机会模型与显著性检验（一）

平均数的偏差

上一篇文章介绍了一个机会过程抽得数之和的标准偏差SE是：

在从装有标上数字的卡片的盒中做随机有放回的抽取时，抽得数之和的标准偏差是：

                SquareRoot ( 抽取次数 ) ×（盒子的SD）

若要求出抽得数的平均数的SE也很简单：

抽得的平均数的SE等于

              它们的和的SE / 抽取次数 = 盒子的SD / SquareRoot ( 抽取次数 )

经过它能够估计抽得的平均数的变异性。注意，有时咱们是不知道盒子的SD的，能够用样本的SD来近似代替。

例如，对某砝码的质量作100次测量，这些测量的平均数是（1kg + 715μg）， SD是 80μg，给出以下两个问题：

（1）单次测量值可能偏离确切重量多少？

（2）全部100次测量的平均数可能偏离确切重量多少？

对问题（1）的回答是 80μg。由于SD衡量的就是平均而言单次测量相对于均值的偏离程度（这里认为 均值≈真值）。

对问题（2）的回答是 8μg。由于 平均数的SE = 盒子的SD / SquareRoot ( 抽取次数 ) = 80 / SquareRoot(100) = 8。

最终，测量人员能够说：

    砝码的质量以 68% 的置信度落在这个区间内：（1kg + 715μg）± 8μg    

或

    砝码的质量以 95% 的置信度落在这个区间内：（1kg + 715μg）± 16μg    

而“置信”（Confidence）这个词也提醒咱们：

机会存在于测量过程当中，而不是在被测量的事物中

能够这样理解这句话：

砝码的质量是一个客观存在的常量，不因测量手段的不一样而变化，而且偏差是在测量过程当中被引入的。

机会模型

若是一个随机场合可以抽象成从一个盒子中抽取的过程，咱们就能够应用频率理论对其进行研究。这个盒子模型也被称为机会模型或随机模型。

机会模型有它的适用范围：

若是整个期间数据呈现必定趋势或规律模式，盒子模型不能应用。

下表给出中国在2004-2013年的城市化率：

这十年间中国城市化率稳定的上升，它不能被抽象为盒子模型。从盒子中抽取的数有时上升，有时降低。

举个散点图的例子：

若是把每一个点看作一次抽取，x 值表明抽取的编号，y 值表明抽到的值，能够看出散点具备明显的规律性分布，也即 y 与 x 具备相关性。例如，一国的城市化率与年份具备相关性、某地的月平均气温与月份具备相关性，此时用回归模型分析更合理。

一个盒子模型的统计数据看上去应该是这样的：

或者是这样的

显然，每次抽取的值的几率分布都是同样的，并无由于是第1次抽取仍是第100次抽取而有所不一样。

Z-检验

最好经过例子来讲明，这是《统计学》书中的一道习题：

问：

一个公司最近采用了弹性时间工做制，但愿该制度能提升员工的出勤率。为了检验效果，管理层简单随机地抽取了100名员工做为样本，并对他们进行了跟踪。一年下来，这些雇员平均缺勤 5.5 天，SD是 2.9 天。已知在弹性时间工做制实施以前员工平均缺勤 6.3 天，这可否说明该制度有效减小了缺勤率？仍是这个抽样数据仅仅是一个机会变异？

答：

假设（1）：样本平均缺勤率的减小由机会变异形成。

假设（2）：该制度有效减小了缺勤率。

把假设（1）称为【原假设】，把假设（2）称为【备选假设】。

若是将全公司员工的出勤状况抽象成一个盒子模型，那么原假设和备选假设都是对盒子模型的一种描述。他们是互斥的。

把 6.3 天称为【指望值】，把 5.5 天称为【观察值】

缺勤平均数的SE = 盒子SD / SquareRoot(抽取次数) = 2.9 / 10 = 0.29

检验统计常量：

 Z = （观察值 - 指望值）/ SE = （5.5 - 6.3） / 0.29 = -2.76 

该公式说明观察值相对于指望值向左偏移了 2.76 个 SE。

若是原假设正确，这样程度的偏移发生的几率约为 0.3% （经过正态表可查得）。咱们认为这个几率过小了，因此原假设是错误的，也即，新制度确实下降了缺勤率，它明确地反映在抽样数据上，而且这不是一个机会变异。

答毕。

上题中求得的几率 0.3% 就是统计结果的【显著性】，用 P 来表示。

若 P < 5%，咱们称此结果为统计显著。

若 P < 1%，咱们称此结果为高度显著。

不一样的应用场合下，拒绝原假设的触发条件不一样，能够是统计显著，也能够是高度显著，甚至能够是任何规定的条件。

上述检验过程是单样本检验，样本从同一个盒子抽取。若是两个相互独立且适当大的简单随机样本取自两个分开的盒子，对它们平均数之间差别的统计量作检验称为双样本Z-检验。

此时原假设称这两个盒子有相同的平均数，而备选假设称两个盒子均值的差别是显著的。合适的检验统计量为：

 Z = （均值1 - 均值2）/ 差的SE 

而两个独立随机变量的差的标准偏差是 SquareRoot ( a^2 + b^2 )，其中 a 是第一个量的 SE，b 是第二个量的 SE。

其余与单样本检验相同。

附，标准正态表：

t-检验

当抽样次数太少时（好比小于25次），Z检验将是不精确的，此时使用 t 检验。

使用 t 检验可分为 3 个步骤：

（1）测量值较少时，用其 SD 去估计盒子的 SD 不够精确，能够对测量值的 SD 作一个偏大的修正：

盒子 SD ≈ SquareRoot [ 抽样个数 / (抽样个数 - 1) ] × 测量值的SD

（2）肯定统计的自由度：

自由度 = 抽样个数 - 1

根据自由度选定 t 曲线。

（3）计算 P 值。

这一块 t 检验与 Z 检验是同样的。

 t = （观察值 - 指望值）/ SE  

根据检验统计量 t 在对应的 t 曲线上查表获得 P。

t-分布能够理解成是对正态分布的近似，自由度越大就越接近正态分布。

（上图中蓝色曲线为正态分布）。

附，t分布表：

总结

1. 本文全部的讨论都是基于机会模型（盒子模型），有规律的统计数据不适合抽象为机会模型。

2. Z-检验 与 t-检验针对抽样数据的均值作显著性检验，可以反映出一些趋势性的信息，为决策提供支持。
   

3. 本文讨论的显著性检验都是单尾（Single Tail）检验，它反映均值偏向某一方向的趋势大小。有时均值同时可能从两个方向偏离指望值，既能够大于指望值，也能够小于指望值。例如，对于弹性时间工做问题，修改备选假设为：新的制度可能下降平均缺勤率，也可能提升了它。此时 Z = -2.76 或 Z = 2.76 都将是高度显著的。这就是双尾检验。