测度论与几率论笔记1：可测空间与可测函数

可测空间与可测函数

• Riemann积分的缺陷
• 几率的公理化定义
• 古典概型
• 几何概型
• 几率的公理化定义
• 集合的运算
• 集系与集系的生成
• 集合形式的单调类定理
• 可测空间
• 可测空间定义
• 可测映射及可测函数
• 函数形式的单调类定理

Riemann积分的缺陷

在数学分析中咱们学过定积分和重积分，而且知道定积分的几何意义的曲边梯形的面积。然而，以如此方式定义面积，可能会产生某些本应该有面积的点集没有面积。好比狄利克雷函数 $D(x)=\begin{cases}1&x\in Q\\0&x\notin Q\end{cases}$
咱们能够这么考虑，因为有理数集 $Q$是可数的，咱们能够将全体有理数排列为 $q_1,q_2,\cdots,q_n,\cdots$定义 $f_i(x)=\begin{cases} 1& x=q_i\\ 0& x\neq q_i \end{cases}$那么按照黎曼积分的定义 $\int_0^1f_i(x)dx=0$则 $\displaystyle D(x)=\sum_{n=1}^\infty f_i(x)$，显然，以 $y=f_i(x)$为边的曲边梯形实质上就是一条线段 $x=q_i,0\le y\le 1$，在二维平面上的面积应该是 $0$， $y=D(x),0\le x\le1$能够看做可数条这样的线段相加，那么理应有 $\int_0^1D(x)dx=\sum_{n=1}^\infty \int_0^1f_n(x)dx=0$然而在黎曼积分的意义下，以上式子是不成立的，缘由是 $D(x)$在 $[0,1]$上是不可积的，由于对任意的区间 $[a,b]\subseteq [0,1]$， $D(x)$在 $[a,b]$上的上确界为1，下确界为0，这是由有理数和无理数的稠密性决定的。如此一来不论做任何分划 $\Delta:0=x_0<x_1<\cdots<x_n=1$，都有 $\overline{S}(D(x),\Delta)=1\\ \underline{S}(D(x),\Delta)=0$显然 $D(x)$是不可积的，这说明黎曼积分以及黎曼积分背后的Jordan测度是有缺陷的。对于有界函数 $f(x)$，咱们知道Riemann可积的充要条件是 $\lim_{\lambda(\Delta)\to 0}\sum_{k=1}^nw_k\Delta x_k=0$这个条件的实质是要求 $f(x)$几乎是连续的，这样，在咱们区间越分越细的过程当中，在大多数区间上， $f(x)$能够视为常数，如此一来 $f(x)$才可积，可是若是 $f(x)$始终保持剧烈动荡的状况下（如 $D(x)$，任何小区间既有有理数，又有无理数），就不可能知足上面的条件，咱们就有遗漏某些本应当可积的函数的可能性。对此，咱们的解决方案是，对Riemann积分进行推广，产生一种新的积分，若是 $f(x)$是黎曼可积的，在这种新的积分定义下仍是可积的，而且积分值相等，同时，还存在某些黎曼不可积的函数在新积分下也可积，如 $D(x)$，如何定义这种新积分呢？Lebesgue积分给了咱们一种定义积分的全新思路！在黎曼积分下，咱们经过划分定义域来定义积分，而后这种定义方式可能使得咱们在每一个小区间上 $f(x)$剧烈震荡，使得和式没法收敛。Lebesgue采起的方式是划分值域，即若是 $f(x)$是有界函数，而且 $a\le f(x)\le b$，则咱们划分值域 $a=y_0<y_1<\cdots<y_n=b$，相应地也划分了定义域 $E_i=\{x:y_{i-1}<f(x)\le y_i\}$，若是 $E_i$也有长度，设为 $m(E_i)$，则估计和式为 $\sum_{i=1}^ny_{i-1}m(E_i)$若是在值域越分越细的状况下，以上和式极限存在，就是 $f(x)$的积分。这就产生了一个问题，如何定义 $m(E_i)$，在定义了 $m(E_i)$后，就能够产生一种新的积分，即Lebesgue积分。可见，解决线段的长度、平面图形的面积、立体的体积问题是定义新的积分的前提。咱们暂且先不谈如何定义 $m(E_i)$，咱们首先谈谈长度、面积、体积应该知足什么性质：

(1)首先 $m(E)$应当是点集的函数，换句话说， $m$是幂集 $m(X)$到非负实数集的映射
(2)在中学学几什么时候，咱们就有一种朴素的解题方法，即割补法，即若是 $E_1,\cdots,E_n$两两不交，应当有 $m(\bigcup_{k=1}^nE_k)=\sum_{k=1}^nm(E_k)$(3)对于区间 $(a,b]$，应当有 $m(a,b]=b-a$

