低秩稀疏矩阵恢复|ADM(IALM)算法

---

一曲新词酒一杯，去年天气旧亭台。夕阳西下几时回？
迫不得已花落去，似曾相识燕归来。小园香径独徘徊。
———《浣溪沙·一曲新词酒一杯》——晏殊

更多精彩内容请关注微信公众号 “优化与算法”

上一期介绍了低秩矩阵填充问题，这一期介绍一下低秩稀疏矩阵恢复问题。

1. 低秩矩阵恢复

将一个矩阵 \(\bf{D}~(\bf {D} = \bf {A_0} +\bf E_0)\) 分解为一个低秩矩阵部分 \(\bf{A}\) 和一个独立同分布的高斯矩阵 \(\bf{E}\) 的问题是经典的主成分分析（PCA）问题，能够经过对矩阵 \(\bf{D}\) 进行奇异值分解获得最优解。

然而，当矩阵 \(\bf{E_0}\) 为稀疏的噪声矩阵时，PCA再也不适用于解决这个问题。此时 ，将一个矩阵 \(\bf{D}~(\bf {D} = \bf {A_0} +\bf E)\) 分解为一个低秩矩阵部分 \(\bf{A}\) 和一个稀疏矩阵部分 \(\bf{E}\) 的问题能够建模为下述优化问题：

\[\begin{array}{l} \mathop {\min }\limits_{{\bf{A}},{\bf{E}}} ~~~rank({\bf{A}}) + \lambda {\left\| {\bf{E}} \right\|_0} \\ s.t.~~~{\bf{D}} = {\bf{A}} + {\bf{E}} \\ \end{array}~~~~~(1)\]

其中 \({\bf{D}},{\bf{A}},{\bf{E}},{{\bf{A}}_0},{{\bf{E}}_0}{ \in \mathbb{R}^{m \times n}}\)，\(\bf D\) 是观测矩阵。(1)式中 \(rank(\bf A)\) 和 \({\left\| {\bf{E}} \right\|_0}\) 都是非线性且非凸的，优化起来很是困难，这个问题也被称为主成分追踪（Principal component pursuit, PCP）。幸运的是咱们提早知道一些先验信息，即矩阵 \(\bf A\) 是低秩的且矩阵 \(\bf E\) 是稀疏的，从上一期介绍的关于矩阵填充理论中可知，矩阵的秩和 \(\ell_0\) 范数问题均可以进行凸松弛，从而为求解上述问题提供了途径。因为矩阵的核范数是矩阵秩的凸包络，矩阵的（1,1）范数是矩阵0范数的凸包络，所以能够将问题(1)松弛为以下凸优化问题：

\[\begin{array}{l} \mathop {\min }\limits_{{\bf{A}},{\bf{E}}}~~~ {\left\| {\bf{A}} \right\|_*} + \lambda {\left\| {\bf{E}} \right\|_{1,1}} \\ s.t.~~~{\bf{D}} = {\bf{A}} + {\bf{E}} \\ \end{array}~~~~~~(2)\]

求解式(2)也称为鲁棒主成分分析(RPCA)。

文献[1]中指出，只要低秩矩阵 \(\bf{A_0}\) 的奇异值分布合理且稀疏矩阵的非零元素均匀分布，那么凸优化问题PCP就可以以接近1的几率从未知的任意偏差中恢复出原始低秩矩阵 \(\bf A_0\) 来。

求解(2)式的算法能够分为以下几大类：

1. 迭代阈值算法
   对于PCP问题时，迭代阈值算法(Iterative Thresholding, IT) 经过交替更新矩阵 \(\bf A\) 和 \(\bf E\) 来求解。IT算法的迭代形式简单且收敛，但它的收敛速度比较慢，且难以选取合适的步长。所以，IT算法具备有限的应用范围。
2. 加速近端梯度算法
   加速近端梯度算法(Accelerated Proximal Gradient, APG)的主要思想是利用了Nesterov加速，使算法可以快速收敛。
3. 对偶方法
   将原问题转化为其对偶问题(非线性、非光滑)，并使用最速上升法等能够求解。对偶方法比APG算法具备更好的可扩展性，这是由于在每次迭代过程当中对偶方法不须要矩阵的彻底奇异值分解。
4. 增广拉格朗日乘子法

