【数学推导】数字变换

题目描述

Alice 给了 Bob 一个数 k，求有多少个数 x，知足：从 x 的某个数位（不能是最后一位）后加一个乘号，运算获得一个数 y，使得 x−y=k。

好比：若是 k=123，那么 277 就是一个符合要求的数，由于 277−2×77=123。

Bob 以为这个问题太难了，但愿你能够帮他解决。

输入输出格式

输入格式：

一行一个整数 k，意义如上所述。

输出格式：

一行一个整数，表示答案。

输入输出样例

输入样例#1： 

123

输出样例#1： 

3

输入样例#2：

2333

输出样例#2： 

9

输入样例#3： 

999999999

输出样例#3：

34

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【题解】：
这个题目也是经过讲评后我才知道这个怎么作的。
首先读一遍题目：
题目须要咱们找出全部符合一种 形式的数 以一种形式等于k。
形式的数是指：X = a*(10^t) + b 
而后一种形式为： X - a * b = k

根据这个题目咱们知道 K 的范围为： 1e9
咱们能够枚举 10^t，t = 1,2,3……9.
咱们设：t = 10^t。

而后有：a*t-a*b=k
因式分解：(a-1)*(t-b)=k-t
而后经过这个式子进行分析。
一、当k-t<0,不存在a,b，由于左边都是整数。
二、当k-t>0,能够经过根号n枚举全部k-t的因数，而后排序找出对应的a,b。
三、当k-t==0,因为t>b,∴a=1,而后b能够b<t的任意数。
注意去重：
好比100000,可能在讨论（2）时涉及了，而后计算（3）时重复了。
贴上代码：

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 typedef long long ll;
 4 ll k,ans,A,B,K,a,b,F;
 5 set<ll>Ans;
 6 vector<ll> V;
 7 int main()
 8 {
 9     scanf("%lld",&k);
10     for(ll t=10 ; t<=INT_MAX ; t*=10 ){
11         if( k-t > 0 ){
12             K = k-t;
13             //printf("%lld %lld \n",t,K);
14             for(ll i=1 ; i*i<=K ; i++ ) {
15                 V.push_back( i );
16                 if( i*i != K ){
17                     V.push_back( K/i );
18                 }
19             }
20             sort(V.begin(),V.end() );
21             V.erase( unique( V.begin(),V.end() ), V.end() );
22             for(auto A:V){
23                 a = A + 1 ;
24                 b = t - K/A;
25                 if( b<t && b>=0 && a*t + b - a*b == k){
26                     //cout << a*t + b << endl ;
27                     Ans.insert( a*t + b );
28                 }
29             }
30         }else if ( k-t == 0 ){
31             F = t ;
32         }
33     }
34     if( F ){
35         //printf("###\n");
36         set<ll> ::iterator it1 = lower_bound(Ans.begin(),Ans.end(),F);
37         set<ll> ::iterator it2 = lower_bound(Ans.begin(),Ans.end(),2*F);
38         //it2--;
39         Ans.erase(it1,it2);
40     }
41     ans = Ans.size() + F;
42     printf("%lld\n",ans);
43     return 0 ;
44 }

数字变换