第三节--k近邻算法

时间  2019-12-06
标签 三节 近邻 算法 繁體版
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第三节–k近邻算法

k近邻法(k-nearest neighbor,KNN)是一种基本分类与回归方法.k近邻法的输入为实例的特征变量,对应于特征空间的点,输出为实例的类别,能够取多类.k近邻法假设给定一个训练数据集,其中的实例类别已定,分类时,对新的实例,根据其k个最近邻的训练实例的类别,经过多数表决等方式进行预测.所以,k近邻法不具备显式的学习过程,k近邻法实际上利用训练数据集对特征向量空间进行划分,并做为其分类的"模型".k值的选择,距离度量及分类决策规则是k近邻法的三个基本要素html

首先叙述k近邻算法,而后讨论k近邻法的模型及三个基本要素,最后讲述k近邻法的一个实现方法–kd树node

一.k近邻算法

k近邻算法简单,直观：给定一个训练数据集,对新的输入实例,在训练数据集中找到与该实例最邻近的k个实例,这k个实例的多树属于某个类,就把该输入实例分为这个类python

输入：训练数据集
T = { ( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) , ⋯   , ( x N , y N ) } T=\left\{\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right), \cdots,\left(x_{N}, y_{N}\right)\right\} web

其中, x i ∈ X ⊆ R n x_{i} \in \mathcal{X} \subseteq \mathbf{R}^{n} 为实例的特征向量, y i ∈ Y = { c 1 , c 2 , ⋯   , c K } y_{i} \in \mathcal{Y}=\left\{c_{1}, c_{2}, \cdots, c_{K}\right\} 为实例的类别, i = 1 , 2 , ⋯   , N i=1,2, \cdots, N ;实例特征向量x算法

输出：实例x所属的类y数据结构

  1. 根据给定的距离度量,在训练集T中找出与x最近邻的k个点,涵盖这k个点的x的邻域记做为 N k ( x ) N_{k}(x)
  2. 在 N k ( x ) N_{k}(x) 中根据分类决策规则(如多数表决)决定x的类别y：
    y = arg ⁡ max ⁡ c j ∑ x i ∈ N k ( x ) I ( y i = c j ) , i = 1 , 2 , ⋯   , N , j = 1 , 2 , ⋯   , K y=\arg \max _{c_{j}} \sum_{x_{i} \in N_{k}(x)} I\left(y_{i}=c_{j}\right),i=1,2, \cdots, N, \quad j=1,2, \cdots, K
    其中I为指示函数,即当 y i = c j y_{i}=c_{j} 时I为1,不然I为0

k近邻法的特殊状况是k=1的情形,称为最近邻算法,对于输入的实例点(特征向量)x,最近邻法将训练数据集中与x最近邻点的类做为x的类app

k近邻法没有显式的学习过程dom

二.k近邻模型

k近邻法使用的模型实际上对应于对特征空间的划分,模型由三个基本要素—距离度量,k值的选择和分类决策规则决定ide

1.模型

k近邻法中,当训练集,距离度量(如欧式距离),k值及分类决策规则(如多数表决)肯定后.对于任何一个新的输入实例,它所属的类惟一地肯定.这至关于根据上述要素将特征空间划分为一些子空间,肯定子空间里的每一个点所属的类,这一事实从最近邻算法中能够看得很清楚svg

特征空间中,对每一个训练实例点 x i x_{i} ,距离该点比其余点更近的全部点组成一个区域,叫做单元(cell).每一个训练实例点拥有一个单元,全部训练实例点的单元构成对特征空间的一个划分,最近邻法将实例 x i x_{i} 的类 y i y_{i} 做为其单元中全部点的类标记(class label).这样,每一个单元的实例点的类别是肯定的

from IPython.display import Image
Image(filename="./data/3_1.png",width=500)

