[NOI2016]旷野大计算

Subtask0

造计算机神题。给一个忠告：珍爱生命，远离旷野大计算......
代码在这里：戳我

Subtask1

给定\(a,b\)；求\(-2a-2b\)。

熟悉操做环境：\([-(a+b)]<<1\)，共\(6\)次操做。

Subtask2

给定\(a\)；求\(\frac{1}{1+e^{17a}}\)。

熟悉关键函数及操做：\(s(-((a<<4)+a))\)，共\(6\)次操做。

Subtask3

给定\(a\)，求\(fu(a)\)，其中\(fu(a) = \{-1,0,1\}\)。

能够发现\(s(x)\)在\(x\to \infty\)时\(\to 1\)，在\(x\to -\infty\)时\(\to 0\)。
因此经过放缩就可以实现正、\(0\)、负数的区分了，即\([s(a<<500)-0.5]<<1\)，共\(6\)次操做。

Subtask4

给定\(a\)；求\(|a|\)。

最为关键的一档部分分。
首先\(s'(x)=\frac{e^{-x}}{(1+e^{-x})^2}\)，\(s'(0)=\frac{1}{4}\)，因此当\(x\to 0\)，则\(s(x)\to \frac{x}{4}+\frac{1}{2}\)。
因此考虑用\(x\to 0\)时的\(s(x)\)构造咱们须要的值。
考虑\(INFs(INFx)=[\{INF,x>0\},\{0,x<0\}]\)。
那么\(s(\frac{x}{INF}+INFs(INFx))=[\{1,x>0\},\{\frac{x}{4INF}+\frac{1}{2},x<0\}]\)，而后对着构造便可。
至于\(0\)的尴尬处境，经过加\(eps\)解决，令\(b=a+eps\)。
操做为：\(-8INF([s(\frac{b}{INF}+4INFs(INFb))]-\frac{1}{2})+b+4INFs(INFb)\)，共\(14\)次操做。
这个\(Subtask\)的构造思想以后要反复用到。

Subtask5

给定二进制数\(a\)，把它翻译为十进制数。

开始写\(for\)：对后\(31\)位模拟便可(第\(32\)位直接取)，共\(95\)次操做。

Subtask6

给定十进制数\(a\)，把它翻译为二进制数。

核心思想：从高位到低位，把当前数\(-2^t\)，若\(\ge 0\)则为\(1\)，不然为\(0\)。
与\(Subtask3\)蜜汁相像啊。先写出一个大概：\(s((x-2^t+eps)<<500)>>500\)。
而后来卡常，不难发现每次都左移十分浪费，因此预先左移一次便可。
再者第\(0\)位貌似不须要该操做，直接取当前结果便可，经过卡常共\(190\)次操做。

Subtask7

给定两个数\(a,b\)；求\(a\ xor\ b\)。

先转为二进制数操做，最后再转回十进制，那么只须要考虑某一位的答案。
考虑支持函数：\(f(x=\{0,1,2\})=[\{0,x=0,2\}\{1,x=1\}]\)，而后用\(f(x)\)求答案便可。
不难想到\(f(x)=x-s((x-1.5)<<500)<<1\)。一共\(603\)次操做。

Subtask8

给定\(a\)；求\(\frac{a}{10}\)。

考虑求\(s'(x_0)=\frac{1}{10}\)，而后当\(x\to x_0\)，\(s(x)=s(x_0)+\frac{1}{10}(x-x_0)\)。
手解可得：\(x_0=-ln(\frac{3+\sqrt{5}}{2})\)，先各凭本事把\(x_0\)和\(s(x_0)\)的高精小数搞出来再说。
而后就比较简单了，\(s(\frac{x}{INF}+x_0)=s(x_0)+\frac{x}{10INF}\)。
因此操做为：\([s(x>>500+x_0)-s(x_0)]<<500\)，共\(7\)次操做。

Subtask9

给定\(a_{1,2...,32}\)；把\(a\)数组排好序后输出来。

冒泡排序，每次操做：\(t=a_i+a_{i+1},a_{i+1}=a_i+max(0,a_i-a_{i+1}),a_i=t-a_{i+1}\)。
惟一的问题在于实现\(f(t)=max(0,t)\)，应该已经轻车熟路了吧。
一种可行构造：\(f(t)=x-4INF(s(\frac{t}{INF}+2INFs(INFt))-\frac{1}{2})+2INFs(INFt)\)。
共\(2192\)次操做。

Subtask10

给定\(a,b,c\)；实现\(a\times b \% c\)。

分两步，先算\(a\times b=t\)，再算\(t\% c\)。
第一步龟速乘，先把\(b\)转化为二进制数，设第\(i\)位为\(b_i\)。
咱们须要一个函数\(f(x,t=\{0,1\})=[\{0,t=0\},\{x,t=1\}]\)，作出\(f(x,t)\)事情就简单了。
注意到\(s(-\infty)\to 0\)，因此\(f(x,t)\)大概形式为\(s(x+INF(t-1))\)，但这样得不到\(x\)的值。
再次利用\(Sub4\)、\(Sub8\)的那种方法便可。
最终设计出来\(f(x,t)=2INF(-t+s(\frac{x}{INF}+INF(t-1))<<1)\)。
而后来实现取模，核心思想相似\(Sub6\)，须要函数\(g(x)=[\{1,x\ge 0\},\{0,x<0\}]\)。
因为\(x\)是整数域\(Z\)下的，因此这个就比较简单了，\(g(x)=s(INF(x+0.5))\)。一共\(1493\)步。