理解离散傅立叶变换（一. 傅立叶变换的由来）

理解离散傅立叶变换（一）                      ------傅立叶变换的由来        关于傅立叶变换，不管是书本仍是在网上能够很容易找到关于傅立叶变换的描述，可是大都是些故弄玄虚的 文章，太过抽象，满是一些让人看了就望而生畏的公式的罗列，让人很难可以从感性上获得理解，最近，我偶尔从网上看到一个关于数字信号处理的电子书籍，是一 个叫Steven W. Smith,  Ph.D.外国人写的，写得很是浅显，里面有七章由浅入深地专门讲述关于离散信号的傅立叶变换，虽然是英文文档，我仍是硬着头皮看完了有关傅立叶变换的有 关内容，看了有茅塞顿开的感受，在此把我从中获得的理解拿出来跟你们分享，但愿不少被傅立叶变换迷惑的朋友可以获得一点启发，这电子书籍是免费的，有兴趣 的朋友也能够从网上下载下来看一下，URL地址是： http://www.dspguide.com/pdfbook.htm          要理解傅立叶变换，确实须要必定的耐心，别一会儿想着傅立叶变换是怎么变换的，固然，也须要必定的高等数学基础，最基本的是级数变换，其中傅立叶级数变换是傅立叶变换的基础公式。   1、傅立叶变换的提出          让咱们先看看为何会有傅立叶变换？傅立叶是一位法国数学家和物理学家的名字，英语原名是Jean  Baptiste Joseph Fourier(1768-1830),  Fourier对热传递很感兴趣，于1807年在法国科学学会上发表了一篇论文，论文里描述运用正弦曲线来描述温度分布，论文里有个在当时具备争议性的决 断：任何连续周期信号均可以由一组适当的正弦曲线组合而成。当时审查这个论文的人，其中有两位是历史上著名的数学家拉格朗日(Joseph Louis  Lagrange, 1736-1813)和拉普拉斯(Pierre Simon de Laplace,  1749-1827)，当拉普拉斯和其它审查者投票经过并要发表这个论文时，拉格朗日坚定反对，在近50年的时间里，拉格朗日坚持认为傅立叶的方法没法表 示带有棱角的信号，如在方波中出现非连续变化斜率。法国科学学会屈服于拉格朗日的威望，否认了傅立叶的工做成果，幸运的是，傅立叶还有其它事情可忙，他参 加了政治运动，随拿破仑远征埃及，法国大革命后因怕会被推上断头台而一直在逃避。直到拉格朗日死后15年这个论文才被发表出来。          谁是对的呢？拉格朗日是对的：正弦曲线没法组合成一个带有棱角的信号。可是，咱们能够用正弦曲线来很是逼近地表示它，逼近到两种表示方法不存在能量差异，基于此，傅立叶是对的。          为何咱们要用正弦曲线来代替原来的曲线呢？如咱们也还能够用方波或三角波来代替呀，分解信号的方法 是无穷多的，但分解信号的目的是为了更加简单地处理原来的信号。用正余弦来表示原信号会更加简单，由于正余弦拥有原信号所不具备的性质：正弦曲线保真度。 一个正余弦曲线信号输入后，输出的还是正余弦曲线，只有幅度和相位可能发生变化，可是频率和波的形状还是同样的。且只有正余弦曲线才拥有这样的性质，正因 如此咱们才不用方波或三角波来表示。   2、傅立叶变换分类          根据原信号的不一样类型，咱们能够把傅立叶变换分为四种类别：

1	非周期性连续信号	傅立叶变换（Fourier Transform）
2	周期性连续信号	傅立叶级数(Fourier Series)
3	非周期性离散信号	离散时域傅立叶变换（Discrete Time Fourier Transform）
4	周期性离散信号	离散傅立叶变换(Discrete Fourier Transform)

