MySQL 索引 BST树、B树、B+树、B*树

1、二叉查找树（Binary Search Tree）BST

即二叉搜索树：

• 全部非叶子结点至多拥有两个儿子（Left和Right）；
• 全部结点存储一个关键字；
• 非叶子结点的左指针指向小于其关键字的子树，右指针指向大于其关键字的子树；

    B树的搜索，从根结点开始，若是查询的关键字与结点的关键字相等，那么就命中；不然，若是查询关键字比结点关键字小，就进入左儿子；若是比结点关键字大，就进入右儿子；若是左儿子或右儿子的指针为空，则报告找不到相应的关键字；若是B树的全部非叶子结点的左右子树的结点数目均保持差很少（平衡），那么B树的搜索性能逼近二分查找；但它比连续内存空间的二分查找的优势是，改变B树结构。

    右边也是一个B树，但它的搜索性能已是线性的了；一样的关键字集合有可能致使不一样的树结构索引；因此，使用B树还要考虑尽量让B树保持左图的结构，和避免右图的结构，也就是所谓的“平衡”问题；实际使用的B树都是在原B树的基础上加上平衡算法，即“平衡二叉树”；如何保持B树结点分布均匀的平衡算法是平衡二叉树的关键；平衡算法是一种在B树中插入和删除结点的策略；

2、B树

是一种多路搜索树（并非二叉的）：

• 定义任意非叶子结点最多只有M个儿子；且M>2；
• 根结点的儿子数为[2, M]；
• 除根结点之外的非叶子结点的儿子数为[M/2, M]；
• 每一个结点存放至少M/2-1（取上整）和至多M-1个关键字；（至少2个关键字）
• 非叶子结点的关键字个数=指向儿子的指针个数-1；
• 非叶子结点的关键字从左至右有序：K[1], K[2], …, K[M-1]；且K[i] < K[i+1]；
• 非叶子结点的指针：P[1], P[2], …, P[M]；其中P[1]指向关键字小于K[1]的子树，P[M]指向关键字大于K[M-1]的子树，其它P[i]指向关键字属于(K[i-1], K[i])的子树；
• 全部叶子结点位于同一层；

    B树的搜索，从根结点开始，对结点内的关键字（有序）序列进行二分查找，若是命中则结束，不然进入查询关键字所属范围的儿子结点；重复，直到所对应的儿子指针为空，或已是叶子结点；

B树的特性：

• 关键字集合分布在整颗树中；
• 任何一个关键字出现且只出如今一个结点中；
• 搜索有可能在非叶子结点结束；
• 其搜索性能等价于在关键字全集内作一次二分查找；
• 自动层次控制，因为M/2的限制，在插入结点时，若是结点已满，须要将结点分裂为两个各占M/2的结点；删除结点时，需将两个不足M/2的兄弟结点合并；
• 因为限制了除根结点之外的非叶子结点，至少含有M/2个儿子，确保告终点的至少利用率；

其最低搜索性能为：

注：N为关键字总数

    B-树的性能老是等价于二分查找（与M值无关），也就没有B树平衡的问题；

 

3、B+树

B+树是B-树的变体，也是一种多路搜索树：

• 其定义基本与B-树同，除了：
• 非叶子结点的子树指针与关键字个数相同；
• 非叶子结点的子树指针P[i]，指向关键字值属于[K[i], K[i+1])的子树（B-树是开区间）；
• 为全部叶子结点增长一个链指针；
• 全部关键字都在叶子结点出现；

B+的特性：

• 全部关键字都出如今叶子结点的链表中（稠密索引），且链表中的关键字刚好是有序的；
• 不可能在非叶子结点命中；
• 非叶子结点至关因而叶子结点的索引（稀疏索引），叶子结点至关因而存储（关键字）数据的数据层；
• 更适合文件索引系统；

    B+树是B树的一种变形，它把全部的卫星数据都存储在叶节点中，内部节点只存放关键字和孩子指针，所以最大化了内部节点的分支因子，因此B+树的遍历也更加高效(B树须要以中序的方式遍历节点，而B+树只需把全部叶子节点串成链表就能够从头至尾遍历)。

• 前序-先遍历根节点，再处理左右节点；
• 中序-先遍历左节点，而后处理根节点，最后处理右节点；
• 后序-先遍历左右节点，而后处理根节点。

    图中的指针是单向，实际上还有孩子节点指向父节点的指针，应该是双向的。

 

B+树的插入操做

4、B*树

是B+树的变体，在B+树的非根和非叶子结点再增长指向兄弟的指针；

    B*树定义了非叶子结点关键字个数至少为(2/3)*M，即块的最低使用率为2/3（代替B+树的1/2）；

    B+树的分裂：当一个结点满时，分配一个新的结点，并将原结点中1/2的数据复制到新结点，最后在父结点中增长新结点的指针；B+树的分裂只影响原结点和父结点，而不会影响兄弟结点，因此它不须要指向兄弟的指针；

    B*树的分裂：当一个结点满时，若是它的下一个兄弟结点未满，那么将一部分数据移到兄弟结点中，再在原结点插入关键字，最后修改父结点中兄弟结点的关键字（由于兄弟结点的关键字范围改变了）；若是兄弟也满了，则在原结点与兄弟结点之间增长新结点，并各复制1/3的数据到新结点，最后在父结点增长新结点的指针；

    因此，B*树分配新结点的几率比B+树要低，空间使用率更高；

 

小结

1. BST树：二叉树，每一个结点只存储一个关键字，等于则命中，小于走左结点，大于走右结点；
2. B树：多路搜索树，每一个结点存储M/2到M个关键字，非叶子结点存储指向关键字范围的子结点；全部关键字在整颗树中出现，且只出现一次，非叶子结点能够命中；
3. B+树：在B-树基础上，为叶子结点增长链表指针，全部关键字都在叶子结点中出现，非叶子结点做为叶子结点的索引；B+树老是到叶子结点才命中；
4. B*树：在B+树基础上，为非叶子结点也增长链表指针，将结点的最低利用率从1/2提升到2/3；

 

参考资料：

http://www.cnblogs.com/oldhorse/archive/2009/11/16/1604009.html

http://www.cnblogs.com/gaochundong/p/btree_and_bplustree.html#btree_node_relationship

http://www.jianshu.com/p/6f68d3c118d6

http://blog.jobbole.com/86594/

http://www.ruzuojun.com/topic/420.html

http://blog.csdn.net/v_JULY_v/article/details/6530142/