_features.fit_transform(X_plot)
 7 y_plot = np.dot(X_plot_poly, lin_reg.coef_.T) + lin_reg.intercept_
 8 plt.plot(X_plot, y_plot, 'r-')
 9 plt.plot(X, y, 'b.')
10 plt.show()

第3行获得了训练后的参数，即多项式方程为$h = -0.13x + 0.91x^2 + 2.61$ （结果中系数的顺序与$X$中特征的顺序一致），以下图所示：

图1-3：2次多项式方程与原始数据的比较

利用多项式回归，代价函数MSE的值降低到了0.07。经过观察代码，能够发现训练多项式方程与直线方程惟一的差异是输入的训练集$X$的差异。在训练直线方程时直接输入了$X$的值，在训练多项式方程的时候，还添加了咱们计算出来的$x^2$这个“新特征”的值（因为$x^2$彻底是由$x$的值肯定的，所以严格意义上来说此时该模型只有一个特征$x$）。

此时有个很是有趣的问题：假如一开始获得的数据就是上面代码中"X_poly"的样子，且不知道$x_1$与$x_2$之间的关系。此时至关于咱们有10个样本，每一个样本具备$x_1, x_2$两个不一样的特征。这时假设函数为：$$\hat{h} = \theta_0 + \theta_1 x_1 + \theta_2 x_2$$

直接按照二元线性回归方程来训练，也能够获得上面一样的结果（$\theta$的值）。若是在相同状况下，收集到了新的数据，能够直接带入上面的方程进行预测。惟一不一样的是，咱们不知道$x_2 = x_1^2$这个隐含在数据内部的关系，全部也就没法画出图1-3中的这条曲线。一旦了解到了这两个特征之间的关系，数据的维度就从3维降低到了2维（包含截距项$\theta_0$）。

 

 2. 持续下降训练偏差与过拟合

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在上面实现多项式回归的过程当中，经过引入高阶项$x^2$，训练偏差从3.34降低到了0.07，减少了将近50倍。那么训练偏差是否还有进一步降低的空间呢？答案是确定的，经过继续增长更高阶的项，训练偏差能够进一步下降。经过尝试，当最高阶项为$x^{11}$时，训练偏差为3.11e-23，几乎等于0了。

下面是测试不一样degree的过程：

 1 # test different degree and return loss
 2 def try_degree(degree, X, y):
 3     poly_features_d = PolynomialFeatures(degree=degree, include_bias=False)
 4     X_poly_d = poly_features_d.fit_transform(X)
 5     lin_reg_d = LinearRegression()
 6     lin_reg_d.fit(X_poly_d, y)
 7     return {'X_poly': X_poly_d, 'intercept': lin_reg_d.intercept_, 'coef': lin_reg_d.coef_}
 8 
 9 degree2loss_paras = []
10 for i in range(2, 20):
11     paras = try_degree(i, X, y)
12     h = np.dot(paras['X_poly'], paras['coef'].T) + paras['intercept']
13     _loss = mean_squared_error(h, y)
14     degree2loss_paras.append({'d': i, 'loss': _loss, 'coef': paras['coef'], 'intercept': paras['intercept']})
15 
16 min_index = np.argmin(np.array([i['loss'] for i in degree2loss_paras]))
17 min_loss_para = degree2loss_paras[min_index]
18 print(min_loss_para)  # 
19 X_plot = np.linspace(-3, 1.9, 1000).reshape(-1, 1)
20 poly_features_d = PolynomialFeatures(degree=min_loss_para['d'], include_bias=False)
21 X_plot_poly = poly_features_d.fit_transform(X_plot)
22 y_plot = np.dot(X_plot_poly, min_loss_para['coef'].T) + min_loss_para['intercept']
23 fig, ax = plt.subplots(1, 1)
24 ax.plot(X_plot, y_plot, 'r-', label='degree=11')
25 ax.plot(X, y, 'b.', label='X')
26 plt.xlabel('X')
27 plt.ylabel('y')
28 ax.legend(loc='best', frameon=False)
29 plt.savefig('regu-4-overfitting.png', dpi=200)

输出为：

{'coef': array([[  0.7900162 ,  26.72083627,   4.33062978,  -7.65908434,
          24.62696711,  12.33754429, -15.72302536,  -9.54076366,
           1.42221981,   1.74521649,   0.27877112]]),
 'd': 11,
 'intercept': array([-0.95562816]),
 'loss': 3.1080267005676934e-23}

画出的函数图像以下：

图2-1：degree=11时的函数图像

由图2-1能够看到，此时函数图像穿过了每个样本点，全部的训练样本都落在了拟合的曲线上，训练偏差接近与0。 能够说是近乎完美的模型了。可是，这样的曲线与咱们最开始数据的来源（一个二次方程加上一些随机偏差）差别很是大。若是从相同来源再取一些样本点，使用该模型预测会出现很是大的偏差。相似这种训练偏差很是小，可是新数据点的测试偏差很是大的状况，就叫作模型的过拟合。过拟合出现时，表示模型过于复杂，过多考虑了当前样本的特殊状况以及噪音（模型学习到了当前训练样本非全局的特性），使得模型的泛化能力降低。

出现过拟合通常有如下几种解决方式：

• 下降模型复杂度，例如减少上面例子中的degree；
• 降维，减少特征的数量；
• 增长训练样本；
• 添加正则化项.

防止模型过拟合是机器学习领域里最重要的问题之一。鉴于该问题的广泛性和重要性，在知足要求的状况下，能选择简单模型时应该尽可能选择简单的模型。

 

Reference

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http://scikit-learn.org/stable/modules/linear_model.html

Géron A. Hands-on machine learning with Scikit-Learn and TensorFlow: concepts, tools, and techniques to build intelligent systems[M]. " O'Reilly Media, Inc.", 2017. github

https://www.arxiv-vanity.com/papers/1803.09820/