测度论与几率论笔记4：测度空间上的积分（上）

测度空间上的积分

• 测度空间的积分
• 非负简单函数的积分
• 非负可测函数的积分
• 通常可测函数的积分
• 积分的性质
• 三大积分极限定理
• Levi渐升列定理
• Fatou引理
• Lebesgue控制收敛定理

测度空间的积分

接下来咱们定义测度空间上的积分，方法仍是采用典型方法，须要三步：
第一步：定义非负简单函数的积分
第二步：因为非负可测函数均可由渐升非负简单函数列逼近，由此定义非负可测函数的积分
第三步：将通常可测函数分解为正负部，其积分为正部的积分减去负部的积分
接下来的讨论，如无特别说明，测度空间为 $(X,\mathscr{F},\mu)$， $\mathscr{F}$中的集合称为可测集

非负简单函数的积分

对非负简单函数 $\displaystyle f=\sum_{k=1}^nc_kI_{E_k}$， $E_1,\cdots,E_n$为两两不交的可测集， $\displaystyle X=\bigcup_{k=1}^nE_k$， $c_1,\cdots,c_n$为非负实数，定义其积分为 $\int_Xfd\mu=\sum_{k=1}^nc_k\mu(E_k)$

1. 实际上，非负简单函数的表示方法不惟一，所以要证实这必定义是良定义，也就是说，不论表示为什么种形式，积分的定义是惟一。
   咱们设 $\displaystyle f=\sum_{k=1}^nc_kI_{E_k}=\sum_{k=1}^md_kI_{F_k}$，其中， $E_1,\cdots,E_n$为两两不交的可测集， $F_1,\cdots,F_m$为两两不交的可测集， $\displaystyle X=\bigcup_{k=1}^nE_k=\bigcup_{k=1}^m F_k$， $c_1,\cdots,c_n,d_1,\cdots,d_m$都是非负实数。设 $\displaystyle I_1=\sum_{k=1}^nc_k\mu(E_k),I_2=\sum_{k=1}^md_k\mu(F_k)$。则 $f$还能够表示为 $f=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mc_iI_{E_i\cap F_j}=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^md_jI_{E_i\cap F_j}$这两种方法是同一种表示方法¹，在该表示法下的积分为 $I_3=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mc_i\mu(E_i\cap F_j)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^md_j\mu(E_i\cap F_j)$²而 $\{E_i\cap F_j:i=1,2,\cdots,n,j=1,2,\cdots,m\}$是两两不交的可测集，而且 $\displaystyle X=\bigcup_{i=1}^n\bigcup_{j=1}^mE_i\cap F_j$，而 $I_3=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mc_i\mu(E_i\cap F_j)=\sum_{i=1}^nc_i\sum_{j=1}^m\mu(E_i\cap F_j)=\sum_{i=1}^nc_i\mu(E_i)=I_1$同理可证 $I_3=I_2$，故 $I_1=I_2$

2. 非负简单函数积分的性质：
   性质1: $A$是可测集，则 $\displaystyle\int_X I_Ad\mu=\mu(A)$
   性质2: 对任意的非负简单函数 $f$， $\displaystyle \int_X fd\mu\ge 0$
   性质3:（半线性性质） 对任意的非负简单函数 $f,g$，对任意的非负实数 $a,b$， $af+bg$也是非负简单函数，而且 $\int_X(af+bg)d\mu=a\int_Xfd\mu+b\int_Xgd\mu$ 性质4：（不等式性质） $f,g$是非负简单函数， $f\le g$，则 $\int_X fd\mu\le \int_X gd\mu$ 性质5： $\{f_n\}$是渐升的非负简单函数列， $g$是非负简单函数，而且 $\displaystyle g\le \lim_{n\to\infty} f_n$，则有 $\int_Xgd\mu\le\lim_{n\to\infty}\int_X f_nd\mu$