这些性质Jordan测度也具有，在数学分析重积分一章中，咱们已经论证过，若是 $A,B$都是J可测集， $A\cup B$也是J可测的，而且若是 $A\cap B$是J零测集，则 $|A\cup B|=|A|+|B|$。显然只有以上的性质并不足以让咱们产生一种新的积分，由于对于 $D(x)$来讲， $\{x:\frac{n-1}{n}<D(x)\le 1\}=Q$，这是个J不可测集，也就是说，若是咱们采起将 $[0,1]$区间 $n$等分，而后按Lebesgue方式定义新积分，在 $n\to\infty$过程当中，和式的极限仍是不存在，根本缘由在于 $Q$是 $J$不可测的。显然 $\displaystyle Q=\bigcup_{n=1}^\infty \{q_n\}$，而 $m(\{q_n\})=0,n=1,2,\cdots$。若是新的测度知足可列可加性，就应当有 $m(Q)=0$所以，咱们把(3)增强到可列可加性：对两两不交的 $\{A_n\}$，有 $m(\bigcup_{n=1}^\infty A_n)=\sum_{n=1}^\infty m(A_n)$那么就可能可以知足咱们的需求。下一个问题是 $m$的定义域，咱们固然但愿 $m$是定义在整个幂集 $m(R)$上的，这样全部的线段都有长度，然而这时不可能的，正如对Jordan测度而言， $m(R)$上存在大量的J不可集，如 $Q$，新的测度也存在可测与否的问题，对于Jordan测度而言，咱们仅仅要求有限可加性，相应地，咱们只要求全体J可测集对有限运算封闭便可，对于新测度而言不是如此，咱们要求可列可加性，所以咱们还要求新的可测空间对极限运算也封闭。
总结上面的讨论，为了克服Riemann积分的缺陷，定义一种新的积分——Lebesgue积分，那么在定义Lebesgue积分以前，首先咱们要讨论如何创建一种新的测度，咱们称为Lebesgue测度，要求知足，第一，它是某个幂集的子集 $\mathcal{M}$到非负广义实数（对于无界集容许其测度为正无穷）的映射。第二，咱们要求 $m$知足： $m(\emptyset)=0$，而且某些特殊集合的测度应当知足某些条件（至少要符合咱们对长度、面积、体积）的直觉。第三， $m$要知足可列可加性，仅仅是有限可加性是不够的。第四，既然 $m$要知足可列可加性，那么 $\mathcal{M}$就应当对可列并封闭，而不能仅仅对有限并封闭。
这里的 $\mathcal{M}$就是 $m$的定义域，如同讨论数学分析以前，咱们首先要创建对实函数的定义域实数域的一个认识，在讨论Lebesgue测度以前，咱们要创建对幂集的子集，后面咱们称为集系的认识，并且 $\mathcal{M}$不能是任取的集系，它应当对集合的运算封闭，并且不只仅是有限运算，还应当是极限运算。

几率的公理化定义

如今咱们分析学的领域转到初等几率论中，在初等几率论中，咱们每每首先要定义一个样本空间 $\Omega$，其含义是随机试验可能出现的全部样本点，咱们定义事件是 $\Omega$的子集，这样，咱们就能够用集合论的工具对事件进行运算。几率是事件的函数，描述事件发生的可能性大小。由此能够看出，几率 $P$也是幂集 $P(\Omega)$的某个子集 $\mathcal{F}$（由于咱们不是关心全部的事件，而仅仅关心部分事件罢了，更况且可能也没法定义整个幂集的几率函数）的函数，这和长度、面积、体积有几分类似。下面咱们对古典概型和几何概型做一个简要的回顾，咱们将发现，几率和长度、面积、体积这些概念，不只仅只有他们都是幂集的某个子集的函数这一个共同点。

古典概型

若是样本空间 $\Omega$是一个有限集，咱们记为 $\Omega=\{w_1,\cdots,w_n\}$咱们的几率如此定义：首先定义一个 $\Omega$上的函数 $p$，知足 $p(w_i)=p_i>0,i=1,\cdots,n\\ \sum_{i=1}^np_i=1$则对任意的 $A\subset \Omega$，定义 $P(A)=\sum_{w\in A}p(w)\\ P(\emptyset)=0$容易验证它知足：
(1) $P(\Omega)=1$
(2) $\forall A\subseteq \Omega,P(A)\in[0,1]$
(3) $P$知足有限可加性
固然， $P$可不只仅知足有限可加性，还知足可列可加性，这是由于若是集列 $\{A_n\}$两两不交，因为 $\Omega$是有限集， $\{A_n\}$只能有有限个集合非空，从而由有限可加性能够推得可列可加性也是成立的。如此一来， $P$能够视为是 $P(\Omega)$上的“长度、面积或体积”，咱们称为测度，只不过这个测度是有限的，由于 $P(\Omega)=1$。

几何概型

几何概型则更明显了，假设咱们已经定义了Lebesgue测度 $m$，对于有限测度的某个子集 $A$，设样本空间为 $A$，咱们能够创建一个 $A$的L可测子集 $B$的几率为 $P(B)=\frac{m(B)}{m(A)}$由Lebesgue测度的性质 $P(B)$固然知足
(1) $P(A)=1,P(\emptyset)=0$
(2)对 $A$的任意的L可测子集 $B$，都有 $0\le P(B)\le 1$
(3) $P$知足可列可加性
因而可知， $P$也是一种测度，只不过这种测度 $P$是有限的， $P(A)=1$