这些方法都很是经典，这里再也不细述，总的来讲，只要将问题转化为凸问题，就有一大堆方法能够用来求解。这里仅介绍一种增广拉格朗日乘子算法，即交替方向方法(Alternating direction methods, ADM)，也称为不精确拉格朗日乘子法(Inexact ALM, IALM)。
下面给出上述几种算法的比较(数据来源于网络)

2. 交替方向算法(ADM)

对于优化问题(2)，首先构造增广拉格朗日函数：

\[L({\bf{A}},{\bf{E}},{\bf{Y}},u) = {\left\| {\bf{A}} \right\|_*} + \lambda {\left\| {\bf{E}} \right\|_{1,1}} + \left\langle {{\bf{Y}},{\bf{D}} - {\bf{A}} - {\bf{E}}} \right\rangle + \frac{u}{2}\left\| {{\bf{D}} - {\bf{A}} - {\bf{E}}} \right\|_F^2~~~(3) \]

当 \({\bf{Y}} = {{\bf{Y}}_k},u = {u_k}\) 时，使用交替方法求解块优化问题：

\[\mathop {\min }\limits_{{\bf{A}},{\bf{E}}} L({\bf{A}},{\bf{E}},{{\bf{Y}}_k},{u_k})~~~(4) \]

使用精确拉格朗日乘子法(Exact ALM, EALM)交替迭代矩阵 \(\bf A\) 和 \(\bf E\)，直到知足终止条件为止。若 \({\bf{E}} = {\bf{E}}_{k + 1}^j\)，则

\[\begin{array}{l} {\bf{A}}_{k + 1}^{j + 1} = \arg \mathop {\min }\limits_{\bf{A}} L({\bf{A}},{\bf{E}}_{k + 1}^j,{{\bf{Y}}_k},{u_k}) \\ = \arg \mathop {\min }\limits_{\bf{A}} {\left\| {\bf{A}} \right\|_*} + \frac{{{u_k}}}{2}\left\| {{\bf{A}} - ({\bf{D}} - {\bf{E}}_{k + 1}^j + \frac{{{{\bf{Y}}_k}}}{{{u_k}}})} \right\|_F^2 \\ = {D_{\frac{1}{{{u_k}}}}}({\bf D} - {\bf{E}}_{k + 1}^j + \frac{{{{\bf{Y}}_k}}}{{{u_k}}}) \\ \end{array}~~~(5)\]

再根据 \({\bf{A}}_{k + 1}^{j + 1}\) 更新矩阵 \(\bf E\)：

\[\begin{array}{l} {\bf{E}}_{k + 1}^{j + 1} = \arg \mathop {\min }\limits_{\bf{E}} L({\bf{A}}_{k + 1}^{j + 1},{\bf{E}},{{\bf{Y}}_k},{u_k}) \\ = \arg \mathop {\min }\limits_{\bf{E}} \lambda {\left\| {\bf{E}} \right\|_{1,1}} + \frac{{{u_k}}}{2}\left\| {{\bf{E}} - ({\bf{D}} - {\bf{A}}_{k + 1}^{j + 1} + \frac{{{{\bf{Y}}_k}}}{{{u_k}}})} \right\|_F^2 \\ = {S_{\frac{\lambda }{{{u_k}}}}}({\bf D} - {\bf{A}}_{k + 1}^{j + 1} + \frac{{{{\bf{Y}}_k}}}{{{u_k}}}) \\ \end{array}~~~(6)\]

记 \({\bf{A}}_{k + 1}^{\rm{*}}\) 和 \({\bf{E}}_{k + 1}^{\rm{*}}\) 分别为 \({\bf{A}}_{k + 1}^{j + 1}\) 和 \({\bf{E}}_{k + 1}^{j + 1}\) 的精确值，则矩阵 \(\bf Y\) 的更新公式为：

\[{{\bf{Y}}_{k{\rm{ + }}1}}{\rm{ = }}{{\bf{Y}}_k}{\rm{ + }}{u_k}({\bf{D}} - {\bf{A}}_{k + 1}^{\rm{*}} - {\bf{E}}_{k + 1}^{\rm{*}})~~~(7) \]