在这里插入图片描述

2.距离度量

特征空间中两个实例点的距离是两个实例点类似程度的反映.k近邻模型的特征空间通常是n维实数向量空间 R n \mathbf{R}^{n} .使用的距离是欧式距离,但也能够是其余距离.如更通常的 L p L_{p} 距离( L p L_{p} distance)或Minkowski距离(Minkowski distance)

设特征空间 X \mathcal{X} 是n维实数向量空间 R n \mathbf{R}^{n} , x i , x j ∈ X , x i = ( x i ( 1 ) , x i ( 2 ) , ⋯   , x i ( n ) ) ⊤ , x j = ( x j ( 1 ) , x j ( 2 ) , ⋯   , x j ( n ) ) T x_{i}, x_{j} \in \mathcal{X}, \quad x_{i}=\left(x_{i}^{(1)}, x_{i}^{(2)}, \cdots, x_{i}^{(n)}\right)^{\top},x_{j}=\left(x_{j}^{(1)}, x_{j}^{(2)}, \cdots, x_{j}^{(n)}\right)^{\mathrm{T}} , x i , x j x_{i}, x_{j} 的 L p L_{p} 距离定义为：
L p ( x i , x j ) = ( ∑ i = 1 n ∣ x i ( l ) − x j ( l ) ∣ p ) 1 p L_{p}\left(x_{i}, x_{j}\right)=\left(\sum_{i=1}^{n}\left|x_{i}^{(l)}-x_{j}^{(l)}\right|^{p}\right)^{\frac{1}{p}}

这里p≥1.当p=2时,称为欧式距离(Euclidean distance),即：
L 2 ( x i , x j ) = ( ∑ i = 1 n ∣ x i ( l ) − x j ( l ) ∣ 2 ) 1 2 L_{2}\left(x_{i}, x_{j}\right)=\left(\sum_{i=1}^{n}\left|x_{i}^{(l)}-x_{j}^{(l)}\right|^{2}\right)^{\frac{1}{2}}

当p=1时,称为曼哈顿距离(Manhattan distance),即：
L 1 ( x i , x j ) = ∑ l = 1 n ∣ x i ( l ) − x j ( l ) ∣ L_{1}\left(x_{i}, x_{j}\right)=\sum_{l=1}^{n}\left|x_{i}^{(l)}-x_{j}^{(l)}\right|

当 p = ∞ p=\infty 时,称为闵式距离(Minkowski distance),它是各个坐标距离的最大值,即：
L ∞ ( x i , x j ) = max ⁡ l ∣ x i ( l ) − x j ( l ) ∣ L_{\infty}\left(x_{i}, x_{j}\right)=\max _{l}\left|x_{i}^{(l)}-x_{j}^{(l)}\right|

下图给出了二维空间中p取不一样值时,与原点的 L p L_{p} 距离为1( L p L_{p} =1)的点的图片

Image(filename="./data/3_2.png",width=500)

在这里插入图片描述

下面的例子说明,由不一样的距离度量所肯定的最近邻点是不一样的

实例1：已知二维空间的3个点 x 1 = ( 1 , 1 ) T , x 2 = ( 5 , 1 ) T , x 3 = ( 4 , 4 ) T x_{1}=(1,1)^{\mathrm{T}}, x_{2}=(5,1)^{\mathrm{T}}, x_{3}=(4,4)^{\mathrm{T}} ,试求在p取不一样值时, L p L_{p} 距离下 x 1 x_{1} 的最近邻点

Image(filename="./data/3_3.png",width=500)

在这里插入图片描述

因而获得：p等于1或2时, x 2 x_{2} 是 x 1 x_{1} 的最近邻点;p大于等于3时, x 3 x_{3} 是 x 1 x_{1} 的最近邻点

3.k值的选择

k值的选择会对k近邻法的结果产生重大影响

若是选择较小的k值,就至关于用较小的邻域中的训练实例进行预测,"学习"的近似偏差(approximation error)会减少,只有与输入实例较近的训练实例才会对预测结果其做用,但缺点是"学习"的估计偏差(estimation error)会增大,预测结果会近邻的实例点很是敏感.若是邻近的实例点恰巧是噪声.预测就会出错.换句话说,k值的减少就意味着总体模型变得复杂,容易发生过拟合