几率的公理化定义

因而可知，几率和长度、面积、体积这些概念有共通之处，都知足：

(1) $m(\emptyset)=0$， $\forall A\in \mathcal{F},m(A)\ge 0$
(2) $m$知足可列可加性

对于 $m$其定义域 $\mathcal{F}$首先应当对可列并封闭，不然可列可加性就无从谈起，其次，在几率论中，若是 $A\in \mathcal{F}$，那么应当有 $A^c\in\mathcal{F}$，也就是说咱们对其对立事件也感兴趣，再其次 $\mathcal{F}$还要囊括必然事件 $\Omega$和不可能事件 $\emptyset$，概括起来， $\mathcal{F}$应当知足：

(1) $\Omega \in \mathcal{F}$
(2)若是 $A\in \mathcal{F}$，那么应当有 $A^c\in \mathcal{F}$
(3)若是 $A_n\in \mathcal{F},n=1,2,\cdots$，那么 $\displaystyle\bigcup_{n=1}^\infty A_n\in\mathcal{F}$

咱们称这类集系为 $\sigma$代数，咱们把定义在某个 $\sigma$代数 $\mathcal{F}$上知足(1)(2)的（广义）集函数 $m$称为 $\mathcal{F}$的测度，进一步地，若是 $m$还知足 $m(\Omega)=1$则称 $m$为几率测度，这就是几率的公理化定义。从这里能够看出，几率和长度、面积、体积都是测度，以测度、可测函数及可测函数积分为基本研究对象的测度论是初等几率论和实变函数论的提升和抽象。本学习笔记的目的是利用测度论对几率论进行严格化的表述，在这个过程当中，澄清一些初等几率论不可能讲清楚的一些概念（如条件几率、条件指望、随机变量的分类），同时搭起初等几率论与公理化几率论的桥梁。

集合的运算

集合是现代数学的基本概念，一群能够相互区别的事物就能够构成集合，构成集合的事物称为元素\。某个元素和某个集合的关系只有两种，属于和不属于。

交运算： $A\cap B$定义为 $A\cap B=\{x:x\in A且x\in B\}$
并运算： $A\cup B$定义为 $A\cup B=\{x:x\in A或x\in B\}$
差运算： $A-B$（或写成 $A/\ B$）定义为 $A-B=\{x:x\in A且x\notin B\}$
子集： $A\subseteq B$定义为： $\forall x\in A,x\in B$
集合相等： $A=B$定义为 $x\in A$和 $x\in B$是等价的
证实集合相等经常证实： $A\subseteq B$且 $B\subseteq A$
余集：若是定义了全集 $X$，则对任意 $A\subseteq X$，定义 $A^c$为 $A^c=X-A$
无穷交： $\{A_t:t\in T\}$为一系列集合，其中 $T$为指标集， $t$能够用于对子集进行标号，则定义 $\displaystyle\bigcap_{t\in T}A_t=\{x:\forall t\in T,x\in A_t\}$
无穷并： $\{A_t:t\in T\}$为一系列集合，其中 $T$为指标集，定义 $\displaystyle\bigcup_{t\in T}A_t=\{x:\exists t_0\in T,x\in A_{t_0}\}$
单调列：若是集合列 $\{A_n,n=1,2,\cdots\}$知足： $A_n\subset A_{n+1}$，则称 $\{A_n\}$为单调递增列，若是 $A_{n+1}\subset A_n$，则称 $\{A_n\}$为单调递减列
单调列的极限： $\{A_n\}$为单调增列，则定义 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}A_n=\bigcup_{n=1}^\infty A_n$，若是 $\{A_n\}$为单调减列，则定义 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}A_n=\bigcap_{n=1}^\infty A_n$
集列的上下极限：定义集列 $\{A_n\}$的上极限为 $\displaystyle\limsup_{n\to\infty}A_n=\bigcap_{n=1}^\infty\bigcup_{k=n}^\infty A_k$，定义集列 $\{A_n\}$的下极限为 $\displaystyle \liminf_{n\to\infty}A_n=\bigcup_{n=1}^\infty\bigcap_{k=n}^\infty A_k$，容易证实对任意集系 $\{A_n\}$都有 $\displaystyle \liminf_{n\to\infty}A_n\subseteq \limsup_{n\to\infty}A_n$
集列的极限：若是对集系 $\{A_n\}$，有 $\displaystyle\liminf_{n\to\infty}A_n=\limsup_{n\to\infty}A_n$，则称 $\{A_n\}$的极限存在，记为 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}A_n=\liminf_{n\to\infty}A_n=\limsup_{n\to\infty}A_n$
德摩根公式：
$(A\cap B)^c=A^c\cup B^c\\ (A\cup B)^c=A^c\cap B^c\\ (\bigcup_{t\in T}A_t)^c=\bigcap_{t\in T}A_t^c\\ (\bigcap_{t\in T}A_t)^c=\bigcup_{t\in T}A_t^c$
集合的运算还知足分配律: $A\cap(B\cup C)=(B\cup C)\cap A=(A\cap B)\cup (A\cap C)\\ A\cup(B\cap C)=(B\cap C)\cup A=(A\cup C)\cap (A\cup B)\\ A\cap(\bigcup_{t\in T}B_t)=\bigcup_{t\in T}(A\cap B_t)\\ A\cup(\bigcap_{t\in T}B_t)=\bigcap_{t\in T}(A\cup B_t)$固然集合运算还知足交换律和结合律，这里就不列举了

