0.1 + 0.2 !== 0.3

时间 2019-11-30

标签 0.1 0.2 0.3 繁體版

原文原文链接

有一道很常见的面试题面试

0.1 + 0.2 === 0.3 // true ? false
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你们应该都知道是 false，可是为毛不相等呢？下面我将从 浮点数表示 及 浮点数精度 两个方面来解释算法

Javascript 浮点数表示

Javascript 中不存在整型和浮点型之分，只有一个类型 Number，它遵循 IEEE 二进制浮点数算术标准（IEEE754）,使用 64 位 双精度浮点数（double） 存储。bash

双精度存储是知道了，那双精度浮点数是如何存储数据呢？主要有如下几个关键点spa

1. 双精度浮点数使用 64 位存储设计

sign（S）：符号位，长度为 1，0 表明数字为正，1 表明数字为负
exponent（E）：指数位，长度为 11，二进制科学计数法的指数位
mantissa（M）：尾数位，长度为 52 ，二进制科学计算法的尾数位

数值的计算公式为（二进制）：code

2. 使用二进制科学计数法cdn

举个栗子：
$0.5_{10}$ 转换为二进制表示
转换为二进制科学计数法 $1*2^{-1}$ blog

3. 指数位表示有符号整数接口

由于指数位数值为无符号整数，范围为[0, 2047]，在规格化值中取 [1, 2046]。但指数位须要表示的是有符号整数，则[1, 1022] 表示为负数[-1022, -1]，1023 表示为 0，[1024, 2046]表示为正数[1, 1023]，因此整个指数位表示的范围是[-1022, 1023]ip

由上可推导出公式：

E：指数位表示的数值
e：指数位实际存储的数值

举个栗子：
$0.5_{10}$ 表示为二进制科学计数法 $1*2^{-1}$ ，该数 E = -1，e = 1022

tips: 下面会讲什么是规格化值，和其余的值

4. 尾数不表示二进制科学计算的整数部分，即不表示 1

因为规格化的数整数位都是 1，因此在存储时能够节约空间，不表示整数位，从小数位开始表示。因此尾数位其实最大能表示 53 位

由上可推导出公式：

M：位数位表示的数值
f：位数位实际存储的数值

举个栗子：
二进制科学计数法 $1*2^{-1}$ ，该数 M=1，则实际存储 f=0，

由上可将数值计算公式推导为

非规格化值和特殊值

那么问题来了，若是按公式，那么如何表示 0 呢？，即便你设 f = 0，e=任意值，按照公式算出，value 不可能为 0。固然第一个公式没有问题，问题出在公式的推导，由于推导出的公式只符合规格化数值，下面介绍下规格化数值和其余数值

规格化数值：e 不全为 0，也不全为 1，f 为任意值
非规格化数值：e 所有为 0，f 为任意值。非规格化数值主要用于表示 0，以及接近 0 的数。此时公式为
无穷大：e 所有为 1，f 为 0
NaN：e 所有为 1，f 不为 0

因此：当 e = 0 时，f = 0 时，表示数值 0

解释 0.1 + 0.2 !== 0.3

到这里，咱们已经能够解释 0.1 + 0.2 为何不等于 0.3 咯

$0.1_{10}$ 表示为二进制为：
转换为二进制科学计数法为： $1.1001100...1100...1100...*2^{-4}$
计算得：S = 0，E = -4，M = 1.1001100...1100...1100...，则 S = 0，e = 1029，f = 1001100...1100...11010
将截断（舍入）后的数值从新表示为二进制，则 0.1 最终的二进制数值为： 0.00011...0011...001101

同理，表示出 0.2，0.3 的二进制数值

0.1：0.0001100110011001100110011001100110011001100110011001101
0.2：0.001100110011001100110011001100110011001100110011001101
0.3：0.010011001100110011001100110011001100110011001100110011

