隐马尔可夫模型(HMM)前因后果（一）

表示：某个随机变量集合 $\large x=\{X_1,... ,X_n\}$ 上联合几率分布P，贝叶斯网络的表示就是在随机变量仅有两种取值的简单状况下，对 $\large 2^n$ 种不一样取值的联合几率分布进行说明，能够看出，这是计算量巨大的任务。
推断：贝叶斯网络是变量及其关系的完整模型，能够从观察到或已知的变量推断另外一些变量的变化，这种根据已知的证据计算变量的后验分布称为几率推理。
学习：指的是BN中参数的学习，目的是决定变量之间的关联量化关系（依存强度估计）。参数学习方法包括：最大似然估计法、最大后验几率法、指望最大化法和贝叶斯估计法（使用最多）。

二、举例解析

从前面一片理论介绍和概念中，彷佛很不直观，还没理解贝叶斯网络究竟是什么，如今咱们经过简单例子更加直观深入地去认识。

假设一篇关于南海岛屿的新闻（News），新闻里可能包含关于介绍南海岛屿历史的内容（History），还有介绍旅游风光的内容（Sightseeing）。如今对此构造创建一个简单的贝叶斯网络。

如今用N、H、S表示这3个事件，每一个事件存在两种可能，记为T（包含/是）、F（不包含/不是），经过假设几率建模：

New
T	F
0.2	0.8

	Sightseeing
News	T	F
F	0.4	0.6
T	0.1	0.9

		History
Sightseeing	News	T	F
F	F	0.5	0.5
F	T	0.3	0.7
T	F	0.8	0.2
T	T	0.4	0.6

一个简单的贝叶斯网络：

上面表格枚举了全部可能的状况几率分布，如今根据表格内容和创建的BN图关系，三个事件的联合几率：

即 $\large P(H,S,N)=P(H|S,N)\times P(S|N)\times P(N)$ .

给出一个问题：若是一篇新闻中含有南海岛屿历史相关的内容，那么该新闻是关于南海新闻的可能性是多少呢？

显然，模型可以解决这个问题，根据题意咱们得出，就是计算 H=T的状况下 N=T 的条件几率 $\large P(N=T|H=T)$ 。

进一步求解获得

$\large P(N=T|H=T)=\frac{P(N=T,H=T)}{P(H=T)}= \frac{\sum_{S\in {T,F}}P(H=T,S,N=T)}{\sum_{N,S\in {T,F}}P(H=T,S,N)}$

如今直接代入表格的数据，按H,S,N顺序，分子为TTT+TFT，分母TTT+TFT+TTF+TFF. 由此计算获得：

$\large \frac{0.4\times 0.1\times 0.2+0.3\times 0.9\times 0.2}{0.4\times 0.1\times 0.2+0.3\times 0.9\times 0.2+0.8\times0.4\times0.8+0.5\times0.6\times0.8} =$ $\large 11.11\%$ .

2、马尔可夫模型

一、概念原理介绍

马尔可夫模型是一个可见的过程，隐马尔可夫模型则是将随机事件的状态转移过程屏蔽，因此学习马尔可夫模型做为前提。

马尔可夫模型（Markov Model）描述了一种随机函数，是随着时间不断变化的过程。换言之，咱们观察到每一个随机变量序列并非相互独立的，而是依赖于其前面序列的状态。

二、举例解析

假设系统有N个状态 $S=\{s_1,s_2,...,s_N\}$ , 一个随机序列 $Q=\{q_1,q_2,...,q_N\}$ , t 时刻状态，那它的几率如何计算呢？

计算t时刻状态的几率须要给出前面t-1个状态的关系，几率表示为：

$P(q_t=s_j|q_{t-1}=s_i,q_{t-2}=s_k,......)$ ,至关于求解条件几率。

对于马尔可夫模型来讲，有这样的特定条件，系统t时刻的状态只与其在时间t-1状态相关，因此表示为以下，称为一阶马尔可夫链。

$P(q_t=s_j|q_{t-1}=s_i,q_{t-2}=s_k,......)=P(q_t=s_j|q_{t-1}=s_i)$ .