集系与集系的生成

定义1.1 对于集合 $X$，定义 $X$全体子集构成的集合为 $\mathscr{P}(X)$，称为 $X$的幂集，幂集的子集称为 $X$上的集系

通常而言，咱们习惯于将集系写成花体字母 $\mathscr{A},\mathscr{B},\cdots$。对于测度论而言，咱们须要的不是任意的集系，而是对集合运算封闭的集系：
对有限交封闭：若是 $A,B\in \mathscr{A}$，则有 $A\cap B \in \mathscr{A}$
对有限并封闭：若是 $A,B\in \mathscr{A}$，则有 $A\cup B\in \mathscr{A}$
对差运算封闭：若是 $A,B\in \mathscr{A}$，则有 $A -B\in \mathscr{A}$
对有限不交并封闭：对任意 $A\cap B=\emptyset,A,B\in \mathscr{A}$，都有 $A\cup B\in \mathscr{A}$
相似地能够写出对可列交封闭，对可列并封闭等定义

下面，咱们将给出几个经常使用的集系
$\pi$系：若是集系 $\mathscr{A}$对有限交封闭，则称 $\mathscr{A}$是 $\pi$系
半环：若是集系 $\mathscr{R}$是 $\pi$系，而且对任意的 $A,B\in\mathscr{A}$，存在 $\mathscr{A}$中两两不交的 $m$个集合 $C_1,\cdots,C_m$，知足 $A-B=\bigcup_{k=1}^mC_k$则称 $\mathscr{R}$为半环
环：若是集系 $\mathscr{R}$对有限交和差运算封闭，则称 $\mathscr{R}$为环
代数（域）：若是集系 $\mathscr{R}$是 $\pi$系，而且若是 $A\in\mathscr{R},A^c\in\mathscr{R}$，则称 $\mathscr{R}$为代数或域
单调系：若是集系 $\mathscr{R}$对任何单调列的极限封闭，则称 $\mathscr{R}$是单调系
$\lambda$系：若是 $\mathscr{A}$知足：
(1) $X\in \mathscr{A}$
(2) $A\in \mathscr{A}$则有 $A^c\in\mathscr{A}$
(3) $\{A_n\}$是 $\mathscr{A}$中的单调增列， $A_n\uparrow A$，则 $A\in\mathscr{A}$
$\sigma$代数或 $\sigma$域：若是集系 $\mathscr{F}$知足：
(1) $X\in\mathscr{F}$
(2) $\mathscr{F}$对余运算封闭
(3) $\mathscr{F}$对可列不交并封闭
$\sigma$环：若是集系 $\mathscr{F}$对差运算可可列不交并运算封闭，则称 $\mathscr{F}$是 $\sigma$环

上面只是列举了这些集系的定义，下面咱们对集系之间的包含关系进行讨论：
(1)显然，半环是 $\pi$系，这是半环的定义规定的，而环也是 $\pi$系，这是由于设 $\mathscr{R}$是环，若是 $A,B\in\mathscr{R}$，则按照环的定义 $A\cup B,A-B,B-A\in\mathscr{R}$，而 $A\cap B=A\cup B-(A-B)-(B-A)$，从而 $A\cap B\in \mathscr{R}$，于是环是 $\pi$系，天然也是半环
(2)代数是环，设 $\mathscr{R}$是代数，首先若是 $A,B\in \mathscr{R}$，则 $A^c,B^c\in\mathscr{R}$，故 $A^c\cap B^c\in\mathscr{R}$，从而 $A\cup B=(A^c\cap B^c)^c\in\mathscr{R}$而对差运算封闭是显然的
(3) $\sigma$环显然是环，但不必定是代数， $\sigma$代数必定是代数，实际上，代数与环， $\sigma$代数和 $\sigma$环的差异就在因而否有 $X\in\mathscr{R}$
(4) $\lambda$系必定是单调类，实际上咱们只要验证若是 $\{A_n\}$是单调减列， $A_n\downarrow A$，则有 $A\in \mathscr{A}$， $A_n^c\in \mathscr{A}$，且 $\{A_n^c\}$是单调增列，则 $\displaystyle\bigcup_{n=1}^\infty A_n^c\in\mathscr{R}$，故 $(\bigcup_{n=1}^\infty A_n^c)^c=\bigcap_{n=1}^\infty A_n\in \mathscr{R}$(5)显然 $\sigma$代数必定是 $\lambda$系
因而，通过上面的讨论，咱们能够获得以上几类集系的关系图以下：