参数 \({u_k}\) 能够更新以下：

\[{u_{k + 1}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\rho {u_k}~~~\frac{{{u_k}{{\left\| {{\bf{E}}_{k + 1}^{\rm{*}}{\rm{ - }}{\bf{E}}_k^{\rm{*}}} \right\|}_F}}}{{{{\left\| {\bf{D}} \right\|}_F}}} < \varepsilon } \\ {{u_k}~~~~~~~~otherwise} \\ \end{array}} \right.~~~~(8)\]

其中 \(\rho>1\) 为常数，\(\varepsilon>0\) 为一个小的正数。

上述精确ALM方法在内循环中要屡次更新，进行屡次奇异值分解，为此文献[1]提出了非精确拉格朗日乘子法(Inecact ALM, IALM)，它不须要在每次外循环开始以前要求 \(\mathop {\min }\limits_{{\bf{A}},{\bf{E}}} L({\bf{A}},{\bf{E}},{{\bf{Y}}_k},{u_k})\) 的精确解，也就是去掉了ALM方法的内循环，其更新公式变成了以下形式：

\[\begin{array}{l} {{\bf{A}}_{k + 1}} = \arg \mathop {\min }\limits_{\bf{A}} L({\bf{A}},{{\bf{E}}_{k + 1}},{{\bf{Y}}_k},{u_k}) \\ ~~~~~~~~~= {D_{\frac{1}{{{u_k}}}}}({\bf{D}} - {{\bf{E}}_{k + 1}} + \frac{{{{\bf{Y}}_k}}}{{{u_k}}}) \\ \end{array}~~~(9)\]

\[\begin{array}{l} {{\bf{E}}_{k + 1}} = \arg \mathop {\min }\limits_{\bf{E}} L({{\bf{A}}_{k + 1}},{\bf{E}},{{\bf{Y}}_k},{u_k}) \\ {~~~~~~~~~=S_{\frac{\lambda }{{{u_k}}}}}({\bf{D}} - {{\bf{A}}_{k + 1}} + \frac{{{{\bf{Y}}_k}}}{{{u_k}}}) \\ \end{array}~~~~(10)\]

上面式子中的奇异值阈值算子 \({D_{\frac{1}{{{u_k}}}}}( \cdot )\) 和软阈值算子 \({S_{\frac{\lambda }{{{u_k}}}}}( \cdot )\) 的定义参见上一期<低秩矩阵填充|奇异值阈值算法>。

4. 低秩矩阵恢复的应用

低秩矩阵恢复技术是一个很是有研究价值和实用价值的技术，它的应用也很是普遍，好比说：

1. 视频背景建模。
   

2. 图像恢复(去光照、阴影等)
   

3. 图像类别标签净化

4. 文本主题分析

5. 音乐词曲分离

6. 图像矫正与去噪
   

7. 图像对齐

5. 仿真

ADM算法matlab代码以下：

function [L,S] = pcp_ad(M,u,lambda,itemax,tol)
% solve PCP problem by ADM algorithm
% v1.0 2020-1-1
% function：solve the following optimization problem
%                  min  ||X||*+lambda||E||_F
%                  s.t. M = A+E

% initialize S0 and Y0 and L0
[m,n] = size(M) ;
S = zeros(m,n) ;
Y = S ;
L = S ;

% the observed matrix can contain non number
unobserved = isnan(M);
M(unobserved) = 0;

if nargin < 2
    lambda = 1 / sqrt(max(m,n));
end
if nargin < 3
    u = 10*lambda;
end
if nargin < 4
    tol = 1e-6;
end
if nargin < 5
    itemax = 1000;
end

for ii = 1:itemax
    L = sig_thre(M-S+(1/u)*Y,(1/u)) ;
    S = soft_thre(M-L+(1/u)*Y, lambda/u) ;
    Z = M-L-S ;
    Y = Y+u*Z ;
    error = norm(M-L-S,'fro')/norm(M,'fro') ;
    if (ii == 1) || (mod(ii, 10) == 0) || (error < tol)
        fprintf(1, 'iter: %04d\terr: %f\trank(L): %d\tcard(S): %d\n', ...
            ii, error, rank(L), nnz(S));
    end
    if error<tol
        break;
    end
end

