从2-3树理解红黑树

提及红黑树就头痛，在大学时就没搞懂，看的晕晕乎乎，理解不了。直到前几天在极客时间的《数据结构与算法之美》专栏中的《26 | 红黑树（下）：掌握这些技巧，你也能够实现一个红黑树 》，再次看到讲解红黑树插入删除如何保持平衡，很惋惜，仍是没看明白。但在留言区看到小伙伴推荐的红黑树是2-3树的变形，以2-3树的角度去理解红黑树就容易多了。因而，就跑去看了2-3树相关的文章，发现理解起来是要简单些。

2-3树定义

通常咱们接触最多的是二叉树，也就是一个父节点最多有两个子节点。2-3树的意思就是说，一个父节点能够有两个子节点，也能够有三个子节点，而且其也知足相似二叉搜索树的定义（父节点的值大于左子树，但小于右子树），全部叶子节点都在同一层。

2节点：父节点存储一个值，最多有左右两个子树。假设父节点为p，子节点为l(左节点)、r(有节点)，且知足：

l < p < r
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如图所示：

3节点：父节点存储两个值，最多有左中右三个子树。假设父节点分别为p1,p2，子节点分别为l(左节点)、m(中间节点)、r(右节点)，且知足：

l < p1
p1 < m < p2
r > p2
复制代码

如图所示：

2-3树的查找

跟BST的查找相似：

从根节点开始比较，若相等，则结束。若是小于根节点，则说明它应该在左边，选定左节点进行比较；若是大于根节点，则说明在右边，选定右节点进行比较，如不相等，则继续循环。如到最后访问到空节点，则说明没找到。

只不过对于3节点的状况，就须要判断左中右子树，原理同样。

下面以这颗树举例说明，要查找的值存在和不存在的状况。

值存在

查找5。

1. 对比根节点10。因为5<10，查找左子树。
2. 因为4<5<7，因此须要找中间的子树。
3. 节点值=5，查找结束。

值不存在

查找24。

1. 对比根节点。因为24>10，查找右子树。
2. 24>20，继续查找右子树。
3. 24>22，查找右子树。
4. 节点为空，查找结束，未找到。

节点分裂与合并

在将插入以前，先介绍一下节点分裂与合并。

2-3树只能存在2节点和3节点，因为插入的时候会引入4节点，因此咱们须要将其分裂。

节点分裂

好比单个4节点，只需将中间节点往上提，左边值做为其左子树，右边值做为其右子树便可。

节点合并

好比有父节点的4节点，节点分裂后，需与父节点进行合并。若合并后父节点仍是4节点，则继续分裂，直至知足定义为止。下图中6与3合并后，知足条件，无需再进行操做。

2-3树的插入

插入一个节点后，也要知足2-3树的定义。咱们须要找到一个适合的位置来插入新的值，可是和二叉树不一样的是，它不会生成新的叶子节点来存储，而是找到合适的叶子节点来进行合并。

可是注意，插入的原则是尽可能保持树的高度，也就是尽可能不要增长树的高度。由于树的高度越小，查找效率会更高。

下面分几种状况来讲明不一样的处理状况。其关键字是往上分裂，从下往上生长。

空树

生成新节点，则其为根节点。

待插入节点为2节点

若是不能直接放到空的子节点，则放到父节点中，此时成为3节点，仍然知足定义。好比咱们在这棵树中插入12。

1. 首先找到待插入节点9。

   

2. 节点9为2节点，可直接插入。

待插入节点为3节点

这种状况下，稍微会复杂一些，由于涉及到分裂，且跟待插入节点的父节点有关。假定待插入节点为p，待插入节点的父节点为pp。

将节点强插到p中，此时p中会有三个值，咱们暂且称之为4节点。4节点是不知足2-3树的定义的，所以须要将4节点中的某个节点往上抽离，与pp进行合并。这时须要考虑pp的类型了。

1. 若pp为二节点

   将分裂的节点放到pp中，则pp成为3节点，知足定义。好比咱们在这棵树中插入13。

1. 找到待插入叶子节点[9,12]

2. 插入13，变成4节点

3. 进行分裂，合并到父节点，插入完成

   

2. 若pp为三节点

   将分裂的节点放到pp中，则pp成为了4节点，不知足定义，那么4-节点须要提出一个值，并向上合并，这时须要从新设置新旧节点的关系。往上合并的过程就是继续套用这几种状况。好的状况是往上的过程当中遇到了2节点，且平衡，则结束；坏的状况是一直到根节点，而且根节点是3树，那么只好继续往上分裂出新的根节点，而后处理新节点与其余节点的关系，此时树高增长了1。