若是选择较大的k值,就至关于用较大邻域中的训练实例进行预测,其优势是能够减小学习的估计偏差,但缺点是学习的近似偏差会增大.这时与输入实例较远训练实例也会对预测其做用,使预测发生错误,k值的增大就意味着总体的模型变得简单

4.分类决策规则

k近邻法中的分类决策规则每每是多数表决,即由输入实例的k个邻近的训练实例中的多数类决定输入实例的类

多数表决规则(majority voting rule)有以下解释：若是分类的损失函数为0-1损失函数,分类函数为：
f : R n → { c 1 , c 2 , ⋯   , c K } f : \mathbf{R}^{n} \rightarrow\left\{c_{1}, c_{2}, \cdots, c_{K}\right\}

那么误分类的几率是：
P ( Y ≠ f ( X ) ) = 1 − P ( Y = f ( X ) ) P(Y \neq f(X))=1-P(Y=f(X))

对给定的实例 x ∈ X x \in \mathcal{X} ,其最近邻的k个训练实例点构成集合 N k ( x ) N_{k}(x) .若是涵盖 N k ( x ) N_{k}(x) 的区域的类别是 c j c_{j} ,那么误分类率是：
1 k ∑ x i ∈ N k ( x ) I ( y i ≠ c j ) = 1 − 1 k ∑ x i ∈ N k ( x ) I ( y i = c j ) \frac{1}{k} \sum_{x_{i} \in N_{k}(x)} I\left(y_{i} \neq c_{j}\right)=1-\frac{1}{k} \sum_{x_{i} \in N_{k}(x)} I\left(y_{i}=c_{j}\right)

要使误分类率最小即检验风险最小,就要使 ∑ x i ∈ N k ( x ) I ( y i = c j ) \sum_{x_{i} \in N_{k}(x)} I\left(y_{i}=c_{j}\right) 最大,因此多数表决规则等价于经验风险最小化

三.k近邻法的实现：kd树

实现k近邻法时,主要考虑的问题是如何对训练数据进行快速k近邻搜索.这点在特征空间的维数大及训练数据容量大时尤为必要

k近邻法最简单的实现方法是线性扫描(linear scan).这时要计算输入实例与每个训练实例的距离.当训练集很大时,计算很是耗时,这种方法是不可行的

为了提升k近邻搜索的效率,能够考虑使用特殊的结构存储训练数据,以减小计算距离的次数.kd树(kd tree)方法就是一种

1.构造kd树

kd树是一种对k维空间中的实例点进行存储以便对其进行快速检索的树形数据结构.kd树是二叉树,表示对k维空间的一个划分(partition).构造kd树至关于不断地用垂直于坐标轴的超平面将k维空间划分,构成一系列的k维超矩形区域.kd树的每一个结点对应于一个k维矩形区域

构造kd树的方法以下：构造根结点,使根结点对应于k维空间中包含全部实例点的超矩形区域;经过下面的递归方法,不断地对k维空间进行切分,生成子结点,在超矩形区域(结点)上选择一个坐标轴和在此坐标轴上的一个切分点,肯定一个超平面,这个超平面经过选定的切分点并垂直于选定的坐标轴.将当前超矩形区域切分为左右两个子区域(子结点);这时实例被分到两个子区域,这个过程直到子区域内没有实例时中止(终止时的结点为叶结点).在此过程当中,将实例保存在相应的结点上

一般,依次选择坐标轴对空间切分.选择训练实例点在选定坐标轴上的中位数(median)为切分点,这样获得的kd树是平衡的.注意,平衡的kd树搜索时的效率未必是最优的

