如何理解算法时间复杂度的表示

先从O(1) 来讲，理论上哈希表就是O(1)。由于哈希表是经过哈希函数来映射的，因此拿到一个关键 字，用哈希函数转换一下，就能够直接从表中取出对应的值。和现存数据有多少毫无关系，故而每次执行 该操做只须要恒定的时间（固然，实际操做中存在冲突和冲突解决的机制，不能保证每次取值的时间是完 全同样的）。举个现实的例子，好比个人身后有一排柜子，里面有香蕉（代号B），苹果（代号A），葡萄 （G），如今你说A，我迅速的就把苹果递过来了；你说B，我迅速就把香蕉递过来了。就算你再增长菠萝 （P）、火龙果(H)，可是你说一个代号，我递给你相应的水果这个速度是几乎不会变的。

至于O(n) ，这个就是说随着样本数量的增长，复杂度也随之线性增长。典型的好比数数。若是一我的 从1数到100，须要100秒，那么从1到200，基本上不会小于200秒，因此数数就是一个O(n) 复杂度的 事情。通常来讲，须要序贯处理的算法的复杂度，都不会低于O(n) 。好比说，若是咱们要设计一个算 法从一堆杂乱的考试的卷子里面找出最高的分数，这就须要咱们从头至尾看完每一份试卷，显然试卷越 多，须要的时间也越多，这就是一个O(n) 复杂度的算法。

O(n2) 是说，计算的复杂度随着样本个数的平方数增加。这个例子在算法里面，就是那一群比较挫的 排序，好比冒泡、选择等等。沿着咱们刚才的说的那个试卷的例子，等咱们找出最高的分数以后，放在一 边另起一堆，而后用一样的方法找第二高的分数，再放到新堆上…… 这样咱们作n次，试卷就按照分数从低 到高都排好了。由于有n份试卷，第一次翻卷找最高分,要找n份试卷,第二次翻卷要找n-1份试卷,第三次翻卷要找n-2份试卷.... ,总共要找n+(n-1)+(n-2)...+1次,也就是 (n+1)n/2次,   舍去常数,就是n2次. 算法时间复杂度就是O(n2).    再好比说构建一个网络，每一个点都和其余的点相连。显然，每当咱们增长一个点，其实就须要构建这个点 和全部现存的点的连线，而现存的点的个数是n，因此每增长1，就须要增长n个链接，那么若是咱们增长n 个点呢，那这个链接的个数天然也就是 O(n2) 量级了。

不管是翻试卷，仍是建立网络，每增长一份试卷，每增长一个点，都须要给算法执行人带来n量级的工做 量，这种算法的复杂度就是 O(n2)。

而后是O(nlogn) ，这是常见算法复杂度里面相对难理解的，就是这个log怎么来的。前面那个 n，表明执行了n次 的操做，因此理解了log(n)，就理解了nlog(n)。

O(logn)的算法复杂度，典型的好比二分查找。设想一堆试卷，已经从高到底按照分数排列了，咱们现 在想找到有没有59分的试卷。怎么办呢？先翻到中间，把试卷堆由中间分红上下两堆，看中间这份是大于 仍是小于59，若是大于，就留下上面那堆，别的丢掉，若是小于，就留下下面那堆，丢掉上面。而后按照 一样的方法，每次丢一半的试卷，直到丢无可丢为止。

具体举一个例子, 假若有32份试卷，你丢一次，还剩16份 ，丢两次，还剩下8 份，丢三次，就只剩下4份了，能够这么一直 丢下去，丢到第五次，就只剩下一份了。也就是咱们一次丢一半，总要丢到只有一份的时候才能出那个要找的59分的卷子，一共执行了5次,2的5次方=32, 若是有n份，也就是大约须要log2n 次，才能得出“找到”或者“没找到”的结果。固然你说你三分查找，每次丢三 分之二可不能够？固然也能够，可是算法复杂度在这里是忽略常数的，因此无论以2为底，仍是以什么数为 底，都统一的写成 的形式。

理解了这一点，就能够理解快速排序为何是 O(nlog(n))了。好比对一堆带有序号的n本书进行排序，怎么快速排序呢？就是随便先选一本，而后把号码大于这本书的扔右边，小于这本书的扔左边。由于每本书都要比较 一次，因此这么搞一次的复杂度是O( n)，那么快速排序须要咱们重复多少次呢？这又回到了二分查找的逻 辑了，通过第一次后,这堆书一分为二堆,  每堆是n/2本 , 在这两堆上再重复上面的步骤, 每堆排序一次的步骤n/2次  两堆共n/2+n/2=n次 , 再两堆分四堆,每堆的步骤是n/4次, 四堆共n/4+n/4+n/4+n/4=n次....  因此每次分堆后,总的步骤次数都是n次, 请问分多少次手里每堆里只有一本书呢？答案仍是log2n 。因此分堆次数是log2n ,而每分一次堆后排序总步骤是n次,所以总的次数是nlogn.也就是时间复杂度为O(nlogn).