非负简单函数性质的证实：仅证实性质3和性质5，性质4的证实思路和性质3相似，而性质1,2是显然的
性质3的证实：设 $\displaystyle f=\sum_{k=1}^nc_kI_{E_k},g=\sum_{k=1}^md_kI_{F_k}$，其中 $E_1,\cdots,E_n$为两两不交的可测集， $F_1,\cdots,F_m$为两两不交的可测集，而且 $\displaystyle X=\bigcup_{k=1}^nE_k=\bigcup_{k=1}^mF_k$， $c_1,\cdots,c_n,d_1,\cdots,d_m$为非负实数，则 $af+bg=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m(ac_i+bd_j)I_{E_i\cap F_j}$则 $\begin{aligned} &\int_X(af+bg)d\mu=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m(ac_i+bd_j)\mu(E_i\cap F_j)\\ =&a\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mc_i\mu(E_i\cap F_j)+b\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^md_j\mu(E_i\cap F_j)\\ =&a\sum_{i=1}^nc_i\sum_{j=1}^m\mu(E_i\cap F_j)+b\sum_{j=1}^md_j\sum_{i=1}^n\mu(E_i\cap F_j)\\ =&a\sum_{i=1}^nc_i\mu(E_i)+b\sum_{j=1}^md_j\mu(F_j)\\ =&a\int_X fd\mu+b\int_X g d\mu \end{aligned}$性质5的证实： 对于任意的 $c\in (0,1)$，定义 $A_n=\{f_n\ge cg\}\\ B_n=\{f_n < cg\}$则 $\int_X f_nd\mu =\int_Xf_nI_{A_n}d\mu+\int_X f_nI_{B_n}d\mu\ge \int_Xf_nI_{A_n}d\mu$因为 $\{f_n\}$是渐升列，故 $E_1\subset E_2\subset E_3\subset \cdots\subset E_n\subset \cdots$，而且， $E_n\uparrow X$，咱们证实 $\displaystyle \int_X gI_{A_n}d\mu\uparrow \int_X g d\mu$，设 $\displaystyle g=\sum_{k=1}^nc_kI_{E_k}$，其中 $E_1,\cdots,E_n$为两两不交的可测集，而且 $\displaystyle X=\bigcup_{k=1}^n E_k$， $c_1,\cdots,c_n$为非负实数，则 $gI_{A_n}=\sum_{k=1}^nc_kI_{E_k\cap A_n}+0.I_{B_n}$则 $\int_XgI_{A_n}d\mu=\sum_{k=1}^n c_k \mu(E_k\cap A_n)$由测度的下连续性，就有
$\begin{aligned} &\lim_{n\to\infty}\int_XgI_{A_n}d\mu=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n c_k \mu(E_k\cap A_n)\\=&\sum_{k=1}^n c_k\lim_{n\to\infty}\mu(E_k\cap A_n)=\sum_{k=1}^nc_k\mu(E_k)=\int_Xgd\mu \end{aligned}$而且 $\int_Xf_nI_{A_n}d\mu\ge c\int_XgI_{A_n}d\mu$故 $\int_X f_nd\mu\ge c\int_XgI_{A_n}d\mu$两边令 $n\to\infty$，有 $\lim_{n\to\infty}\int_X f_nd\mu\ge c\int_Xgd\mu$再令 $c\to 1$，就有 $\lim_{n\to\infty}\int_X f_nd\mu\ge \int_Xgd\mu$

非负可测函数的积分

由简单函数逼近定理，对任意非负可测函数 $f$，存在渐升的非负简单函数列 $\{f_n\}$， $f_n\uparrow f$，则咱们能够定义非负可测函数 $f$的积分为 $\int_Xfd\mu=\lim_{n\to\infty}\int_Xf_nd\mu$