构造平衡kd树

输入：k维空间数据集 T = { x 1 , x 2 , ⋯   , x N } T=\left\{x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{N}\right\}
其中 x i = ( x i ( 0 ) , x i ( 2 ) , ⋯   , x i ( k ) ) T , i = 1 , 2 , ⋯   , N x_{i}=\left(x_{i}^{(0)}, x_{i}^{(2)}, \cdots, x_{i}^{(k)}\right)^{\mathrm{T}}, \quad i=1,2, \cdots, N

输出：kd树

  1. 开始：构造根结点,根结点对应于包含 T T 的k维空间的超矩形区域
    选择 x ( 1 ) x^{(1)} 为坐标轴,以 T T 中全部实例的 x ( 1 ) x^{(1)} 的中位数为切分点,将根结点对应的超矩形区域切分为两个子区域.切分由经过切分点并与坐标轴 x ( 1 ) x^{(1)} 垂直的超平面

由根结点生成深度为1的左右子结点;左子结点对应坐标 x ( 1 ) x^{(1)} 小于切分点的子区域,右子结点对应于坐标 x ( 1 ) x^{(1)} 大于切分点的子区域

将落在切分超平面上的实例点保存在根结点

  1. 重复：对深度为j的结点,选择 x ( l ) x^{(l)} 为切分的坐标轴, l = j (   m o d   k ) + 1 l=j(\bmod k)+1 以该结点的区域中全部实例的 x ( l ) x^{(l)} 坐标的中位数为切分点,将该结点对应的超矩形区域切分为两个子区域,切分由经过切分点并与坐标轴 x ( l ) x^{(l)} 垂直的超平面实现

由该结点生成深度为j+1的左右子结点：左子结点对应坐标 x ( l ) x^{(l)} 小于切分点的子区域,右子结点对应坐标 x ( l ) x^{(l)} 大于切分点的子区域

将落在切分超平面上的实例点保存在该结点

  1. 直到两个子区域没有实例存在时中止,从而造成kd树的区域划分

实例2：给定一个二维空间的数据集
T = { ( 2 , 3 ) T , ( 5 , 4 ) T , ( 9 , 6 ) T , ( 4 , 7 ) T , ( 8 , 1 ) T , ( 7 , 2 ) T } T=\left\{(2,3)^{\mathrm{T}},(5,4)^{\mathrm{T}},(9,6)^{\mathrm{T}},(4,7)^{\mathrm{T}},(8,1)^{\mathrm{T}},(7,2)^{\mathrm{T}}\right\}
构造一个平衡kd树

解：根结点对应包含数据集 T T 的矩形,选择 x ( 1 ) x^{(1)} 轴,6个数据点的 x ( 1 ) x^{(1)} 坐标的中位数是7(注意：2,4,5,7,8,9在数学中的中位数为6,但因该算法的中值需在点集合以内,因此中值计算用的是len(points)/2=3,points[3]=(7,2)),以平面 x ( 1 ) = 7 x^{(1)}=7 将空间分为左右两个子矩形(子结点);接着,左矩形以 x ( 2 ) = 4 x^{(2)}=4 分为两个子矩形,右矩形以 x ( 2 ) = 6 x^{(2)}=6 分为两个子矩形,如此递归,最后获得如图所示的特征空间划分和kd树

Image(filename="./data/3_5.png",width=500)

在这里插入图片描述

Image(filename="./data/3_4.png",width=500)

在这里插入图片描述

2.搜索kd树

利用kd树能够省去对大部分数据点的搜索,从而减小搜索的计算量,这里以最近邻为例加以叙述,一样的方法能够应用到k近邻

给定一个目标点,搜索其最近邻.首先找到包含目标点的叶结点;而后从该叶结点出发,依次回退到父结点;不断查找与目标点最近邻的结点,当肯定不可能存在更近的结点时终止,这样搜索就被限制在空间的局部区域上,效率大为提升

用kd树的最近邻搜索

输入：已构造的kd树,目标点x
输出：x的最近邻

  1. 在kd树中找出包含目标点x的叶结点;从根结点出发,递归地向下访问kd树,若目标点x当前维的坐标小于切分点的坐标,则移动左子结点,不然移动到右子结点,直到子结点为叶节点为止

