剑指 Offer 10- I. 斐波那契数列

剑指 Offer 10- I. 斐波那契数列

写一个函数，输入 n ，求斐波那契（Fibonacci）数列的第 n 项（即 F(N)）。斐波那契数列的定义以下：

F(0) = 0,   F(1) = 1
F(N) = F(N - 1) + F(N - 2), 其中 N > 1.

斐波那契数列由 0 和 1 开始，以后的斐波那契数就是由以前的两数相加而得出。

答案须要取模 1e9+7（1000000007），如计算初始结果为：1000000008，请返回 1。

示例 1：

输入：n = 2
输出：1

示例 2：

输入：n = 5
输出：5

思路

golang

//当递归的栈数过多，重复计算的子过程过长，产生超时
func fib(n int) int {
    if n==0 {
        return 0
    }
    if n==1 {
        return 1
    }

    return ((fib(n-1)+fib(n-2))%1000000007)
}

采用动态规划的方法:
动态规划三部曲：
1.初始状态：dp[0]=0，dp[1]=1，其中dp[i]表示斐波那契数列的第i个数
2.状态转移方程：dp[n]=dp[n-1]+dp[n-2]，即对应的f(n)=f(n-1)+f(n-2)
3.返回值：dp[n]，对应第n个斐波那契数列的值

func fib(n int) int{
    if n == 0 || n == 1{
        return n
    }
    dp := make([]int,n+1) 
    dp[0],dp[1] = 0,1 //初始状态
    for i:=2;i<=n;i++{
        dp[i] = (dp[i-1]+dp[i-2])%1000000007  //状态转移方程
    }
    return dp[n] //返回值
}

空间优化：由于斐波那契数列主要就是三个数，f(n)，f(n-1)和f(n-2)，而上面的动态规划采用了一个数组存储斐波那契数列，空间复杂度为O(n)，这里采用三个变量sum,a,b分别表示f(n)，f(n-1)和f(n-2)，将空间复杂度下降到O(1)

func fib(n int) int {
	a, b, sum := 0, 1, 0
	for i := 0; i < n; i++ {
		sum = (a + b) % 1000000007
		a, b = b, sum
	}
	return a
}

js

/**
 * @param {number} n
 * @return {number}
 */
var fib = function(n) {
    let a=0,b=1,sum=0;
    for(let i=0;i<n;i++){
        sum = (a+b)%1000000007;
        [a,b] = [b,sum];
    }
    return a;
};