好比在这颗树中插入18。

1. 插入18，找到叶子节点插入，成为4节点

2）向上分裂，将18插入父节点，变成4节点，需继续分裂

3）根节点成为3节点，插入结束

以上的插入，树的高度都没有变化。下面说一种树的高度会+1的状况。

好比在这棵树中插入32。

1. 找到待插入的节点直接插入32

2. 分裂节点，此时父节点变成4节点，还需分裂

3. 此时根节点为4节点，需分裂

4. 生成新的根节点，树的高度加1

2-3树的删除

删除的状况会复杂一些，下面分几种状况来讲。

待删除的值在叶子节点

叶子节点为3节点

直接删除便可。以下图12可直接删除。

删除后，3节点成2节点。

叶子节点为2节点

这里须要区分临近兄弟节点的类型。先将节点删除。

1. 兄弟节点为3节点 此时被删除后，节点会为空。经过向兄弟节点借一个最近的键值，而后再调整该节点与父节点的值。

好比在这颗树中删除7。

1. 向兄弟节点借最近节点，此时大小关系不知足

2. 调整大小，8，9交换，知足定义

2. 兄弟节点为2节点，这时须要判断父节点类型

   a. 父节点为3节点 此时兄弟节点不够借，父节点降元，从3节点变成2节点，与兄弟节点合并。

好比从这棵树中删除36。

30与18合并，3节点变成2节点，删除完成

b. 父节点为2节点 将父节点和兄弟节点合并，造成新的节点，这是把新节点当作当前节点，不断套用上述几种状况进行调整，直至平衡。这种状况下，若根节点是2节点，树的高度会减1。

例1 从这颗树中删除12

1. 兄弟节点和父节点都为2节点，进行合并。此时新节点为[8,9]。

2. 当前节点([8,9])的父节点和兄弟节点都为2节点，还需进行合并（即节点2,5合并）合并完成以下图。

   

例2 从这棵树中删除30

1. 节点30的父节点和兄弟节点为2节点，进行合并，此时[22,25]为新节点。

   

2. 把[22,25]看做当前节点，因为其兄弟节点为2节点，父节点为3节点，套用2.a中的状况，父节点降元，调整完成。

   

待删除的值在父节点

将该节点与其前驱或后继节点交换，而后删除交换后的叶子节点，此时转换成上一种状况的处理。

使用中序遍历的顺序，前驱就是指其前一个节点，后继是指其后面的一个节点。最直接的定位以下：

• 前驱节点：该节点左子树最右节点
• 后继节点：该节点右子树最左节点

好比下图，5的前驱是3，后继是7。

那为何要用前驱/后继节点交换呢？

由于，用前驱/后继节点交换后，才能保持大小顺序。后继节点是右子树中最小的节点，与父节点交换后，排除待删除的叶节点，仍保持左子树<新父节点<右子树的关系。同理，前驱节点是左子树中最大的节点，交换后，仍能保持。

这里咱们使用后继节点来进行替换。

从这颗树中删除节点5。

因为5的后继节点是7，先将值进行交换。这时候目的就是删除叶子节点5，因而能够转换成其父节点和兄弟节点都为2节点的状况进行调整。

红黑树定义

红黑树也是一种二叉平衡树，它知足以下几个特性（根据算法中的定义）：

1. 根节点是黑色的。
2. 红连接均为左连接。
3. 从任一节点到其可达叶子节点，通过的黑色节点数量同样（黑平衡）。
4. 没有任何一个节点同时与两个红连接相连。

这个定义可能跟咱们日常看到的不太同样，因为是以2-3树来理解红黑树，定义红链在左边，这样才能跟2-3树彻底对应上。

红黑树与AVL

AVL是一种极度平衡的二叉树，那为何不用AVL呢？由于AVL插入删除要保持平衡，相比红黑树要慢一些，须要左旋右旋等等。但实际上它的旋转也只是几个场景的套用，哪些场景须要怎么旋转，理解就好了。

而红黑树是近似平衡的（黑平衡），也就是说它不像AVL那样绝对的平衡，因此添加/删除节点后的平衡操做没那么多。

因此对于插入和删除操做较多的场景，用红黑树效率会高一些。

将2-3树转换成红黑树

主要思想：3节点分裂成2节点。

将3节点的第一个元素，做为第二个元素的左节点，并用红色的线链接，此时红色线链接的节点就至关于红色。

将2-3树按照以上思想转换后，就获得了一颗红黑树。用这种方式理解是否是简单多了呢？

同时也有几个问题值得咱们思考：

1. 为何红链规定在左边呢？

   我以为是前人的一个约定，为了保持统一，简化处理，都放在左边。那都放右边是否是也能够呢？

2. 没有任何一个节点同时与两个红连接相连

   由于一个红链表示一个3节点，若是有2个红链相连，则表示为4节点，不符合2-3树定义。

3. 根节点为黑色

   只有3节点的左链才为红色。根节点没有父节点，不可能为红色。

4. 根节点到叶子节点通过的黑色节点数目相同

   由于2-3树是完美平衡的。红黑树中通过的黑节点数=其层数。

红黑树的应用

1. 散列表的冲突处理

   map的实现，底层通常会采用红黑树，在节点多的时候效率高。 在节点少的时候，可用链表方式。

2. 动态插入、删除和查询较多的场景