  2. 以此叶节点为"当前最近点"

  3. 递归地向上回退,在每一个节点进行一下操做
    a.若是该结点保存的实例点比当前最近点距离目标点更近,则以该实例点为"当前最近点"
    b.当前最近点必定存在于该结点一个子结点对应的区域.检查该子结点的父结点的另外一个结点对应的区域是否有更近的点.具体地,检查另外一子结点对应的区域是否与以目标点为球心,以目标点与"当前最近点"间的距离为半径的超球体相交
    若是相交,可能在另外一个子结点对应的区域内存在距目标点更近的点,移动到另外一个子结点.接着递归地进行最近邻搜索
    若是不想交,向上回退

  4. 当回退到根结点时,搜索结束,最后的"当前最近点"即为x的最近邻点
    若是实例点是随机分布的,kd树搜索的平均计算复杂度是 O ( log ⁡ N ) O(\log N)

实例：给定一个以下图所示的kd树,根节点为A,其子结点为B,C等,树上共存储7个实例点;另外一个输入目标实例点S,求S的最近邻

Image(filename="./data/3_8.png",width=500)

在这里插入图片描述

首先在kd树中找到包含点S的叶结点D(图中的右下区域),以点D做为近似最近邻.真正最近邻必定在以点S为中心经过点D的圆的内部.而后返回结点D的父结点B,在结点B的另外一子结点F的区域内搜索最近邻,结点F的区域与圆不想交,不可能有最近邻点,继续返回上一级父结点A,在结点A的另外一子结点C的区域内搜索最近邻,结点C的区域与圆相交;该区域在园内的实例点有点E,点E比点D更近,成为新的最近邻近似,最后获得点E是点S的最近邻

四.代码实现

1.度量距离

import math
from itertools import combinations
# p=1 Manhattan distance
# p=2 Euclidean distance
# p=3 Minkowski distance
def L(x,y,p=2):
    # x1=[1,1] x2=[5,1]
    if len(x)==len(y) and len(x)>1:
        sum=0
        for i in range(len(x)):
            sum+=math.pow(abs(x[i]-y[i]),p)
        return math.pow(sum,1/p)
    else:
        return 0
# 实例1
x1=[1,1]
x2=[5,1]
x3=[4,4]
# x1,x3
for i in range(1,5):
    r={"1-{}".format(c):L(x1,c,p=i) for c in [x2,x3]}
    print(min(zip(r.values(),r.keys())))
(4.0, '1-[5, 1]')
(4.0, '1-[5, 1]')
(3.7797631496846193, '1-[4, 4]')
(3.5676213450081633, '1-[4, 4]')

2.自定义KNN分析iris

遍历全部数据点,找出n个距离最近的点的分类状况,少数服从多数

%matplotlib inline
import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt

from sklearn.datasets import load_iris
from sklearn.model_selection import train_test_split