下面咱们给出一个重要的定理

定理1.1 （1）若是集系 $\mathscr{F}$既是单调系又是代数（环），则 $\mathscr{F}$是 $\sigma$代数（ $\sigma$环）
（2）若是集系 $\mathscr{F}$既是 $\lambda$系又是 $\pi$系，则 $\mathscr{F}$是 $\sigma$代数

证：
(1)若是 $\mathscr{F}$既是单调系又是代数（环），则若是 $A_n\in \mathscr{F},n=1,2,\cdots$，那么 $\bigcup_{k=1}^nA_k\in \mathscr{F}$而且集系 $\displaystyle\{\bigcup_{k=1}^nA_k\}$是单调增列，且 $\displaystyle\bigcup_{k=1}^nA_k\uparrow \bigcup_{n=1}^\infty A_n$，则因为 $\mathscr{F}$是一个单调系，有 $\displaystyle \bigcup_{n=1}^\infty A_n\in\mathscr{F}$，这就证实了 $\mathscr{F}$是 $\sigma$代数（ $\sigma$环）
(2)若是 $A_n\in\mathscr{F},n=1,\cdots,n,\cdots$，则 $A_n^c\in\mathscr{F},n=1,2,\cdots$，因为 $\mathscr{F}$是 $\pi$系，就有 $\bigcap_{k=1}^nA_k^c\in\mathscr{F}$而 $\displaystyle\{\bigcap_{k=1}^nA_k^c\}$是单调减列， $\mathscr{F}$是 $\lambda$系于是是单调系， $\displaystyle \bigcap_{k=1}^nA_k^c\downarrow\bigcap_{n=1}^\infty A_n^c$，从而 $\bigcap_{n=1}^\infty A_n^c\in \mathscr{F}$从而 $(\bigcap_{n=1}^\infty A_n^c)^c=\bigcup_{n=1}^\infty A_n\in \mathscr{F}$故 $\mathscr{F}$是 $\sigma$代数

例1.1 由 $R^n$上全体有限开区间、有限左开右闭区间、有限左闭右开区间和闭区间构成的集合都是 $\pi$系，另外，全体有限左开右闭区间构成的集系是半环（只要分类讨论很容易验证）

例1.2 $R^n$上左开右闭矩体定义为 $\prod_{k=1}^n(a_k,b_k]=\{(x_1,\cdots,x_n):a_k<x_k\le b_k,k=1,\cdots,n\}$全体 $R^n$上左开右闭矩体 $R^n$的一个半环

证：
设 $I_1^1,I_2^1,\cdots,I_n^1,I_1^2,I_2^2,\cdots,I_n^2$是 $R$中 $2n$个左开右闭的区间，如今咱们要求 $\displaystyle(\prod_{k=1}^nI_k^2)^c$，实际咱们只要考察一下笛卡尔积的定义便可， $\displaystyle(x_1,\cdots,x_n)\in \prod_{k=1}^nI_k^2$等价于对任意的 $k=1,\cdots,n$，都有 $x_k\in I_k^2$，所以， $\displaystyle(x_1,\cdots,x_n)\in (\prod_{k=1}^nI_k^2)^c$等价于存在 $k_0=1,2,\cdots$或 $n$， $x_{k_0}\in I_k^c$，故咱们能够把 $\displaystyle(\prod_{k=1}^nI_k^2)^c$写成 $(\prod_{k=1}^nI_k^2)^c=\bigcup_{k=1}^n\prod_{i=1}^{k-1}I_i^2\times (I_k^{2} )^c\times\prod_{i=k+1}^nR$分解式右边的 $n$个集合两两不交（由构造能够看出来），而对 $k=1,\cdots,n$，有 $(\prod_{i=1}^{k-1}I_i^2\times (I_k^2)^c \times\prod_{i=k+1}^nR)\cap\prod_{i=1}^n I_i^1=\prod_{i=1}^{k-1}(I_i^1\cap I_i^2)\times(I_k^1-I_k^2)\times\prod_{i=k+1}^nI_i^1$存在有限个两两不交的左开右闭区间 $I_{k1},\cdots,I_{kn_k}$，知足 $I_k^1-I_k^2=\bigcup_{j=1}^{n_k}I_{kj}$因而 $\begin{aligned} &(\prod_{i=1}^{k-1}I_i^2\times (I_k^2)^c \times\prod_{i=k+1}^nR)\cap\prod_{i=1}^n I_i^1\\=&\bigcup_{j=1}^{n_k}\prod_{i=1}^{k-1}(I_i^1\cap I_i^2)\times I_{kj}\times\prod_{i=k+1}^nI_i^1 \end{aligned}$所以 $\prod_{k=1}^nI_k^1-\prod_{k=1}^nI_k^2=\bigcup_{k=1}^n\bigcup_{j=1}^{n_k}\prod_{i=1}^{k-1}(I_i^1\cap I_i^2)\times I_{kj}\times\prod_{i=k+1}^nI_i^1$分解式右边是 $\displaystyle N=\sum_{k=1}^nn_k$个两两不交的 $R^n$中的区间，显然这个集系是 $\pi$系，故全体 $R^n$中的左开右闭矩体构成一个半环

