树状数组3种基本操做

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树状数组和线段树

众所周知， 线段树和树状数组是兄弟来的

它们之间的关系

树状数组能够解的，线段树能解
树状数组不能够解的，线段树仍是能够解
既然这样，那我学会线段树不就搞定了吗，干吗还学树状数组呀

那么，树状数组优在何处呢？

其实呢，就是码量少，思惟清晰吧
对比一下
单点修改区间查询
线段树100行起步
树状数组呢，50行左右吧
区间修改区间查询
线段树估计要飙到150了吧
树状数组依旧50行
没有对比就没有伤害呀
这时，有些线段树忠实粉或许会思考人生：你看我还有机会吗？
机会是有的，那就是，打树状数组吧（固然有些题仍是要打线段树的啦）

树状数组简介

树状数组图解

此章节内容部分引用自bestsort的小站
众所周知，一棵满二叉树长样：

挪一下位置后，变成了这样

上面这个就是树状数组的画法
准确来讲，这时求和数组的画法
把原数组\(a\)也加进来，成了这样（\(c\)是求和数组）
\(c[i]\)表示子树叶子节点的权值
如上图，有
\(c[1]=a[1]\\ c[2]=a[1]+a[2]\\ c[3]=a[3]\\ c[4]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4]\\ c[5]=a[5]\\ c[6]=a[5]+a[6]\\ c[7]=a[7]\\ c[8]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4]+a[5]+a[6]+a[7]+a[8]\)
转换成二进制再来看一眼
\(c[1]=c[0001]=a[1]\\ c[2]=c[0010]=a[1]+a[2]\\ c[3]=c[0011]=a[3]\\ c[4]=c[0100]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4]\\ c[5]=c[0101]=a[5]\\ c[6]=c[0110]=a[5]+a[6]\\ c[7]=c[0111]=a[7]\\ c[8]=c[1000]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4]+a[5]+a[6]+a[7]+a[8]\)
对照式子能够发现，对于一个\(i\)
\(c[i]=a[i-2^k+1]+a[i-2^k+2]+a[i-2^k+3]……+a[i]\)（\(k\)为二进制下\(i\)最低位的1后面的0的个数,例如8对应的\(k\)就等于3，由于\(8_{10}=1000_2\)，最低位的1后面有3个0）
这时候，问题就来了，\(2^k\)怎么求？？？

引入\(lowbit\)

\(lowbit\)函数就是用来求\(2^k\)是多少的
具体操做是

int lowbit(int x) {return x&(-x);}

解释
“&”这个符号在C++中指的是按位与运算，具体是说，若在二进制下相同的位置两数都为1，那么&出的答案这一位也为1，不然为0
例如\(12\&6\)
\(12_{10}=1100_2\)

\(6_{10}=0110_2\)（空位用0补齐）

\(ans=0100_2=4_{10}\)
在上面这个数据中，12和6只有第三个位置上才都是1，那么答案也就只有这个位置上是1
（ 不过学树状数组的人应该都不会不知道位运算吧）
那么\(x\&(-x)\)是什么意思呢
首先说明\(-x\)在二进制下和\(x\)的关系
在二进制下，\(-x\)就是\(x\)取反后再加1
例如，\(10_{10}=01010_2\)，那么\(-10_{10}=10101_2+1_2=10110_2\)（第一位是符号位）
进行按位与运算后，答案就是\(00010_2=2^1=2_{10}\)（第一位是符号位）
眼睛扫一扫，发现答案就是\(2\)
神奇吧
具体证实呢，我也不会，嘻嘻（毕竟我只是一个蒟蒻）

基本应用

1.单点修改，区间查询

修改

若要更新当前节点的\(a[i]\)
那么是否是能够直接更新\(a[i]\)的上级，\(a[i]\)上级的上级，以此类推
用\(lowbit\)到上级所在下标

void update(int now,int x)
{
	int i;
	for (i=now;i<=n;i+=lowbit(i))
		c[i]+=x;
}

查询

对于区间查询，咱们采起前缀和的求法
对于一个区间\([l,r]\)，咱们求出\(r\)的前缀和，减去\(l-1\)的前缀和即为答案
查询的具体过程呢，也很简单
就是从要查的节点以此往下，搜索下级
依旧是用\(lowbit\)

int get(int x)
{
	int i,ans;
	ans=0;
	for (i=x;i>=1;i-=lowbit(i))
		ans+=c[i];
	return ans;
}