from collections import Counter
iris=load_iris()
df=pd.DataFrame(iris.data,columns=iris.feature_names)
df["label"]=iris.target
df.columns=["sepal length","sepal width","petal length","petal width","label"]
# data=np.array(df.iloc[:100,[0,1,-1]])
df
sepal length sepal width petal length petal width label
0 5.1 3.5 1.4 0.2 0
1 4.9 3.0 1.4 0.2 0
2 4.7 3.2 1.3 0.2 0
3 4.6 3.1 1.5 0.2 0
4 5.0 3.6 1.4 0.2 0
5 5.4 3.9 1.7 0.4 0
6 4.6 3.4 1.4 0.3 0
7 5.0 3.4 1.5 0.2 0
8 4.4 2.9 1.4 0.2 0
9 4.9 3.1 1.5 0.1 0
10 5.4 3.7 1.5 0.2 0
11 4.8 3.4 1.6 0.2 0
12 4.8 3.0 1.4 0.1 0
13 4.3 3.0 1.1 0.1 0
14 5.8 4.0 1.2 0.2 0
15 5.7 4.4 1.5 0.4 0
16 5.4 3.9 1.3 0.4 0
17 5.1 3.5 1.4 0.3 0
18 5.7 3.8 1.7 0.3 0
19 5.1 3.8 1.5 0.3 0
20 5.4 3.4 1.7 0.2 0
21 5.1 3.7 1.5 0.4 0
22 4.6 3.6 1.0 0.2 0
23 5.1 3.3 1.7 0.5 0
24 4.8 3.4 1.9 0.2 0
25 5.0 3.0 1.6 0.2 0
26 5.0 3.4 1.6 0.4 0
27 5.2 3.5 1.5 0.2 0
28 5.2 3.4 1.4 0.2 0
29 4.7 3.2 1.6 0.2 0
... ... ... ... ... ...
120 6.9 3.2 5.7 2.3 2
121 5.6 2.8 4.9 2.0 2
122 7.7 2.8 6.7 2.0 2
123 6.3 2.7 4.9 1.8 2
124 6.7 3.3 5.7 2.1 2
125 7.2 3.2 6.0 1.8 2
126 6.2 2.8 4.8 1.8 2
127 6.1 3.0 4.9 1.8 2
128 6.4 2.8 5.6 2.1 2
129 7.2 3.0 5.8 1.6 2
130 7.4 2.8 6.1 1.9 2
131 7.9 3.8 6.4 2.0 2
132 6.4 2.8 5.6 2.2 2
133 6.3 2.8 5.1 1.5 2
134 6.1 2.6 5.6 1.4 2
135 7.7 3.0 6.1 2.3 2
136 6.3 3.4 5.6 2.4 2
137 6.4 3.1 5.5 1.8 2
138 6.0 3.0 4.8 1.8 2
139 6.9 3.1 5.4 2.1 2
140 6.7 3.1 5.6 2.4 2
141 6.9 3.1 5.1 2.3 2
142 5.8 2.7 5.1 1.9 2
143 6.8 3.2 5.9 2.3 2
144 6.7 3.3 5.7 2.5 2
145 6.7 3.0 5.2 2.3 2
146 6.3 2.5 5.0 1.9 2
147 6.5 3.0 5.2 2.0 2
148 6.2 3.4 5.4 2.3 2
149 5.9 3.0 5.1 1.8 2

150 rows × 5 columns

plt.scatter(df[:50]["sepal length"],df[:50]["sepal width"],label="0")
plt.scatter(df[50:100]["sepal length"],df[50:100]["sepal width"],label="1")
plt.xlabel("sepal length")
plt.ylabel("sepal width")
plt.legend()
<matplotlib.legend.Legend at 0x18193faffd0>

在这里插入图片描述

data=np.array(df.iloc[:100,[0,1,-1]])
X,y=data[:,:-1],data[:,-1]
X_train,X_test,y_train,y_test=train_test_split(X,y,test_size=0.2)
class KNN(object):
    def __init__(self,X_train,y_train,n_neighbors=3,p=2):
        """ parameter:n_neighbors 临近点个数 parameter:p 距离度量 """
        self.n=n_neighbors
        self.p=p
        self.X_train=X_train
        self.y_train=y_train
        
    def predict(self,X):
        # 取出n个点
        knn_list=[]
        for i in range(self.n):
            dist=np.linalg.norm(X-self.X_train[i],ord=self.p)
            knn_list.append((dist,self.y_train[i]))
            
        for i in range(self.n,len(self.X_train)):
            max_index=knn_list.index(max(knn_list,key=lambda x:x[0]))
            dist=np.linalg.norm(X-self.X_train[i],ord=self.p)
            if knn_list[max_index][0]>dist:
                knn_list[max_index]=(dist,self.y_train[i])
                