例1.3 显然从例1.2的证实能够看出，若是 $\mathscr{A_i}$是 $X_i$的半环 $(i=1,\cdots,n)$，则全体构造如 $\prod_{k=1}^nA_k,A_k\in\mathscr{A_k},k=1,\cdots,n$构成的集系是 $\prod_{k=1}^nX_k$的半环，只须要将例1.2中的左开右闭区间换成 $\mathscr{A_i}$的集合便可证得

例1.4 $\mathscr{R}$是 $X$上的半环，则对于任意的 $A,B\in\mathscr{R}$，有 $A\cup B$可表为 $\mathscr{R}$中两两不交集合之并，这是由于 $A-B,B-A,A\cap B$两两不交，因为 $\mathscr{R}$是 $\pi$系， $A\cap B\in \mathscr{R}$，同时 $A-B,B-A$可表为 $\mathscr{R}$中有限个两两不交的集合之并

例1.5 由全体有限个 $R$上两两不交的左开右闭区间之并构成是集合是 $R$上的环，这个集系能够写成 $\mathscr{R}=\bigcup_{n=1}^\infty\{\bigcup_{k=1}^nI_k:I_1,\cdots,I_n为两两不交的左开右闭区间\}$

证：
假设 $I_1^1,\cdots,I_n^1$是 $n$个两两不交的左开右闭区间， $I_1^2,\cdots,I_m^2$是 $m$个两两不交的左开右闭区间，则 $\bigcup_{k=1}^nI_k^1\cup\bigcup_{k=1}^mI_k^2=\bigcup_{i=1}^n\bigcup_{j=1}^mI_i^1\cap I_j^2$显然右边的分解式两两不交，故 $\displaystyle \bigcup_{k=1}^nI_k^1\cup\bigcup_{k=1}^mI_k^2\in\mathscr{R}$，再证实 $\mathscr{R}$对差运算封闭 $\begin{aligned} &\bigcup_{i=1}^nI_{i}^1-\bigcup_{j=1}^mI_j^2=\bigcup_{i=1}^n(I_i^1-\bigcup_{j=1}^mI_j^2)=\bigcup_{i=1}^n\bigcap_{j=1}^m(I_i^1-I_j^2) \end{aligned}$因为全体左开右闭区间构成 $R$上的半环，对任意的 $i=1,\cdots,n,j=1,\cdots,m$，存在有限个两两不交的左开右闭区间 $I_1^{ij},I_2^{ij},\cdots,I_{n_{ij}}^{ij}$，有 $I_i^1-I_j^2=\bigcup_{k=1}^{n_{ij}}I_k^{ij}$就有 $\begin{aligned} &\bigcup_{i=1}^nI_{i}^1-\bigcup_{j=1}^mI_j^2=\bigcup_{i=1}^n(I_i^1-\bigcup_{j=1}^mI_j^2)=\bigcup_{i=1}^n\bigcap_{j=1}^m\bigcup_{k=1}^{n_{ij}}I_k^{ij}\\ =&\bigcup_{i=1}^n\bigcup_{k_1=1}^{n_{i1}}\cdots\bigcup_{k_m=1}^{n_{im}}(I_{k_1}^{i1}\cap\cdots\cap I_{k_m}^{im}) \end{aligned}$由构造，分解式右边两两不交，故 $\mathscr{R}$对差运算封闭

例1.6 固然，例1.5也能够推广到通常的半环，若是 $\mathscr{A}$是 $X$上的半环，则 $\mathscr{R}=\bigcup_{n=1}^\infty\{\bigcup_{k=1}^nA_k:A_1,\cdots,A_n是\mathscr{A}中的两两不交的集合\}$是 $X$上的环，只要把例1.5中的左开右闭区间换成 $\mathscr{A}$中的抽象集合便可

所谓集系的生成，即从简单集系获得复杂集系， $\mathscr{A}$是一个 $X$的简单集系，它未必对集合的某些运算封闭，但咱们要求找到一个 $X$的集系 $\mathscr{R}$，它对某些运算封闭，而且 $\mathscr{A}\subseteq \mathscr{R}$。不只如此，咱们还但愿 $\mathscr{R}$是最小的，一些多余的集合排除出 $\mathscr{R}$。这就是集系生成的概念。

定义1.2 $\mathscr{A}$是 $X$的集系，若是 $X$的环（单调系、 $\lambda$系、 $\sigma$代数） $\mathscr{R}$知足：
(1) $\mathscr{A}\subset \mathscr{R}$
(2)若是 $X$的环（单调系、 $\lambda$系、 $\sigma$代数） $\mathscr{F}$也知足 $\mathscr{A}\subset \mathscr{F}$，则 $\mathscr{R}\subset \mathscr{F}$
则称 $\mathscr{F}$是由 $\mathscr{A}$生成的环（单调系、 $\lambda$系、 $\sigma$代数），记为 $r(\mathscr{A})(m(\mathscr{A}),\lambda(\mathscr{A}),\sigma(\mathscr{A}))$