       下图是四种原信号图例：    这四种傅立叶变换都是针对正无穷大和负无穷大的信号，即信号的的长度是无穷大的，咱们知道这对于计算机处理来讲是不可能的，那么有没有针对长度 有限的傅立叶变换呢？没有。由于正余弦波被定义成从负无穷小到正无穷大，咱们没法把一个长度无限的信号组合成长度有限的信号。面对这种困难，方法是把长度 有限的信号表示成长度无限的信号，能够把信号无限地从左右进行延伸，延伸的部分用零来表示，这样，这个信号就能够被当作是非周期性离解信号，咱们就能够用 到离散时域傅立叶变换的方法。还有，也能够把信号用复制的方法进行延伸，这样信号就变成了周期性离解信号，这时咱们就能够用离散傅立叶变换方法进行变换。 这里咱们要学的是离散信号，对于连续信号咱们不做讨论，由于计算机只能处理离散的数值信号，咱们的最终目的是运用计算机来处理信号的。          可是对于非周期性的信号，咱们须要用无穷多不一样频率的正弦曲线来表示，这对于计算机来讲是不可能实现 的。因此对于离散信号的变换只有离散傅立叶变换（DFT）才能被适用，对于计算机来讲只有离散的和有限长度的数据才能被处理，对于其它的变换类型只有在数 学演算中才能用到，在计算机面前咱们只能用DFT方法，后面咱们要理解的也正是DFT方法。这里要理解的是咱们使用周期性的信号目的是为了可以用数学方法 来解决问题，至于考虑周期性信号是从哪里获得或怎样获得是无心义的。          每种傅立叶变换都分红实数和复数两种方法，对于实数方法是最好理解的，可是复数方法就相对复杂许多 了，须要懂得有关复数的理论知识，不过，若是理解了实数离散傅立叶变换(real  DFT)，再去理解复数傅立叶变换就更容易了，因此咱们先把复数的傅立叶变换放到一边去，先来理解实数傅立叶变换，在后面咱们会先讲讲关于复数的基本理 论，而后在理解了实数傅立叶变换的基础上再来理解复数傅立叶变换。          还有，这里咱们所要说的变换(transform)虽然是数学意义上的变换，但跟函数变换是不一样的， 函数变换是符合一一映射准则的，对于离散数字信号处理（DSP），有许多的变换：傅立叶变换、拉普拉斯变换、Z变换、希尔伯特变换、离散余弦变换等，这些 都扩展了函数变换的定义，容许输入和输出有多种的值，简单地说变换就是把一堆的数据变成另外一堆的数据的方法。   3、一个关于实数离散傅立叶变换(Real DFT)的例子          先来看一个变换实例，下图是一个原始信号图像：        这个信号的长度是16，因而能够把这个信号分解9个余弦波和9个正弦波（一个长度为N的信号能够分解 成N/2+1个正余弦信号，这是为何呢？结合下面的18个正余弦图,我想从计算机处理精度上就不难理解，一个长度为N的信号，最多只能有N/2+1个不 同频率，再多的频率就超过了计算机所能所处理的精度范围），以下图：        9个余弦信号：    9个正弦信号：        把以上全部信号相加便可获得原始信号，至因而怎么分别变换出9种不一样频率信号的，咱们先不急，先看看对于以上的变换结果，在程序中又是该怎么表示的，咱们能够看看下面这个示例图：          上图中左边表示时域中的信号，右边是频域信号表示方法，从左向右表示正向转换(Forward  DFT)，从右向左表示逆向转换(Inverse DFT)，用小写x[]表示信号在每一个时间点上的幅度值数组,  用大写X[]表示每种频率的副度值数组,  由于有N/2+1种频率，因此该数组长度为N/2+1，X[]数组又分两种，一种是表示余弦波的不一样频率幅度值：Re  X[]，另外一种是表示正弦波的不一样频率幅度值：Im  X[]，Re是实数(Real)的意思，Im是虚数(Imagine)的意思，采用复数的表示方法把正余弦波组合起来进行表示，但这里咱们不考虑复数的其 它做用，只记住是一种组合方法而已，目的是为了便于表达（在后面咱们会知道，复数形式的傅立叶变换长度是N，而不是N/2+1）。        下一节咱们未来看一下实数傅立叶变换的具体方法。