判断某节点是否和其余节点联通并计算时延 Network Delay Time

问题：

There are N network nodes, labelled 1 to N.

Given times, a list of travel times as directed edges times[i] = (u, v, w), where u is the source node, v is the target node, and w is the time it takes for a signal to travel from source to target.

Now, we send a signal from a certain node K. How long will it take for all nodes to receive the signal? If it is impossible, return -1.

Note:

1. N will be in the range [1, 100].
2. K will be in the range [1, N].
3. The length of times will be in the range [1, 6000].
4. All edges times[i] = (u, v, w) will have 1 <= u, v <= N and 1 <= w <= 100.

解决：

①  图的遍历。给定一张图中若干节点的连通性信息以及节点间的距离，以后要求咱们判断针对某个特定节点（第K个节点），其可否和其余全部结点连通，并求出要到达全部节点须要通过的网络时延。

通过分析，能够明确两个子问题，即： 
- 判断两个节点之间是否连通 
- 求出某个节点到图中其余任意可达节点所需的最短路径

所以本题的最终目的是求单源最短路径。

最短路径的经常使用解法有迪杰克斯特拉算法Dijkstra Algorithm, 弗洛伊德算法Floyd-Warshall Algorithm, 和贝尔曼福特算法Bellman-Ford Algorithm，其中，Floyd算法是多源最短路径，即求任意点到任意点到最短路径，而Dijkstra算法和Bellman-Ford算法是单源最短路径，即单个点到任意点到最短路径。

Dijkstra算法处理有向权重图时，权重必须为正，而另外两种能够处理负权重有向图，可是不能出现负环，所谓负环，就是权值总和均为负的环。

这三个算法的核心思想，当有对边 (u, v) 是结点u到结点v，若是 dist(v) > dist(u) + w(u, v)，那么 dist(v) 就能够被更新，这是全部这些的算法的核心操做。

Dijkstra算法是从一个顶点到其他各顶点的最短路径算法，解决的是有向图中最短路径问题。迪杰斯特拉算法主要特色是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止，是一种广度优先的搜索方法。

普通的实现方法的时间复杂度为O(V^2)，基于优先队列的实现方法的时间复杂度为O(E + VlogV)，其中V和E分别为结点和边的个数。

dijkstra算法例子：求从结点0到各个结点的最短路径。

• 使用Map <Integer，Map <Integer，Integer >>来存储源节点，目标节点和它们之间的距离。
• 将节点K存储到PriorityQueue。
• 而后继续获取到当前节点的最近节点，并计算从源（K）到该节点（绝对距离）的距离。 使用map存储每一个节点的最短绝对距离。
• 返回绝对距离最大的节点所耗费的时间。

class Solution { //137ms
    public int networkDelayTime(int[][] times, int N, int K) {
        if (times == null || times.length == 0) return -1;
        Map<Integer,Map<Integer,Integer>> path = new HashMap<>();//key为起始节点，value为相邻节点和两个节点的距离
        for (int[] time : times){
            Map<Integer,Integer> sourceMap = path.get(time[0]);
            if (sourceMap == null){
                sourceMap = new HashMap<>();
                path.put(time[0],sourceMap);
            }
            Integer distance = sourceMap.get(time[1]);
            if (distance == null || distance > time[2]){
                sourceMap.put(time[1],time[2]);
            }
        }
        //使用PriorityQueue获取绝对距离最短的节点，并计算其与邻居节点的绝对距离。
        Map<Integer,Integer> distanceMap = new HashMap<>();
        distanceMap.put(K,0);
        PriorityQueue<int[]> priorityQueue = new PriorityQueue<>((i1,i2) -> {return i1[1] - i2[1];});
        priorityQueue.offer(new int[]{K,0});
        int max = -1;
        while (! priorityQueue.isEmpty()){
            int[] cur = priorityQueue.poll();
            int node = cur[0];
            int distance = cur[1];
            if (distanceMap.containsKey(node) && distanceMap.get(node) < distance) continue;
            Map<Integer,Integer> sourceMap = path.get(node);
            if (sourceMap == null) continue;
            for (Map.Entry<Integer,Integer> entry : sourceMap.entrySet()){
                int absoluteDistance = distance + entry.getValue();
                int targetNode = entry.getKey();
                if (distanceMap.containsKey(targetNode) && distanceMap.get(targetNode) <= absoluteDistance) continue;
                distanceMap.put(targetNode,absoluteDistance);
                priorityQueue.offer(new int[]{targetNode,absoluteDistance});
            }
        }
        for (int val : distanceMap.values()){
            if (val > max){
                max = val;
            }
        }
        return distanceMap.size() == N ? max : -1;
    }
} 

② 使用floyd-warshall算法获得全部的最短路径，而后选择从节点K开始的路径，这样更容易（但效率更低）。时间复杂度为O(n^3)，空间复杂度为O(n^2)。

1.  时间复杂度的对比

2. 

 

3. 例如：

D0表示图的邻接矩阵的表示，D1由上面的公式求得，该公式与迪杰斯特拉算法同样。

P数组表示当前节点的前驱节点。

class Solution { //67ms
    public int networkDelayTime(int[][] times, int N, int K) {
        int maxDistance = 100 * 100;//两个节点之间的最短距离
        int[][] distance = new int[N][N];
        for (int i = 0;i < N;i ++){//初始化全部节点之间的距离为最远距离
            Arrays.fill(distance[i],maxDistance);
        }
        //处理图的信息，将能够到达的点之间的路径距离存入表中
        for (int[] time : times){
            distance[time[0] - 1][time[1] - 1] = time[2];
        }
        for (int i = 0;i < N;i ++){
            distance[i][i] = 0;
        }
        //使用弗洛伊德算法遍历图，更新节点的路径距离
        for (int k = 0;k < N;k ++){
            for (int i = 0;i < N;i ++){
                for (int j = 0;j < N;j ++){
                    distance[i][j] = Math.min(distance[i][j],distance[i][k] + distance[k][j]);
                }
            }
        }
        //寻找节点K到最远节点的最短距离
        int res = Integer.MIN_VALUE;
        for (int i = 0;i < N;i ++){
            if (distance[K - 1][i] >= maxDistance) return -1;//节点不可达
            res = Math.max(res,distance[K - 1][i]);
        }
        return res;
    }
}

③ 使用Bellman-Ford算法，时间复杂度为O(VE)，其中V为图中节点数，E为图中边数；空间复杂度为O(V)。

Bellman-Ford算法从源点逐次绕过其余节点，以缩短到达终点的最短路径长度。

dist数组的递推公式：

class Solution { //74ms     public int networkDelayTime(int[][] times, int N, int K) {         int maxDistance = 100 * 100;//两个节点之间的最短距离         int[] distance = new int[N];         Arrays.fill(distance,maxDistance);//初始化全部节点之间的距离为最远距离         distance[K - 1] = 0;//第K个点做为起点         for (int i = 1;i < N;i ++) {             for (int[] time : times) {//使用Bellman-Ford计算最短路径                 int u = time[0] - 1;                 int v = time[1] - 1;                 int w = time[2];                 distance[v] = Math.min(distance[v], distance[u] + w);             }         }         int res = 0;         for (int i = 0;i < distance.length;i ++){//寻找最远的路径             res = Math.max(res,distance[i]);         }         return res == maxDistance ? -1 : res;     } }