那么咱们首先要问的是存在性

定理1.2 对任意 $X$的集系 $\mathscr{A}$，由 $\mathscr{A}$生成的环（单调系、 $\lambda$系， $\sigma$系）存在

证：咱们仅证实存在任意集系生成的环，单调系， $\lambda$系和 $\sigma$系的证实是相似的。
记 $\mathcal{S}$为全体包含 $\mathscr{A}$的环的集合，固然 $\mathcal{S}$非空，令 $\mathscr{R}=\bigcap_{\mathscr{B}\in\mathcal{S}}\mathscr{B}$容易验证 $\mathscr{R}$是环，且对任意的 $\mathscr{B}\in\mathcal{S}$，由构造显然有 $\mathscr{R}\subseteq \mathscr{B}$

例1.7 $\mathscr{A}$是 $X$的半环，则 $r(\mathscr{A})$是例1.6构造的集合，即 $r(\mathscr{A})=\bigcup_{n=1}^\infty\{\bigcup_{k=1}^nA_k:A_1,\cdots,A_n是\mathscr{A}中的两两不交的集合\}$这由生成的环的定义能够直接验证

集合形式的单调类定理

下面咱们证实一个重要的定理

定理1.3 (1) $\mathscr{R}$是 $X$上的代数，则 $\sigma(\mathscr{R})=m(\mathscr{R})$
(2) $\mathscr{P}$是 $X$上的 $\pi$系，则 $\sigma(\mathscr{P})=\lambda(\mathscr{P})$

证：
(1)(2)的证实是相似的，所以咱们只证实(1)，(2)的证实能够仿照(1)进行
因为全部 $\sigma$代数都是单调系，所以， $m(\mathscr{R})\subset\sigma(\mathscr{R})$，只要证实 $\sigma(\mathscr{R})\subset m(\mathscr{R})$，实际上，由定理1.1，咱们只要验证 $m(\mathscr{R})$是代数便可。首先因为 $\mathscr{R}\subset m(\mathscr{R})$，而且 $\mathscr{R}$是代数，故 $X\in m(\mathscr{R})$，其次，咱们须要验证 $m(\mathscr{R})$对有限并和差运算封闭。对于任意的 $A\in \mathscr{R}$，定义： $\mathscr{S}(A)=\{B\in m(\mathscr{R}):A\cup B\in m(\mathscr{R})\}$若是 $A\in m(\mathscr{R})$，那么显然，因为 $\mathscr{R}$是一个代数，就有 $\mathscr{R}\subset \mathscr{S}(A)$其次，因为 $m(\mathscr{R})$是单调系，容易验证 $\mathscr{S}(A)$也是单调系（按定义验证便可），所以就有 $m(\mathscr{R})\subset \mathscr{S}(A)$这说明对任意的 $A\in m(\mathscr{R})$，有 $\mathscr{R}\subset \mathscr{S}(A)$而 $\mathscr{S}(A)$是单调系，故 $m(\mathscr{R})\subset \mathscr{S}(A)$从而就证得了 $m(\mathscr{R})$对有限并封闭，同理可证 $m(\mathscr{R})$对差运算封闭，故 $m(\mathscr{R})$是代数，所以 $m(\mathscr{R})$是 $\sigma$代数，所以， $\sigma(\mathscr{R})\subset m(\mathscr{R})$，故 $\sigma(\mathscr{R})=m(\mathscr{R})$

定理1.3是证实中很是实用的定理，好比咱们证实了在一个代数 $\mathscr{R}$上的任意集合都知足性质 $P$，咱们要证实 $\sigma(\mathscr{R})$上的全部集合都知足性质 $P$，咱们能够直接证实，对知足性质 $P$的任何单调列 $\{A_n\}$， $\displaystyle\lim_{n\to\infty}A_n$也知足性质 $P$，那么知足性质 $P$的集合构成一个包含 $\mathscr{R}$的单调性，设这个集系为 $\mathscr{S}$，则由定理1.3，就有 $\sigma(\mathscr{R})=m(\mathscr{R})\subset \mathscr{S}$故 $\sigma(\mathscr{R})$上全部的集合都知足性质 $P$。咱们把以上的思路，整理为下面的很实用的推论

推论1.1 (1) $\mathscr{R}$是 $X$的代数， $\mathscr{S}$是知足 $\mathscr{R}\subset \mathscr{S}$的一单调系，则 $\sigma(\mathscr{R})\subset\mathscr{S}$
(2) $\mathscr{P}$是 $X$的一个 $\pi$系， $\mathscr{S}$是知足 $\mathscr{P}\subset \mathscr{S}$的一 $\lambda$系，则 $\sigma(\mathscr{P})\subset\mathscr{S}$

这一推论称为集合形式的单调类定理。利用推论1.1进行证实的证实方法称为单调系方法及 $\lambda$系方法。

可测空间

可测空间定义

定义1.3 $\mathscr{F}$是 $X$上的 $\sigma$代数，则称二元组 $(X,\mathscr{F})$为一个可测空间， $\mathscr{F}$中的集合称为可测集