1. 该定义是良定义：所谓的良定义是指：不管选取何种渐升的非负简单函数列 $\{f_n\}$，只要 $f_n\uparrow f$，所获得的积分值是相等的。对两个非负渐升的简单函数列 $\{f_n\}$和 $\{g_n\}$，而且到处成立 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}f_n=\lim_{n\to\infty}g_n$，那么对任意的 $m\ge 1$，都有 $f_m\le \lim_{n\to\infty} g_n\\ g_m\le \lim_{n\to\infty} f_n$所以，由非负简单函数积分的性质，就有 $\int_Xf_md\mu\le\lim_{n\to\infty}\int_X g_nd\mu\\ \int_Xg_md\mu\le \lim_{n\to\infty}\int_X f_nd\mu$两边令 $m\to\infty$，就有 $\lim_{m\to\infty}\int_X f_md\mu\le \lim_{n\to\infty}\int_Xg_nd\mu\\ \lim_{m\to\infty}\int_X g_md\mu\le \lim_{n\to\infty}\int_X f_nd\mu$这就获得 $\lim_{n\to\infty}\int_X f_nd\mu=\lim_{n\to\infty}\int_X g_nd\mu$
2. 由1，非负可测函数的积分与所选取的渐升非负简单函数列无关，故计算积分值时，选取任意的渐升非负简单函数列都是能够的。若是选取的是咱们证实简单函数逼近定理时的渐升非负简单函数列，那么就有 $\int_Xfd\mu=\lim_{n\to\infty}\left[\sum_{k=1}^{n2^n-1}\frac{k}{2^n}\mu\{\frac{k}{2^n}\le f < \frac{k+1}{2^n}\}+n\mu\{f\ge n\}\right]$这里选取的非负简单函数列为 $\{h_n\}$，其中 $h_n=\sum_{k=0}^{n.2^n-1}\frac{k}{2^n}I_{\{\frac{k}{2^n}\le f < \frac{k+1}{2^n}\}}+nI_{\{f\ge n\}}$后面沿用这个记号
3. 该定义还有一个等价定义 $\int_Xfd\mu=\sup\{\int_Xgd\mu:g\le f,g是非负简单函数\}$

证：咱们记 $I= \int_Xfd\mu=\sup\{\int_Xgd\mu:g\le f,g是非负简单函数\}$任取一列渐升的非负简单函数列 $\{f_n\}$，而且 $f_n\uparrow f$，则 $f_n\le f$，由 $I$的定义，就有 $\int_X f_nd\mu\le I$令 $n\to\infty$，就有 $\int_X fd\mu \le I$反之，咱们分两种状况讨论：
情形1：当 $I=+\infty$时，存在非负简单函数列 $\{f_n\}$， $f_n\le f$，而且 $\lim_{n\to\infty}\int_X f_nd\mu=+\infty$令 $g_n=\max\{f_1,f_2,\cdots,f_n,h_n\}$，容易验证 $g_n$也是非负简单函数，而且 $\{g_n\}$是渐升的，同时，因为 $f_1\le f,f_2\le f,\cdots,f_n\le f,h_n\le f$故 $g_n\le f$，而 $g_n\ge h_n$，由夹逼准则， $\displaystyle \lim_{n\to\infty}g_n= f$，则 $\lim_{n\to\infty}\int_X g_nd\mu=+\infty=\int_X fd\mu$情形2：当 $I<+\infty$时，存在非负简单函数列 $\{f_n\}$， $f_n\le f$，而且 $\int_X f_nd\mu>I-\frac{1}{n}$如同情形1同样构造 $\{g_n\}$，则 $I-\frac{1}{n}<\int_Xf_nd\mu\le\int_X g_nd\mu\le I$由夹逼准则 $\lim_{n\to\infty}\int_Xg_nd\mu=\int_X fd\mu=I$

4. 若 $f$是一个非负简单函数，则 $\displaystyle\int_Xfd\mu$是良定义的，也就是说，不管采起上节的定义，仍是本节的定义，获得的积分值是一致的，这由注3容易验证，这里省略
5. 非负可测函数积分的性质：
   性质1（非负性）： $f$是非负可测函数，则 $\displaystyle\int_X fd\mu\ge 0$
   性质2（线性性质）： $f,g$是两个非负可测函数， $a,b$是两个非负实数，则 $\int_X(af+bg)d\mu=a\int_Xfd\mu+b\int_Xgd\mu$性质3（不等式性质） ： $f,g$是两个非负可测函数，而且到处成立 $f\le g$，则 $\int_X fd\mu\le \int_X gd\mu$

通常可测函数的积分

对于通常的可测函数，咱们定义其积分为 $\int_Xfd\mu=\int_X f^+d\mu-\int_X f^-d\mu$固然前提是要这个式子有意义，这个式子有意义的充要条件是 $\min\{\int_X f^+d\mu,\int_X f^-d\mu\}<+\infty$此时咱们称 $f$积分存在，若是 $\max\{\int_X f^+d\mu,\int_X f^-d\mu\}<+\infty$则这个积分仍是实数，此时咱们称 $f$可积