进而由上面的是公式获得一个随机过程表示，构成状态转移矩阵。

$P(q_t=s_j|q_{t-1}=s_i)=a_{ij}(1\leq i,j\leq N)$ , 知足 $a_{ij}\geqslant 0,\sum_{j=1}^{N}a_{ij}=1$ . 可见N个状态能够构成N*N个状态转移几率。

下面用更加直观例子解析马尔可夫模型。

假设一段文字中有三类词性：名词、动词、形容词。这三类词性的出现能够表示为马尔可夫模型的三个状态，描述为：

状态a:名词

状态b:动词

状态c:形容词

假设转移矩阵以下：

$A=[a_{ij}]=\begin{bmatrix} 0.3 &0.5 &0.2 \\ 0.5 &0.3& 0.2 \\ 0.4 &0.2 &0.4 \end{bmatrix}$

各状态关系，每一个状态全部发射弧几率之和为1

根据此模型M，计算某个句子序列词性出现顺序 O = "名动形名"的几率：

$P(O|M)=P(a,b,c,a|M)=P(a)\times P(b|a)\times P(c|b)\times P(a|c) = 1\times a_{12} \times a_{23} \times a_{31} =0.5 \times 0.2\times 0.4=0.04$

3、隐马尔可夫模型

一、概念原理介绍

在前面马尔可夫模型，每一个状态都是可见的。而隐马尔可夫模型，就是将这状态序列隐蔽，变为状态转移过程不可见。HMM是一个双重随机过程。它用来描述一个含有隐含未知参数的马尔可夫过程。其难点是从可观察的参数中肯定该过程的隐含参数。

二、举例解析

一个暗室里面有N个口袋，每一个口袋有M个不一样颜色小球。这个过程包括实验者和观察者。实验者每次根据某个几率分布随机选取一个口袋，再根据某个几率分布从这个口袋中取出一个小球，并向观察者展现该球的颜色。

咱们理解一下这个过程，观察者只能知道每次取出球的颜色序列，而不知是从哪一个口袋取出的，这个口袋序列的状态转移只有暗室里的实验者知道。因此，观察者的任务就是根据可观察序列（球颜色序列）来推断出隐藏的转移过程。

由此，总结出一个HMM有如下组成：

模型状态数目N（如例子中的口袋数量）
每一个状态可能输出的不一样符号数目M（一个口袋不一样颜色球的数目）
状态转移矩阵A={ $a_{ij}$ } ( $a_{ij}$ 是实验者从一口袋 i 转向口袋 j 的几率)。 $P(q_t=s_j|q_{t-1}=s_i)=a_{ij}(1\leq i,j\leq N)$ ， $a_{ij}\geqslant 0,\sum_{j=1}^{N}a_{ij}=1$ 。
观察到符号的几率（符号发射几率）分布矩阵B={ $b_{j}(k)$ } (表示实验者从第j个袋取出第k种颜色的球)。
初始状态几率分布π。

4、隐马尔可夫模型简单实现

初始化状态数目n和样本数量，获得初始几率：

import numpy as np
from hmmlearn import hmm
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib as mpl
from sklearn.metrics.pairwise import pairwise_distances_argmin

np.random.seed(28)
n = 5  # 隐状态数目
n_samples = 500  # 样本数量
pi = np.random.rand(n)
pi /= pi.sum()
print('初始几率：')
print(pi)

计算转移矩阵：

A = np.random.rand(n, n)
mask = np.zeros((n, n), dtype=np.bool)
mask[0][1] = mask[0][4] = True
mask[1][0] = mask[1][2] = True
mask[2][1] = mask[2][3] = True
mask[3][2] = mask[3][4] = True
mask[4][0] = mask[4][3] = True
A[mask] = 0
for i in range(n):
    A[i] /= A[i].sum()
print('转移几率:')
print(A)