假设 $X$是一个拓扑空间， $\mathscr{O}$为其拓扑，记 $\mathscr{B}_X=\sigma(\mathscr{O})$，则 $\mathscr{B}_X$为 $X$的Borel代数或Borel集合系，其中的集合称为 $X$的Borel集，可测空间 $(X,\mathscr{B}_X)$称为拓扑可测空间。如今咱们来考察 $R$的Borel代数：

引理1.1 $\mathscr{A}=\{I_t:t\in T\}$是一个由两两不交开区间构成的集系，则 $\mathscr{A}$是可数集

证：
对 $t\in T$任取有理 $q_t\in I_t$，因为 $\mathscr{A}$中的开区间两两不交，故对 $t_1,t_2\in T$， $q_{t_1}\neq q_{t_2}$，记 $S=\{q_t:t\in T\}$，则构造映射 $\begin{aligned} \varphi:&\mathscr{A}&\to &S\\ &I_t&\mapsto&q_t \end{aligned}$那么显然 $\varphi$既是单射，又是满射，而且 $S\subseteq Q$，而 $Q$可数，故 $\mathscr{A}$是可数集

定理1.4 $R$上任意开集可表为可数个两两不交的开区间之并

证：
设 $O$是 $R$上的开集
①定义生成区间：对任意的 $x\in O$，存在邻域 $B(x,\delta)\subseteq O$，记 $S_x^+=\{y>x:(x,y)\subseteq O\}\\ S_x^{-}=\{y<x:(y,x)\subseteq O\}\\$显然 $S_x^+$非空，如今，咱们规定若是 $S_x^+$无上界，那么显然 $(x,+\infty)\subseteq O$，记 $b_x=+\infty$，不然，若是 $S_x^+$有上界，记 $\displaystyle b_x=\sup_{y\in S_x^+} y$，那么，显然 $(x,b^x)\subseteq O$，，一样地能够定义 $a_x$。开区间 $(a_x,b_x)$称为 $x$的生成区间，记为 $I_x$，知足 $I_x\subseteq O$。
②对 $x\in O,y\in O$，则要么 $I_x=I_y$，要么 $I_x\cap I_y=\emptyset$，分类讨论便可证得
③由②， $\mathscr{A}=\{I_x|x\in O\}$是两两不交的开区间构成的集合，由引理1.1， $\mathscr{A}$可数，而且 $O=\bigcup_{x\in O}I_x$

由定理1.4，不可贵到 $\mathscr{B}_R=\sigma\{(a,b)|a<b,a\ge -\infty,b\le +\infty\}$即全体开区间构成的集系生成的 $\sigma$代数，这是由于，咱们记 $\mathscr{F}=\sigma\{(a,b):a<b,a\ge -\infty,b\le +\infty\}$，对于任意的开集 $O$，由定理1.4，可知存在 $N$个两两不交的开区间 $I_1,I_2,\cdots$（ $N$为有限数或无穷）， $\displaystyle O=\bigcup_{k=1}^N I_k$，所以， $O\in \mathscr{B}_R$（由 $\sigma$代数的定义(3)），故由最小 $\sigma$代数的定义， $\mathscr{B}_R\subseteq \mathscr{F}$，可是开区间又是开集，故任意开区间又在 $\mathscr{B}_R$内，所以 $\mathscr{F}\subseteq \mathscr{B}_R$，从而 $\mathscr{F}=\mathscr{B}_R$

由此还能够获得 $\mathscr{B}_R=\sigma\{(a,b)|a<b,a\in R,b\in R\}$记 $\mathscr{F}=\sigma\{(a,b):a<b,a\in R,b\in R\}$，那么很显然 $\mathscr{F}\subseteq \mathscr{B}_R$，其次，对任意的 $a\in R$，都有 $\displaystyle(a,+\infty)=\bigcup_{n=1}^\infty(a,a+n)$，故 $(a,+\infty)\in \mathscr{F}$，由此能够获得 $\mathscr{B}_R\subseteq\mathscr{F}$，故 $\mathscr{F}=\mathscr{B}_R$

进一步地 $\mathscr{B}_R=\sigma\{(a,b]|a<b,a\in R,b\in R\}$由此能够获得 $\mathscr{B}_R=\sigma\{(-\infty,a)|a\in R\}$而 $\displaystyle(-\infty,a]=\bigcap_{n=1}^\infty (-\infty,a+\frac{1}{n})$，由此又能够获得 $\begin{aligned} \mathscr{B}_R=&\sigma\{(-\infty,a]|a\in R\}\\ =&\sigma\{(-\infty,a)|a\in R\}\\ =&\sigma\{(a,+\infty)|a\in R\}\\ =&\sigma\{[a,+\infty)|a\in R\} \end{aligned}$
如今咱们在实数域 $R$上加上正负无穷 $\pm \infty$两个点，定义广义实数域 $\overline{R}=R\cup\{+\infty\}\cup\{-\infty\}$定义运算性质为：
(1) $a\in R$则 $a+(\pm\infty)=\pm\infty+a=\pm \infty$， $a-(\pm\infty)=\mp\infty$