1. 任意可测集上的积分：若是 $A$是可测集， $f$是可测函数，则若是 $fI_A$积分存在或可积，就称 $f$在 $A$上积分存在或可积，积分值记为 $\int_Afd\mu=\int_X fI_Ad\mu$
2. 几乎到处定义的可测函数的积分： $f$虽然不是可测函数，但其与可测函数 $h$几乎到处相等，若是 $h$积分存在或可积，咱们称 $f$积分存在或可积，积分值为 $\int_X hd\mu$，后面咱们将证实这必定义是良定义

积分的性质

定理4.1（可积的充要条件） $f$为可测函数.
(1) 若是 $f$的积分存在，则 $\displaystyle\left|\int_Xfd\mu\right|\le \int_X|f|d\mu$
(2) $f$可积当且仅当 $|f|$可积
(3) 若是 $f$可积，则 $f$几乎到处有限

证：
（1）若是 $\displaystyle\int_Xfd\mu=+\infty$，则 $\displaystyle\int_Xf^+d\mu=+\infty,\int_Xf^-d\mu<+\infty$，所以 $\int_X|f|d\mu=\int_Xf^+d\mu+\int_Xf^-d\mu=+\infty$故 $\left|\int_Xfd\mu\right|=\int_X|f|d\mu$而 $\displaystyle\int_Xfd\mu=-\infty$时也是相似的，当 $f$可积时，由三角不等式 $\left|\int_Xfd\mu\right|=\left|\int_Xf^+d\mu-\int_Xf^-d\mu\right|\le\int_Xf^+d\mu+\int_Xf^-d\mu=\int_X|f|d\mu$（2） $f$可积的充要条件是 $\int_Xf^+d\mu<+\infty,\int_Xf^-d\mu<+\infty$而 $\int_X|f|d\mu=\int_Xf^+d\mu+\int_Xf^-d\mu$故由此不可贵出 $f$可积当且仅当 $|f|$可积
（3）若是 $f$非负， $f$不几乎到处有限，那么 $\displaystyle\mu\{f=+\infty\}=\mu\left(\bigcap_{n=1}^\infty\{f\ge n\}\right)=\delta>0$，那么由单调性，对任意的 $n\ge 1$，都有 $\mu\{f\ge n\}\ge \mu\{f=+\infty\}=\delta$所以 $\begin{aligned} &\int_Xfd\mu=\lim_{n\to\infty}\left[\sum_{k=1}^{n.2^n-1}\frac{k}{n.2^n}\mu\{\frac{k}{n.2^n}\le f<\frac{k+1}{n.2^n}\}+n\mu\{f\ge n\}\right]\\\ge&\lim_{n\to\infty}n\mu\{f\ge n\}\ge \delta\lim_{n\to\infty}n=+\infty \end{aligned}$ $f$不可积，所以，若是 $f$可积，则 $f$几乎到处有限
对通常的可测函数， $f$可积的充要条件是 $|f|$可积，则 $f$可积， $|f|$几乎到处有限， $f$也几乎到处有限

定理4.2 $f,g$是可测函数.
（1）对任意的可测集 $A$，而且 $\mu(A)=0$，有 $\int_Afd\mu=0$（2）若是 $f,g$积分存在且 $f\ge g \quad a.e$，则 $\displaystyle\int_Xfd\mu\ge\int_Xgd\mu$
（3）若是 $f,g$几乎到处相等，那么只要其中一个积分存在，另外一个积分也存在并且两个积分值相等

证：
（1） 若是 $f$在 $A$上非负，对任意的非负简单函数 $g\le fI_A$，则 $g$几乎到处为0，显然 $\displaystyle\int_Xgd\mu=0$，故 $\displaystyle\int_Afd\mu=0$，对通常的可测函数 $f$， $f^+I_A,f^-I_A$也几乎到处为0，由此可得 $\displaystyle\int_X(fI_A)^+d\mu=\int_Xf^+I_Ad\mu=0,\int_X(fI_A)^-d\mu=\int_Xf^-I_Ad\mu=0$，故 $\displaystyle\int_Afd\mu=\int_XfI_Ad\mu=0$
（2） 若是 $f,g$非负， $f\ge g \quad a.e$，则令 $A=\{f\ge g\}\\ B=\{f<g\}$则 $\mu(B)=0$，而且 $\int_Xfd\mu=\int_XfI_Ad\mu+\int_XfI_Bd\mu=\int_XfI_Ad\mu\\ \int_Xgd\mu=\int_XgI_Ad\mu+\int_XgI_Bd\mu=\int_XgI_Ad\mu$而 $fI_A\ge gI_B$故 $\int_Xfd\mu=\int_XfI_Ad\mu\ge \int_XgI_Ad\mu=\int_Xgd\mu$当 $f,g$为通常可测函数时， $f\ge g \quad a.e.$，则不难推出 $f^+\ge g^+,f^-\le g^-\quad a.e.$，就有 $\int_Xf^+d\mu\le \int_Xg^+d\mu\\ \int_Xf^-d\mu\ge \int_Xg^-d\mu$就能够证得结论
（3） $f=g\quad a.e.$等价于 $f\ge g,f\le g\quad a.e$，再套用结论（2）便可

