第二章：2.1 微分方程、差分方程求解（求解方法）

时间 2021-01-09 标签信号与系统

本节所要讨论的主要为题就是如何确定系统的初始条件

我们知道信号时从零正时刻之后加入系统的，因此我们需要求解零正时刻的系统初始条件。

下面有一个问题需要我们考虑，也就是信号加入系统之后，系统的状态会发生变化吗？

如图所示，系统在0正时刻和0负时刻系统的输入时不相同的，会有一个跳变，通过这里例子我们知道在信号输入前一刻和信号输入后一刻系统状态的确是不相同的。

通过这个例子我们看到系统的确是可能收到输入信号的影响的，那么我们如何判断在输入时刻系统信号是否会发生改变呢？在这里我们分别介绍三种分析方法

物理条件约束方法

使用物理约束法就是使用某些元器件的物理条件限制进行分析的方法，比如利用电感两端电流不能突变，电容两端电压不能突变的特性进行分析，利用《电路基础》和力学约束条件进行分析的方法。

但是这种分析方法有很多麻烦，特别是对于复杂系统的分析，往往无从下手，下面我们介绍一些更有效的分析方法

在第一章1.1.3小节中我们曾给出过奇异信号的定义，这里我们再复习一下，奇异信号是指的函数本身或者导数存在不连续点的信号，主要由单位斜变信号、单位阶跃信号、单位冲击信号和单位冲击偶信号

我们下面给出奇异函数积分之间的关系

如果一个信号中有不连续的地方，我们可以使用相对单位跳变函数来模拟它。他的性质和单位跳变函数是一样的

如图所示，我们举一个一般函数的例子，该函数是由函数的连续部分和各个奇异函数部分所组成的。在零正和零负附近，函数的连续部分不会产生跳变，冲激函数和冲击偶函数在该时刻的值是相同的，因此也不会产生跳变，只有阶跃函数在改点才会产生跳变。因此零正零负时刻的差就是该点阶跃函数的差值

下面我们来介绍一下一般的分析步骤

下面我们举例来说明

我们注意箭头所示，因为等式的右侧存在冲激函数的导数，为了让左右两侧等式相同，所以在函数的左侧也要存在冲激函数的导数，这就是为什么r(t)的微分要写成这种形式。之后我们就按照如图所示的方法进行处理

最后需要注意的一点是

迭代的方法主要适用于差分方程的求解

迭代方法具体如下

我们可以举一个例子

我们由图可以看出，迭代方法很容易求出数值解，要想用归纳的方法来求出公式解是比较困难的。

初始条件的求法如下

下面我们介绍一个特殊的初始条件，零状态

对于连续时间系统他表示系统的输出以及输出的各阶导数都是零，对于离散时间系统他表示系统在n小于零时系统的输出都是零。

他表示系统在零时刻没有信号输出，当然此时系统在零时刻也就不发生跳变，系统在0正和0负时刻的值都是相同的。因此我们在这种情况下可以直接使用系统在零负时刻的状态进行求解。

注意，对这道题而言我们需要积累一般函数（非奇异信号）在0附近无跳变的特点

这道题使用奇异函数匹配法进行计算