        # 统计
        knn=[k[-1] for k in knn_list]
        count_pairs=Counter(knn)
        max_count=sorted(count_pairs,key=lambda x:x)[-1]
        return max_count
    
    def score(self,X_test,y_test):
        right_count=0
        n=10
        for X,y in zip(X_test,y_test):
            label=self.predict(X)
            if label==y:
                right_count+=1
        return right_count/len(X_test)
clf=KNN(X_train,y_train)
clf.score(X_test,y_test)
1.0
test_point=[6.0,3.0]
print("Test Point:{}".format(clf.predict(test_point)))
Test Point:1.0
plt.scatter(df[:50]["sepal length"],df[:50]["sepal width"],label="0")
plt.scatter(df[50:100]["sepal length"],df[50:100]["sepal width"],label="1")
plt.plot(test_point[0],test_point[1],"bo",label="test_point")
plt.xlabel("sepal length")
plt.ylabel("sepal width")
plt.legend()
<matplotlib.legend.Legend at 0x181944c5588>

在这里插入图片描述

3.sklearn实现KNN

from sklearn.neighbors import KNeighborsClassifier

clf_sk=KNeighborsClassifier()
clf_sk.fit(X_train,y_train)
KNeighborsClassifier(algorithm='auto', leaf_size=30, metric='minkowski',
           metric_params=None, n_jobs=None, n_neighbors=5, p=2,
           weights='uniform')
clf_sk.score(X_test,y_test)
1.0

sklearn.neighbors.KNeighborsClassifier主要参数说明：

  • n_neighbors:临近点个数
  • p:度量距离
  • algorithm:近邻算法,可选{“auto”,“ball_tree”,“kd_tree”,“brute”}
  • weights:肯定近邻的权重

4.kd树

# kd-tree每一个结点中主要包含的数据结构以下 
class KdNode(object):
    def __init__(self, dom_elt, split, left, right):
        self.dom_elt = dom_elt  # k维向量节点(k维空间中的一个样本点)
        self.split = split      # 整数（进行分割维度的序号）
        self.left = left        # 该结点分割超平面左子空间构成的kd-tree
        self.right = right      # 该结点分割超平面右子空间构成的kd-tree
 
 
class KdTree(object):
    def __init__(self, data):
        k = len(data[0])  # 数据维度
        
        def CreateNode(split, data_set): # 按第split维划分数据集exset建立KdNode
            if not data_set:    # 数据集为空
                return None
            # key参数的值为一个函数，此函数只有一个参数且返回一个值用来进行比较
            # operator模块提供的itemgetter函数用于获取对象的哪些维的数据，参数为须要获取的数据在对象中的序号
            #data_set.sort(key=itemgetter(split)) # 按要进行分割的那一维数据排序
            data_set.sort(key=lambda x: x[split])
            split_pos = len(data_set) // 2      # //为Python中的整数除法
            median = data_set[split_pos]        # 中位数分割点 
            split_next = (split + 1) % k        # cycle coordinates
            
            # 递归的建立kd树
            return KdNode(median, split, 
                          CreateNode(split_next, data_set[:split_pos]),     # 建立左子树
                          CreateNode(split_next, data_set[split_pos + 1:])) # 建立右子树
                                
        self.root = CreateNode(0, data)         # 从第0维份量开始构建kd树,返回根节点


# KDTree的前序遍历
def preorder(root):  
    print (root.dom_elt)  
    if root.left:      # 节点不为空
        preorder(root.left)  
    if root.right:  
        preorder(root.right)
# 对构建好的kd树进行搜索，寻找与目标点最近的样本点：
from math import sqrt
from collections import namedtuple