设 $f$为几乎到处定义的可测函数，那么设 $f=g=h$， $g,h$为可测函数，那么 $g,h$几乎到处相等，那么应该同时积分存在或可积，而且积分值相等，那么对 $f$的积分定义是良定义，也就是说，不与所选择的可测函数有关。定理4.2还说明了：若是在一个零测集上改变可测函数的值，不改变积分的存在性，不改变可积性，不改变积分的值。

定理4.3 $f$是可测函数，若是 $f$几乎到处为0，则 $\displaystyle\int_Xfd\mu=0$，反正，若是 $f\ge 0\quad a.e.$， $\displaystyle\int_Xfd\mu=0$，则 $f=0 \quad a.e$

证：
(1) 若是 $f = 0 \quad a.e.$，则 $f=fI_{\{f\neq 0\}}$，而 $\mu\{f\neq 0\}=0$，所以 $\int_X fd\mu=\int_X fI_{\{f\neq 0\}}d\mu=0$(2) 若是 $f\ge 0$到处成立， $\displaystyle\int_Xfd\mu=0$，若是 $f$不几乎到处为0，则 $\mu\{f\neq 0\}=\mu\left(\bigcup_{n=1}^\infty\{f\ge\frac{1}{n}\}\right)>0$则存在正整数 $n_0$，有 $\mu\{f\ge\frac{1}{n_0}\}>0$而 $f\ge \frac{1}{n_0}I_{\{f\ge \frac{1}{n_0}\}}$所以 $\int_Xfd\mu\ge\frac{\mu\{f\ge \frac{1}{n_0}\}}{n_0}>0$矛盾，所以 $f=0\quad a.e.$
而若是 $f\ge 0\quad a.e$，而且 $\displaystyle \int_X fd\mu=0$，则令 $A=\{f\ge 0\}\\ B=\{f<0\}$因为 $\mu(B)=0$，就有 $\int_Xfd\mu=\int_XfI_Ad\mu+\int_XfI_Bd\mu=\int_XfI_Ad\mu=0$而 $fI_A\ge 0$到处成立，所以， $fI_A=0,f=fI_A\quad a.e.$，故 $f=0\quad a.e$

定理4.4 $f,g$是积分存在的可测函数.
（1）对任意的 $a\in R$， $af$的积分存在，而且 $\displaystyle\int_X (af)d\mu=a\int_Xfd\mu$
（2）若是 $\displaystyle\int_Xfd\mu+\int_Xgd\mu$有意义，那么 $f+g$为几乎到处定义的可测函数，积分存在，而且 $\int_X(f+g)d\mu=\int_Xfd\mu+\int_Xgd\mu$