0.1 + 0.2 和为: // 下面会详情介绍该步骤
     0.0100110011001100110011001100110011001100110011001101
将和与0.3对比，发现并不相等，中间差值为:
     0.000000000000000000000000000000000000000000000000000001
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从结果值来看，中间差值已经很小很小了，已经能够忽略了不计了。事实上在 ES6 Number 扩展中，增长 Number.EPSILON 属性，表示 1 与大于 1 的最小浮点值差，值为 $2^{-52}$ ，当值小于 Number.EPSILON 时，通常可忽略不计

浮点数精度

舍入

尾数位只能存储 52 位，可是在 0~1 之间的实数是无穷尽的，这些无穷的数该如何表示呢？既然彻底表示不可能完成，那么只有舍弃掉某些数值，来找出最近的浮点数匹配。那么到底采用哪一种舍入方法呢？下面介绍经常使用的舍入方法

向偶数舍入：也称为向最接近值舍入
向零舍入：舍弃末尾位之外的数值，能够按照 Math.trunc 理解
向正无穷舍入：向较大的数舍入，能够按照 Math.ceil 理解
向负无穷舍入：向较小的数舍入，能够按照 Math.floor 理解

IEEE754 采用的是 向偶数舍入，原则是保证损失精度最小，下面简单介绍一下舍入规则

对于恰巧中间值的状况，若是保留位数最后一位是偶数则舍弃后续数值，奇数则进位。例如保留 1/2 为，保留 1/2 为
对于向上的值较近，则进位。如保留 1/2 为
对于向下的值较近，则舍弃。如保留 1/2 为

举个栗子：

0.1 => 0.0001100110011001100110011001100110011001100110011001100 | 110011...
// 因为须要保留的最后一位数后为 110011...，舍入时离向上的值较近，应该进位，因此
0.1 => 0.0001100110011001100110011001100110011001100110011001101
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"|" 表示在该处须要舍入

tips：若是你实在没法判断如何舍入，有个简单的办法。先向下舍入，与原数相减；再向上舍入，与原数相减，将两个差值比较，取差值绝对值较小的那个数；若是差值相等，则取末尾为偶数的那个数

计算

为了进一步保证精度，IEEE754 标准，双精度在中间计算时，额外保留三位，分别是 保护位、舍入位、粘贴位

保护位：精度最低位右侧一位（双精度能够理解为尾数的第 53 位）
舍入位：保护位右侧一位
粘贴位：舍入位右侧一位，表明舍入位右侧是否还有数据，若是右侧还有数据，则粘贴位为 1，不然为 0，目的是为了支持目标数值向最近的偶数舍入

在浮点数计算时，经过额外保存三位，来增长计算的正确性，找到浮点数最接近的匹配。

模拟 0.1 + 0.2 计算

讲了那么多，最后仍是简单写一下 0.1 + 0.2 的二进制计算过程。

0.1：S = 0，E = -4，M = 1.1001100110011001100110011001100110011001100110011010
0.2：S = 0，E = -3，M = 1.1001100110011001100110011001100110011001100110011010

// 对阶 小阶对大阶
0.1：S = 0，E = -3，M = 0.11001100110011001100110011001100110011001100110011010
0.2：S = 0，E = -3，M = 1.1001100110011001100110011001100110011001100110011010

// 将 M 值相加
和为：10.01100110011001100110011001100110011001100110011001110

计算出的0.3：S = 0，E = -3，M = 10.01100110011001100110011001100110011001100110011001110

// 规格化
计算出的0.3：S = 0，E = -2，M = 1.0011001100110011001100110011001100110011001100110011 | 10

// 计算时，右边多保留两位，此处保护位 = 1，舍入位 = 0，粘贴位 = 0
// 舍入后
计算出的0.3：S = 0，E = -2，M = 1.0011001100110011001100110011001100110011001100110100
浮点数的0.3：S = 0，E = -2，M = 1.0011001100110011001100110011001100110011001100110011

// 转换10进制
计算出的0.3 = 0.30000000000000004
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"|" 表示应该截断，后续数值即为保护位，舍入位，粘贴位

参考

《深刻理解计算机系统》第二章节
《计算机组成与设计软件/硬件接口》第三章节
维基百科 IEEE 754