# 定义一个namedtuple,分别存放最近坐标点、最近距离和访问过的节点数
result = namedtuple("Result_tuple", "nearest_point nearest_dist nodes_visited")
  
def find_nearest(tree, point):
    k = len(point) # 数据维度
    def travel(kd_node, target, max_dist):
        if kd_node is None:     
            return result([0] * k, float("inf"), 0) # python中用float("inf")和float("-inf")表示正负无穷
 
        nodes_visited = 1
        
        s = kd_node.split        # 进行分割的维度
        pivot = kd_node.dom_elt  # 进行分割的“轴”
        
        if target[s] <= pivot[s]:           # 若是目标点第s维小于分割轴的对应值(目标离左子树更近)
            nearer_node  = kd_node.left     # 下一个访问节点为左子树根节点
            further_node = kd_node.right    # 同时记录下右子树
        else:                               # 目标离右子树更近
            nearer_node  = kd_node.right    # 下一个访问节点为右子树根节点
            further_node = kd_node.left
 
        temp1 = travel(nearer_node, target, max_dist)  # 进行遍历找到包含目标点的区域
        
        nearest = temp1.nearest_point       # 以此叶结点做为“当前最近点”
        dist = temp1.nearest_dist           # 更新最近距离
        
        nodes_visited += temp1.nodes_visited  
 
        if dist < max_dist:     
            max_dist = dist    # 最近点将在以目标点为球心，max_dist为半径的超球体内
            
        temp_dist = abs(pivot[s] - target[s])    # 第s维上目标点与分割超平面的距离
        if  max_dist < temp_dist:                # 判断超球体是否与超平面相交
            return result(nearest, dist, nodes_visited) # 不相交则能够直接返回，不用继续判断
            
        #---------------------------------------------------------------------- 
        # 计算目标点与分割点的欧氏距离 
        temp_dist = sqrt(sum((p1 - p2) ** 2 for p1, p2 in zip(pivot, target)))     
        
        if temp_dist < dist:         # 若是“更近”
            nearest = pivot          # 更新最近点
            dist = temp_dist         # 更新最近距离
            max_dist = dist          # 更新超球体半径
        
        # 检查另外一个子结点对应的区域是否有更近的点
        temp2 = travel(further_node, target, max_dist) 
        
        nodes_visited += temp2.nodes_visited
        if temp2.nearest_dist < dist:        # 若是另外一个子结点内存在更近距离
            nearest = temp2.nearest_point    # 更新最近点
            dist = temp2.nearest_dist        # 更新最近距离
 
        return result(nearest, dist, nodes_visited)
 
    return travel(tree.root, point, float("inf"))  # 从根节点开始递归
# 实例2
data = [[2,3],[5,4],[9,6],[4,7],[8,1],[7,2]]
kd = KdTree(data)
preorder(kd.root)
[7, 2]
[5, 4]
[2, 3]
[4, 7]
[9, 6]
[8, 1]
from time import clock
from random import random

# 产生一个k维随机向量，每维份量值在0~1之间
def random_point(k):
    return [random() for _ in range(k)]
 
# 产生n个k维随机向量 
def random_points(k, n):
    return [random_point(k) for _ in range(n)]
ret = find_nearest(kd, [3,4.5])
print (ret)
Result_tuple(nearest_point=[2, 3], nearest_dist=1.8027756377319946, nodes_visited=4)
N = 400000
t0 = clock()
kd2 = KdTree(random_points(3, N))            # 构建包含四十万个3维空间样本点的kd树
ret2 = find_nearest(kd2, [0.1,0.5,0.8])      # 四十万个样本点中寻找离目标最近的点
t1 = clock()
print ("time: ",t1-t0, "s")
print (ret2)
E:\Anaconda\envs\mytensorflow\lib\site-packages\ipykernel_launcher.py:2: DeprecationWarning: time.clock has been deprecated in Python 3.3 and will be removed from Python 3.8: use time.perf_counter or time.process_time instead
  


time:  6.159827752999263 s
Result_tuple(nearest_point=[0.09732020950704356, 0.49930092577904095, 0.8029864162744909], nearest_dist=0.004072918366121865, nodes_visited=42)


E:\Anaconda\envs\mytensorflow\lib\site-packages\ipykernel_launcher.py:5: DeprecationWarning: time.clock has been deprecated in Python 3.3 and will be removed from Python 3.8: use time.perf_counter or time.process_time instead
  """
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