最大公约数算法解析

给定两个正整数，求其最大公约数，相信这是每个写代码的同窗绝壁碰见过的练习，固然解法也很是多，下面先给出一个没有通过任何算法处理的程序： public static int getResult(int a,int b){

int max = (a>b)?a:b;
    int result=0;
    for(int i = 1;i < max;i++){
        if(a%i == 0 && b%i == 0){
            result=i;
        }
    }
    return result;
}

这样固然是能够解出来的，可是要循环遍历其中较大的正整数，若是两个数量都很是大的话，效率是很是低的，每当遇到效率低下的程序，咱们必然会想到优化，算法优化老是很靠谱的一种方法。下面就列出几种添加算法的方法来解决最大公约数的问题。

解法一： 展转相除法，假设求正整数 num1,num2 的最大公约数，假设f(x,y)为二者的最大公约数,取 k = x / y (取整)，b = x % y (取余)；则 x = k y + b ;那么能同时被x ，y整除的数必然也同时能被 b , y 整除，能被b ， y整除的数也能同时被x，y整除，也就是说，x，y的最大公约数就是b，y的最大公约数，则有 f (x , y) = f(y , x%y) (x>=y>0),这样递归运算，好比 f(42,30) = f(30,12) = f(12 , 6) = f(6,0) = 6; 这样将运算次数直接下降了不少。下面附上代码： private static int gcd(int x, int y) { int result = ((y == 0) ? x : gcd(y, x % y)); return result; }

解法二： 解法一虽然很好的解决了求公约数的问题，可是算法中包含有除法，在计算机中除法的开销是很大的，能不能不用除法呢。能够这样考虑，一个数能被x , y整出，必然也能被x-y，y整出，也就是一个数被x，y整出是这个数被x-y，y整出的充分必要条件。那么f(x, y) = f(x-y , y);这样计算的话，就能够把大整数之间的取模运算转换为大整数之间的减法运算。因为f（x，y）= f（y，x），为了不求出一个正数和一个负数的最大公约数，要灵活运用f（x，y）= f（y，x）,迭代进行，直到一方为0；好比： f(42,30) = f(30,12) = f(18 , 12)= f(12 , 6) = f(6,6)= f(6 , 0) = 6;这样运算跟上面的方法比起来，优化了大数据取模的问题，可是运算次数会增大，代码以下： private static int gcd(int x, int y) { if (y == 0) { return x; } if (x < y) { return gcd(y, x); } else { return gcd(x - y, y); } }

解法三： 解法一的不足之处在于复杂的大数据除法运算，解法二虽然干掉了大数据的除法运算，可是增长了操做次数。两种方法都不是很是的完美，那么咱们就用第三种方法来解决，第三种方法使用的二进制方案，估计不少同窗看到01100100就要放弃了，千万不要，其实这东西不难。 对于x，y来讲，有x=k * x1,y = k * y1 ,则f(x ,y) = f(k * x1,k * y1) = k * f(x1 ,y1);此为一。 另外，若是 x = p * x1,且p为素数，y%p != 0,则f（x ，y）= f(p * x1, y) = f(x1 ,y);此为二。

由一和二两个公式，咱们能够计算公约数了： 设p=2： 假设x，y都是偶数：f（x，y）= 2f(x>>1,y>>1); 假设x是偶数，y是奇数：f(x,y) = f(x>>1,y); 假设x是奇数，y是偶数：f(x,y) = f(x,y>>1); 假设x，y都是奇数：f(x,y) = f(y,x-y);---这是根据解法二中推出来的 下面还以42 和 30 为例： f(42,30) = f(101010,11110) = 2f(10101,1111) = 2f(1111,110)=2 * f(1111,11) = 2 f (1100,11) = 2f(110,11)=2 f(11,11) = 2* f(0,11) = 2* 3=6 括号中均为二进制表达，这样最坏的状况下，复杂度也就是log 2(max(x,y));----2是底数，尼玛，这格式弄不出来。

下面附上代码： private static int gcd(int x, int y) { if (x < y) { return gcd(y, x); } if (y == 0) { return x; } if (isEven(x)) { if (isEven(y)) { // x，y都为偶数，f(x,y)=2f(x/2,y/2) return gcd(x >> 1, y >> 1) << 1; } else { // x偶数,y奇数，f(x,y)=f(x/2,y) return gcd(x >> 1, y); } } else { if (isEven(y)) { // x奇数，y偶数，f(x,y)=2f(x,y/2) return gcd(x, y >> 1); } else { // x，y都为奇数，f(x,y)=f(x-y,y) return gcd(x - y, y); } } }

public static boolean isEven(int x) {
    return (x % 2 == 0) ? true : false;
}

之前根本没有想过这么些玩意，第一次看算法，顿时感受高大上啊，不过的确，看到这样解决之前经常使用来解决的公约数问题，的确眼前一亮啊，但愿你们多多给意见哦~