题目

Loj#130 树状数组 1 ：单点修改，区间查询

Code

#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
long long n,m,i,x,y,ch,c[1000005];
long long lowbit(long long x)
{
	return x&(-x);
}
void update(long long now,long long x)
{
	long long i;
	for (i=now;i<=n;i+=lowbit(i))
		c[i]+=x;
}
long long get(long long x)
{
	long long i,ans;
	ans=0;
	for (i=x;i>=1;i-=lowbit(i))
		ans+=c[i];
	return ans;
}
int main()
{
	scanf("%lld%lld",&n,&m);
	for (i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%lld",&x);	
		update(i,x);
	}
	for (i=1;i<=m;i++)
	{
		scanf("%lld%lld%lld",&ch,&x,&y);
		if (ch==2) printf("%lld\n",get(y)-get(x-1));
		else update(x,y);
	}
	return 0;
}

2.区间修改，单点查询

修改

引入差分的思想，记录数组里每一个元素与前一个元素的差，那么\(a_i=\sum_{j=1}^i d_j\)，若是修改区间\([l,r]\)，令其加上\(x\)，那么\(l\)与\(l-1\)的差增长了\(x\)，\(r\)与\(r+1\)的差减少了\(x\)，根据差分，就能够给\(d_{l}\)加上\(x\)，给\(d_{r+1}\)减去\(x\)

查询

直接根据\(a_i=\sum_{j=1}^i d_j\)，查前缀和就好

题目

Loj#131 树状数组2：区间修改，单点查询

Code

#include<cstdio>
using namespace std;
int  n,m,i,l,r,x,bj;
long long a[1000005],c[1000005];
int lowbit(int x)
{
	return x&(-x);
}
void update(int now,int x)
{
	int i;
	for (i=now;i<=n;i+=lowbit(i))
		c[i]+=x;
}
long long get(int x)
{
	int i;
	long long ans;
	ans=0;
	for (i=x;i;i-=lowbit(i))
		ans+=c[i];
	return ans;
}
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for (i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%lld",&a[i]);
		update(i,a[i]-a[i-1]);
	}
	for (i=1;i<=m;i++)
	{
		scanf("%d",&bj);
		if (bj==1)
		{
			scanf("%d%d%d",&l,&r,&x);
			update(l,x);
			update(r+1,-x);
		}
		else
		{
			scanf("%d",&x);
			printf("%lld\n",get(x));
		}
	}
	return 0;	
}

3.区间修改，区间查询

这个也是线段树最麻烦的地方，一般100行起步，但树状数组就不用了，实测50行不到，并且我不压行

先看一下若是按照问题2的方法来求区间前缀和，要怎么求

位置\(x\)的前缀和=\(\sum_{i=1}^x\sum_{j=1}^id_j\)，发如今这个式子里，\(d_1\)被计算了\(x\)此，\(d_2\)被计算了\(x-1\)次……，\(d_x\)被计算了1次。那么这个式子就能够转化为

\(\sum_{i=1}^xd_i\times(x-i+1)=(x+1)\sum_{i=1}^xd_i-\sum_{i=1}^xd_i\times i\)

其中\(x+1\)是给出的，那么咱们记录\(d_i\)和\(d_i\times i\)就能够了

维护两个数组\(sum1\)和\(sum2\)，分别记录\(d_i\)和\(d_i\times i\)

修改

\(sum1\)同问题2的\(d\)，\(sum2\)也相似，\(l\)加上\(l\times x\)，\(r+1\)减去\((r+1)x\)

查询

单点\(x\)的前缀和就是\((x+1)\times sum1\)中\(x\)的前缀和-\(sum2\)中\(x\)的前缀和，区间\([l,r]\)的值就是\(r\)的前缀和-\(l-1\)的前缀和

题目

Loj#132 树状数组3：区间修改，区间查询

Code

#include<cstdio>
using namespace std;
long long n,m,i,l,r,x,bj,a[1000005],c1[1000005],c2[1000005];
long long lowbit(long long x)
{
	return x&(-x);
}
void update(long long k,long long x)
{
	long long i;
	for (i=k;i<=n;i+=lowbit(i))
	{
		c1[i]+=x;
		c2[i]+=x*k;
	}
}
long long get(long long x)
{
	long long i,ans;
	ans=0;
	for (i=x;i;i-=lowbit(i))
		ans+=((x+1)*c1[i])-c2[i];
	return ans;
}
int main()
{
	scanf("%lld%lld",&n,&m);
	for (i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%lld",&a[i]);
		update(i,a[i]-a[i-1]);
	}
	for (i=1;i<=m;i++)
	{
		scanf("%lld",&bj);
		if (bj==1)
		{
			scanf("%lld%lld%lld",&l,&r,&x);
			update(l,x);
			update(r+1,-x);
		}
		else
		{
			scanf("%lld%lld",&l,&r);
			printf("%lld\n",get(r)-get(l-1));
		}
	}
	return 0;
}

---

小结

线段树与树状数组有不少类似的地方，可是树状数组很明显的优点就是短，可是线段树能够处理不少种状况，而这里面有些是树状数组作不到的，因此说不管是线段树仍是树状数组，咱们都应该学习一下，而后选择更好的去解决题目。

不定时更新高阶操做