给定均值和方差：

# 给定均值
means = np.array(((30, 30, 30), (0, 50, 20), (-25, 30, 10),
                  (-15, 0, 25), (15, 0, 40)), dtype=np.float)
for i in range(n):
    means[i, :] /= np.sqrt(np.sum(means ** 2, axis=1))[i]
covars = np.empty((n, 3, 3))
for i in range(n):
    covars[i] = np.diag(np.random.rand(3) * 0.02 + 0.001)

产生模拟数据：

# 产生对应的模拟数据
model = hmm.GaussianHMM(n_components=n, covariance_type='full')
model.startprob_ = pi
model.transmat_ = A
model.means_ = means
model.covars_ = covars
sample, labels = model.sample(n_samples=n_samples, random_state=0)

构建模型以及参数估计：

# 模型构建及估计参数
model = hmm.GaussianHMM(n_components=n, n_iter=10)
model.fit(sample)
y = model.predict(sample)
np.set_printoptions(suppress=True)
# print('##估计初始几率：')
# print(model.startprob_)
# print('##估计转移几率：')
# print(model.transmat_)
# print('##估计均值：\n')
# print(model.means_)
# print('##估计方差：\n')
# print(model.covars_)

根据类别信息更改顺序：

# 根据类别信息更改顺序
order = pairwise_distances_argmin(means, model.means_, metric='euclidean')
# print(order)
pi_hat = model.startprob_[order]
A_hat = model.transmat_[order]
A_hat = A_hat[:, order]
means_hat = model.means_[order]
covars_hat = model.covars_[order]
change = np.empty((n, n_samples), dtype=np.bool)
for i in range(n):
    change[i] = y == order[i]
for i in range(n):
    y[change[i]] = i
acc = np.mean(labels == y) * 100
print('准确率：%.2f%%' % acc)

3D画图分类结果：

mpl.rcParams['font.sans-serif'] = [u'SimHei']
mpl.rcParams['axes.unicode_minus'] = False
fig = plt.figure(figsize=(8, 8), facecolor='w')
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')  #
colors = plt.cm.Spectral(np.linspace(0, 1, n))
ax.scatter(sample[:, 0], sample[:, 1], sample[:, 2], s=50, c=labels,
           cmap=plt.cm.Spectral, marker='o', label=u'观测值', depthshade=True)
plt.plot(sample[:, 0], sample[:, 1], sample[:, 2], lw=0.1, color='#A07070')
colors = plt.cm.Spectral(np.linspace(0, 1, n))
ax.scatter(means[:, 0], means[:, 1], means[:, 2], s=300, c=colors,
           edgecolor='r', linewidths=1, marker='*', label=u'中心')

x_min, y_min, z_min = sample.min(axis=0)
x_max, y_max, z_max = sample.max(axis=0)
x_min, x_max = expand(x_min, x_max)
y_min, y_max = expand(y_min, y_max)
z_min, z_max = expand(z_min, z_max)
ax.set_xlim((x_min, x_max))
ax.set_ylim((y_min, y_max))
ax.set_zlim((z_min, z_max))
plt.legend(loc='upper left')
plt.grid(True)
plt.title(u'GMHMM参数估计和类别断定', fontsize=12)
plt.show()

5、完整代码

import numpy as np
from hmmlearn import hmm
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib as mpl
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
from sklearn.metrics.pairwise import pairwise_distances_argmin


def expand(a, b):
    return 1.05 * a - 0.05 * b, 1.05 * b - 0.05 * a


np.random.seed(28)
n = 5  # 隐状态数目
n_samples = 500  # 样本数量
pi = np.random.rand(n)
pi /= pi.sum()
# print('初始几率：')
# print(pi)