数值测试代码：

% solve PCP problem by alternating direction method
clear
clc

m = 100 ;
n = 100 ;
r = 0.05*n ;
rate = 0.05 ;
% Generating a low rank matrix
LL = randn(m,r)/sqrt(m)*randn(r,n)/sqrt(n) ;
% Generating a large sparse noise matrix (Bernoulli matrix)
SS = randi([0,1],m,n) ;
SS(SS==0) = -1 ;

% sampling
ss = SS(:) ;
index = sort(randperm(m*n,ceil(rate*n*m))) ;
ss1 = zeros(m*n,1) ;
ss1(index) = ss(index) ;
SS = reshape(ss1,m,n) ;
M = LL+SS ;

lambda = 1/sqrt(max(m,n)) ;
u = 10*lambda ;

% [L,S] = pcp_ad(M,u,lambda,1000) ;
[L,S] = RobustPCA(M,lambda,u);
% [L,S] = pcp_ad(M,u,lambda,500,1e-8);
% [L,S] = adm_lrr(M);
MM = M-L-S ;

norm(M-MM,'fro')/norm(M,'fro')
norm(M-L-S,'fro')/norm(M,'fro')
norm(L-LL,'fro')/norm(LL,'fro')
norm(S-SS,'fro')/norm(SS,'fro')

function A = soft_thre(B,T) 
A = sign(B).*max(abs(B)-T,0) ;
end

function [A] = sig_thre(B,T)

[s,v,d] = svd(B,'econ') ;
%     v(v<T) = 0 ;
%     A = s*v*d' ;
A = s*soft_thre(v,T)*d' ;
end

运行上面程序，显示结果norm(M-L-S,'fro')/norm(M,'fro')约为9e-7，norm(L-LL,'fro')/norm(LL,'fro')约为1e-5。

低秩图像恢复仿真程序：

% low rank and sparse noise image recovery
clear
clc

A = imread('C:\xxx\xxx\xxx.bmp') ;

WW = double(A) ;
a1 = double(A(:,:,1)) ;
a2 = double(A(:,:,2)) ;
a3 = double(A(:,:,3)) ;
[M,N] = size(a1);
X = zeros(M,N,3);
    
for jj = 1:3
    lambda = 1*1 / sqrt(max(M,N)); 
    u =  1*lambda;
    [ X(:,:,jj),S(:,:,jj)] = RobustPCA(WW(:,:,jj),lambda,u,1e-8,200) ;
end

figure(1)
subplot(3,1,1)
imshow(A)
title("原图",'fontsize',12)
subplot(3,1,2)
imshow(uint8(X))
title("低秩图",'fontsize',12)
d = S ;
d(d<20) = 255 ;
subplot(3,1,3)
imshow(uint8(d))
title("噪声图",'fontsize',12)

低秩图像恢复结果以下：

从上面图像恢复结果来看，效果还不错。

参考文献

[1] Candès, E. J., Li, X., Ma, Y., & Wright, J. (2011). Robust principal component analysis?. Journal of the ACM (JACM), 58(3), 11.
[2] 史加荣, 郑秀云, 魏宗田, & 杨威. (2013). 低秩矩阵恢复算法综述. 计算机应用研究, 30(6), 1601-1605.
[3] Cui, X., Huang, J., Zhang, S., & Metaxas, D. N. (2012, October). Background subtraction using low rank and group sparsity constraints. In European Conference on Computer Vision (pp. 612-625). Springer, Berlin, Heidelberg.
[4] Wright, J., Ganesh, A., Rao, S., Peng, Y., & Ma, Y. (2009). Robust principal component analysis: Exact recovery of corrupted low-rank matrices via convex optimization. In Advances in neural information processing systems (pp. 2080-2088).
[5] Peng, Y., Ganesh, A., Wright, J., Xu, W., & Ma, Y. (2012). RASL: Robust alignment by sparse and low-rank decomposition for linearly correlated images. IEEE transactions on pattern analysis and machine intelligence, 34(11), 2233-2246.

更多精彩内容请关注订阅号优化与算法

更多精彩内容请关注微信公众号 “优化与算法”