证：
（1） $a=0$时， $af=0$，则结论是显然的，咱们就 $a>0$的状况给出证实， $a<0$状况下的证实是相似的。
$af>0$等价于 $f>0$，故 $(af)^+=af^+,(af)^-=af^-$再利用非负可测函数积分的性质便可证得（1）
（2）
①先证实 $f+g$几乎到处有定义，分三种状况讨论：
情形1： $\displaystyle \int_Xfd\mu=+\infty,\int_Xgd\mu>-\infty$，则 $\int_Xf^+d\mu=+\infty,\int_Xf^-d\mu<+\infty,\int_Xg^-d\mu<+\infty$由 $\displaystyle\int_Xf^-d\mu<+\infty$， $f>-\infty\quad a.e.$，由 $\displaystyle\int_Xg^-d\mu<+\infty$， $g>-\infty\quad a.e.$， $f+g$无心义有两种状况：一是 $f=+\infty,g=-\infty$，二是 $f=-\infty,g=+\infty$，令 $A=\{f=+\infty,g=-\infty\}\cup\{f=-\infty,g=+\infty\}$那么 $\begin{aligned} 0\le& \mu(A)\le\mu\{f=+\infty,g=-\infty\}+\mu\{f=-\infty,g=+\infty\}\\\le&\mu\{g=-\infty\}+\mu\{f=-\infty\}=0 \end{aligned}$故 $\mu(A)=0$，可见 $f+g$到处有定义， $\displaystyle\int_Xfd\mu>-\infty,\int_Xgd\mu=+\infty$情形同理
情形2： $\displaystyle\int_Xfd\mu=-\infty,\int_Xgd\mu<+\infty$时，则有 $\int_Xf^-d\mu=+\infty,\int_Xf^+d\mu<+\infty,\int_Xg^+d\mu<+\infty$能够推得 $f<+\infty,g<+\infty\quad a.e.$因而 $\mu(A)=0$， $f+g$几乎到处有定义， $\displaystyle\int_Xfd\mu<+\infty,\int_Xgd\mu=-\infty$情形同理
情形3： $f,g$都可积，此时 $f,g$几乎到处有限，显然 $\mu(A)=0$， $f+g$几乎到处有定义
$f+g=(f+g)I_{A^c}\quad a.e$故 $f+g$为几乎到处定义的可测函数
②再证实 $\displaystyle\int_X(f+g)d\mu=\int_Xfd\mu+\int_Xgd\mu$：
咱们证实在 $f+g$有意义的状况下，等式 $(f+g)^++f^-+g^-=(f+g)^-+f^++g^+$成立，仍是分三种状况讨论：
情形1： $f+g=+\infty$，此时有两种可能， $f=+\infty,g>-\infty$或 $f>-\infty,g=+\infty$，仅证实前一种状况，后一种是相似的：
若是 $f+g=+\infty,f=+\infty,g>-\infty$，则 $(f+g)^+=+\infty,(f+g)^-=0\\ f^+=+\infty,f^-=0\\ g^+\ge0,g^-\ge 0$由此能够获得等式两边均为 $+\infty$
情形2： $f+g=-\infty$的证实与情形1相似，等式也成立
情形3： $|f+g|<+\infty$，则 $f,g$都是实数，等式天然成立
对上面的等式两边积分，就能够获得 $\int_X(f+g)^+d\mu+\int_Xf^-d\mu+\int_Xg^-d\mu=\int_X(f+g)^-d\mu+\int_Xf^+d\mu+\int_Xg^+d\mu$分状况讨论：
情形1：若是 $\displaystyle \int_X f^+d\mu=+\infty$，那么 $\displaystyle\int_X fd\mu=+\infty,\int_X gd\mu>-\infty$，所以， $\displaystyle\int_X f^-d\mu<+\infty,\int_X g^-d\mu<+\infty$，因为等式成立， $\displaystyle\int_X(f+g)^+d\mu=+\infty$，而 $(f+g)^-\le f^-+g^-$所以 $\int_X(f+g)^-d\mu\le \int_X f^-d\mu+\int_X g^-d\mu<+\infty$所以 $f+g$积分存在，而且 $\int_X(f+g)d\mu=+\infty=\int_X fd\mu+\int_X gd\mu$ $\displaystyle\int_X gd\mu=+\infty$的情形也是相似的
情形2： $\displaystyle \int_X f^-d\mu=+\infty或\int_X g^-d\mu=+\infty$情形的证实同情形1相似，再也不重复
情形3： $f,g$都可积，那么，由 $(f+g)^+\le f^++g^+\\ (f+g)^-\le f^-+g^-$能够知道 $f+g$也可积，移项便可证得等式

定理4.5 $f,g$是可积函数.
（1）若是 $\displaystyle \int_Afd\mu \ge \int_A gd\mu$对任意可测集 $A$都成立，则 $f\ge g\quad a.e$
（2）若是 $\displaystyle \int_Afd\mu = \int_A gd\mu$对任意的可测集 $A$均成立，则 $f=g \quad a.e.$

证：
（1）若是 $f\ge g\quad a.e.$不成立，那么 ${\displaystyle \mu \{f<g\}=\mu (\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\bigcup }}\{g\ge f}$