A = np.random.rand(n, n)
mask = np.zeros((n, n), dtype=np.bool)
mask[0][1] = mask[0][4] = True
mask[1][0] = mask[1][2] = True
mask[2][1] = mask[2][3] = True
mask[3][2] = mask[3][4] = True
mask[4][0] = mask[4][3] = True
A[mask] = 0
for i in range(n):
    A[i] /= A[i].sum()
# print('转移几率:')
# print(A)

# 给定均值
means = np.array(((30, 30, 30), (0, 50, 20), (-25, 30, 10),
                  (-15, 0, 25), (15, 0, 40)), dtype=np.float)
for i in range(n):
    means[i, :] /= np.sqrt(np.sum(means ** 2, axis=1))[i]
# print(means)

# 给定方差
covars = np.empty((n, 3, 3))
for i in range(n):
    covars[i] = np.diag(np.random.rand(3) * 0.02 + 0.001)  # np.random.rand ∈[0,1)
# print(covars)

# 产生对应的模拟数据
model = hmm.GaussianHMM(n_components=n, covariance_type='full')
model.startprob_ = pi
model.transmat_ = A
model.means_ = means
model.covars_ = covars
sample, labels = model.sample(n_samples=n_samples, random_state=0)

# 模型构建及估计参数
model = hmm.GaussianHMM(n_components=n, n_iter=10)
model.fit(sample)
y = model.predict(sample)
np.set_printoptions(suppress=True)

# 根据类别信息更改顺序
order = pairwise_distances_argmin(means, model.means_, metric='euclidean')
# print(order)
pi_hat = model.startprob_[order]
A_hat = model.transmat_[order]
A_hat = A_hat[:, order]
means_hat = model.means_[order]
covars_hat = model.covars_[order]
change = np.empty((n, n_samples), dtype=np.bool)
for i in range(n):
    change[i] = y == order[i]
for i in range(n):
    y[change[i]] = i
acc = np.mean(labels == y) * 100
print('准确率：%.2f%%' % acc)

mpl.rcParams['font.sans-serif'] = [u'SimHei']
mpl.rcParams['axes.unicode_minus'] = False
fig = plt.figure(figsize=(8, 8), facecolor='w')
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')  #
colors = plt.cm.Spectral(np.linspace(0, 1, n))
ax.scatter(sample[:, 0], sample[:, 1], sample[:, 2], s=50, c=labels,
           cmap=plt.cm.Spectral, marker='o', label=u'观测值', depthshade=True)
plt.plot(sample[:, 0], sample[:, 1], sample[:, 2], lw=0.1, color='#A07070')
colors = plt.cm.Spectral(np.linspace(0, 1, n))
ax.scatter(means[:, 0], means[:, 1], means[:, 2], s=300, c=colors,
           edgecolor='r', linewidths=1, marker='*', label=u'中心')

x_min, y_min, z_min = sample.min(axis=0)
x_max, y_max, z_max = sample.max(axis=0)
x_min, x_max = expand(x_min, x_max)
y_min, y_max = expand(y_min, y_max)
z_min, z_max = expand(z_min, z_max)
ax.set_xlim((x_min, x_max))
ax.set_ylim((y_min, y_max))
ax.set_zlim((z_min, z_max))
plt.legend(loc='upper left')
plt.grid(True)
plt.title(u'GMHMM参数估计和类别断定', fontsize=12)
plt.show()

6、结语

经过这篇学习记录，咱们初步认识了HMM隐马尔可夫模型的具体内部逻辑，另外举例解析和最后python简单实现一个例子，更直观的去理解什么是HMM，它是如何工做的。到这里可能以为代码实现还有部分陌生的方法，由于HMM是一个比较复杂的任务，除了本文简单入门，HMM还须要解决三个基本问题，认真阅读的朋友会看到在代码中有所体现：估计问题、序列问题和训练问题（参数估计）。

这些问题等待接下来学习以后再来具体介绍，期待下一篇更核心的内容解析。

参考资料：《统计天然语言处理》、https//www.jianshu.com/p/083c8dfb9f0a

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