矩阵的Cholesky分解

矩阵的Cholesky分解
若是矩阵A是正定的，那么它能够被（惟一地）分解为一个主对角不为零的下三角矩阵L和其共轭转置L*的乘积，这就是所谓的“矩阵的Cholesky分解”。对于实矩阵而言，即A=LLT，其中L是一个下三角矩阵。下面是一个3×3的矩阵Cholesky分解的示意。

具体要如何来计算Cholesky分解的值呢？经过观察，结合矩阵乘法的规则，不难发现矩阵L对角线上的元素能够由以下规律算得：

推广后获得：

对于那些位于对角线如下的元素_lik_，其中_i_>_k_，则会有下面这样的计算规律：

仍然能够推广获得一个更加普适的公式：

最后一个问题，Cholesky分解在实际中有什么用？其中一个很是重要的应用就是解方程组 Ax = B，其中A是一个正定矩阵。由于A是一个正定矩阵，因此有A =LLT，其中L是一个下三角矩阵。原方程组能够写成 LLTx = B。若是令 y = LTx ，则有Ly = B。注意到其中L是一个下三角矩阵，因此从下向上求解y是很是很是容易的！求解出y以后，在按照相似的方法求解y = LTx 中的 x，而其中LT是一个上三角矩阵，因此最终求出 x 就也是很是很是容易的！

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参考博客：
原文连接：https://blog.csdn.net/baimafu...