[ch05-01] 正规方程法解决多变量线性回归问题

系列博客，原文在笔者所维护的github上：https://aka.ms/beginnerAI，
点击star加星不要吝啬，星越多笔者越努力。

5.1 正规方程解法

英文名是 Normal Equations。

对于线性回归问题，除了前面提到的最小二乘法能够解决一元线性回归的问题外，也能够解决多元线性回归问题。

对于多元线性回归，能够用正规方程来解决，也就是获得一个数学上的解析解。它能够解决下面这个公式描述的问题：

\[y=a_0+a_1x_1+a_2x_2+\dots+a_kx_k \tag{1}\]

5.1.1 简单的推导方法

在作函数拟合（回归）时，咱们假设函数H为：

\[h(w,b) = b + x_1 w_1+x_2 w_2+...+x_n w_n \tag{2}\]

令\(b=w_0\)，则：

\[h(w) = w_0 + x_1 \cdot w_1 + x_2 \cdot w_2+...+ x_n \cdot w_n\tag{3}\]

公式3中的x是一个样本的n个特征值，若是咱们把m个样本一块儿计算，将会获得下面这个矩阵：

\[H(w) = X \cdot W \tag{4}\]

公式5中的X和W的矩阵形状以下：

\[ X = \begin{pmatrix} 1 & x_{1,1} & x_{1,2} & \dots & x_{1,n} \\ 1 & x_{2,1} & x_{2,2} & \dots & x_{2,n} \\ \dots \\ 1 & x_{m,1} & x_{m,2} & \dots & x_{m,n} \end{pmatrix} \tag{5} \]

\[ W= \begin{pmatrix} w_0 \\ w_1 \\ \dots \\ w_n \end{pmatrix} \tag{6} \]

而后咱们指望假设函数的输出与真实值一致，则有：

\[H(w) = X \cdot W = Y \tag{7}\]

其中，Y的形状以下：

\[ Y= \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \dots \\ y_m \end{pmatrix} \tag{8} \]

直观上看，W = Y/X，可是这里三个值都是矩阵，而矩阵没有除法，因此须要获得X的逆矩阵，用Y乘以X的逆矩阵便可。可是又会遇到一个问题，只有方阵才有逆矩阵，而X不必定是方阵，因此要先把左侧变成方阵，就可能会有逆矩阵存在了。因此，先把等式两边同时乘以X的转置矩阵，以便获得X的方阵：

\[X^T X W = X^T Y \tag{9}\]

其中，\(X^T\)是X的转置矩阵，\(X^T X\)必定是个方阵，而且假设其存在逆矩阵，把它移到等式右侧来：

\[W = (X^T X)^{-1}{X^T Y} \tag{10}\]

至此能够求出W的正规方程。

5.1.2 复杂的推导方法

咱们仍然使用均方差损失函数：

\[J(w,b) = \sum (z_i - y_i)^2 \tag{11}\]

把b看做是一个恒等于1的feature，并把z=XW计算公式带入，并变成矩阵形式：

\[J(w) = \sum (x_i w_i -y_i)^2=(XW - Y)^T \cdot (XW - Y) \tag{12}\]

对w求导，令导数为0，就是W的最小值解：

\[ \begin{aligned} {\partial J(w) \over \partial w} &= {\partial \over \partial w}[(XW - Y)^T \cdot (XW - Y)] \\ &={\partial \over \partial w}[(X^TW^T - Y^T) \cdot (XW - Y)] \\ &={\partial \over \partial w}[(X^TXW^TW -X^TW^TY - Y^TXW + Y^TY)] \end{aligned} \tag{13} \]

求导后：

第一项的结果是：\(2X^TXW\)

第二项和第三项的结果都是：\(X^TY\)

第四项的结果是：0

再令导数为0：

\[ J'(w)=2X^TXW - 2X^TY=0 \tag{14} \]
\[ X^TXW = X^TY \tag{15} \]
\[ W=(X^TX)^{-1}X^TY \tag{16} \]

结论和公式10同样。

以上推导的基本公式能够参考第0章的公式60-69。

逆矩阵\((X^TX)^{-1}\)可能不存在的缘由是：

1. 特征值冗余，好比\(x_2=x^2_1\)，即正方形的边长与面积的关系，不能作为两个特征同时存在
2. 特征数量过多，好比特征数n比样本数m还要大

以上两点在咱们这个具体的例子中都不存在。

5.1.3 代码实现

咱们把表5-1的样本数据带入方程内。根据公式(5)，咱们应该创建以下的X,Y矩阵：

\[ X = \begin{pmatrix} 1 & 10.06 & 60 \\ 1 & 15.47 & 74 \\ 1 & 18.66 & 46 \\ 1 & 5.20 & 77 \\ \dots \\ \end{pmatrix} \tag{17} \]

\[ Y= \begin{pmatrix} 302.86 \\ 393.04 \\ 270.67 \\ 450.59 \\ \dots \\ \end{pmatrix} \tag{18} \]

根据公式(10)：

\[W = (X^T X)^{-1}{X^T Y} \tag{10}\]

1. X是1000x3的矩阵，X的转置是3x1000，\(X^TX\)生成(3x3)的矩阵
2. \((X^TX)^{-1}\)也是3x3
3. 再乘以\(X^T\)，即(3x3)x(3x1000)的矩阵，变成3x1000
4. 再乘以Y，Y是1000x1，因此(3x1000)x(1000x1)变成3x1，就是W的解，其中包括一个偏移值b和两个权重值w，3个值在一个向量里

if __name__ == '__main__':
    reader = SimpleDataReader()
    reader.ReadData()
    X,Y = reader.GetWholeTrainSamples()
    num_example = X.shape[0]
    one = np.ones((num_example,1))
    x = np.column_stack((one, (X[0:num_example,:])))
    a = np.dot(x.T, x)
    # need to convert to matrix, because np.linalg.inv only works on matrix instead of array
    b = np.asmatrix(a)
    c = np.linalg.inv(b)
    d = np.dot(c, x.T)
    e = np.dot(d, Y)
    #print(e)
    b=e[0,0]
    w1=e[1,0]
    w2=e[2,0]
    print("w1=", w1)
    print("w2=", w2)
    print("b=", b)
    # inference
    z = w1 * 15 + w2 * 93 + b
    print("z=",z)

5.1.4 运行结果

w1= -2.0184092853092226
w2= 5.055333475112755
b= 46.235258613837644
z= 486.1051325196855

咱们获得了两个权重值和一个偏移值，而后获得房价预测值z=486万元。

至此，咱们获得了解析解。咱们能够用这个作为标准答案，去验证咱们的神经网络的训练结果。

代码位置

ch05, Level1