扩展欧几里得算法证实及求乘法逆元

扩展欧几里得算法

已知整数a、b，扩展欧几里得算法能够在求得a、b的最大公约数的同时，能找到整数x、y，使它们知足贝祖等式：ax+by=gcd(a,b)

为何必定存在贝祖等式呢，裴蜀定理以下：

设存在x，y使ax+by=d，d是ax+by取值中的最小正整数，d≠1。再设am+bn=e，则e≥d .若d不整除e，对e作带余除法.一定存在p，r使e=pd+r.r<d则r=e-pd=（m-px）a+（n-py）b.存在整数m-px，n-py使ax+by=r<d，与d的最小性矛盾。因此d整除e.令m=1，n=0，则d整除a；同理d整除b.因此d=gcd(a,b)

下面给出扩展欧几里得算法的证实

ax + by = gcd(a, b)
a'x' + b'y' = gcd(a', b') (其中a'= b, b' = a % b,)
咱们要获得x,y与x',y'的关系
将a'= b, b' = a % b带入第一个等式
得：bx' + (a%b)y' = gcd(a', b')
由于a%b = a - b[a/b] ([a/b],取a除以b的整数)因此ay' + b(x' - [a/b]y') = gcd(a', b') = gcd(a,b)(由展转相除得)
因此，x,y,x',y'的关系是：

x=y'
y=x' - [a/b] * y'

这样就能够用递推公式，不断向下获得x',y'。

下面给出对应的python代码

#扩展欧几里得算法求线性方程的x与y
def exten_(a, b):
    if b == 0:
        return 1, 0
    else:
        k = a // b
        remainder = a % b       
        x1, y1 = get_(b, remainder)
        x, y = y1, x1 - k * y1          
    return x, y

扩展欧几里得算法求乘法逆元

aa'=1(mod b) -> aa'=km+1 -> aa'-kb=1
令x=a' y=-k 即得ax+by=1，便可利用扩展欧几里得算法求得a'