可持久化线段树

可持久化线段树

什么是可持久化线段树？

即主席树，能够维护区间的第k大，据说能够维护动态区间第k大，也能够维护静态区间第k大，可是我太菜了！只会静态区间第k大。

为何要叫主席树？据说是某个大佬发明的，只是由于他不懂划分树，而后就发明了这种树，由于跟某主席同名，因此被叫作了主席树，ORZ。

其实，我以为可持久化线段树的原理跟前缀和的思想是差很少的，前缀和就是一个状态一个状态的进行保留，那么若是线段树的每一个状态都获得了保留，那么咱们是能够举出任何两个状态之间的线段树，就能够搞定区间第k大的询问了！

那么咱们要先了解一个东西，好比单棵线段树如何求区间第k大？每一个底层节点表明1，2，3，4，……..，表明第一小，第二小，第三小 ………..，其中节点的sum值表明这个值的出现次数，那么咱们只要从根节点出发，判断左节点的sum 是否小于 k，若是是小于的话，那么第k大确定在右节点里面，若是是大于的话那么第k大确定是在右节点里面，只要往右边跑就对了，只时候k = k - 右子树的sum，再往下跑，直到找到符合的节点，即第k小。

讲完了这个东西，那咱们应该来看一个东西，即如何将单棵线段树，合并起来，你可能会说单棵线段树，一棵一棵保留起来，这样就能够了。。。。。可是咱们要先考虑一下，这样去建可持久化线段树确定是会MLE的。因此咱们要考虑一下如何优化空间使得线段树能够放得下，其实咱们能够发现每次线段树的更新，只会更新一条路，那么咱们只要把这条路保留起来就能够了，就是把这个状态保留起来就OK了。其余的不更新的树，链接到原来的前一棵树就OK了。

如图：

 

那么咱们要如何进行查询操做呢？

咱们只要将两棵线段树的状态进行相减就能够获得一个符合的状态的线段树，

就变成了单棵线段树进行查询第k大！

附上代码 例题poj 2104

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;
vector<int>vec;
const int MAXN = 100005;
int arr[MAXN];
int root[MAXN];///该数组储存根节点的位置
typedef struct NODE
{
    int l, r, sum;
    /**
     如今的l r 已经再也不是单纯的rt << 1 , rt << 1 | 1
     而是指向，指向节点
     **/
}node;
node segtree[MAXN * 20];
int gets(int x)
{
    return lower_bound(vec.begin(), vec.end(), x) - vec.begin() + 1;
}
int tot;
int build(int l, int r)///return p p的值是点的坐标
{
    int p = ++tot;
    segtree[p].sum = 0;
    if(l == r)
    {
        /**
         一层一层的返回就对了。。。。。。
         返回这个节点的坐标就对了。。。。。
         而后才能实现 l r 的指向
         **/
        return p;///返回指向
    }
    int mid = (l + r) >> 1;
    segtree[p].l = build(l, mid);
    segtree[p].r = build(mid + 1, r);
    return p;
}
int update(int now, int l, int r, int pos, int val)
/**
 now - 当前节点 pos - 指要更新的点 val - 权值
 每次更新，都会建立一条链，因此得更新tot
 **/
{
    int p = ++ tot;
    segtree[p] = segtree[now];///这样会将上一个的点
    ///的值赋值给当前的点，这样不须要修改的那棵子树的链接
    ///这样每次多生成的一颗线段树，只要多一条链，因此节省了空间
    if(l == r)
    {
        segtree[p].sum += val;///若是每次更新到底的话，那么就更新底的值
        return p;
    }
    int mid = (l + r) >> 1;
    if(pos <= mid)///若是增长的点 < mid 那么确定能够往左子树移动
    {
        segtree[p].l = update(segtree[p].l, l, mid, pos, val);
    }
    else///不然向右子树移动
    {
        segtree[p].r = update(segtree[p].r, mid + 1, r, pos, val);
    }
    segtree[p].sum = segtree[segtree[p].l].sum + segtree[segtree[p].r].sum;
    return p;
}
int query(int p, int q, int l, int r, int k)
{
    if(l == r)
        return l;///查询到底就输出
    int mid = (l + r) >> 1;
    int cnt = segtree[segtree[p].l].sum - segtree[segtree[q].l].sum;
    ///将两棵树相减，可得要的状态
    if(k <= cnt)///k 即为第k小，那么就是查询第k小，判断个数再进行移动
    {
        return query(segtree[p].l, segtree[q].l, l, mid, k);
    }
    else
    {
        return query(segtree[p].r, segtree[q].r, mid + 1, r, k - cnt);
    }
}
int main()
{
    int n,q;
    while(~scanf("%d%d",&n,&q))
    {
        memset(arr, 0, sizeof(arr));
        vec.clear();
        tot = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i ++) {
            scanf("%d",&arr[i]);
            vec.push_back(arr[i]);
        }
        sort(vec.begin(), vec.end());
        vec.erase(unique(vec.begin(),vec.end()),vec.end());
        ///排序去重，离散处理
        root[0] = build(1, n);
        ///printf("tot = %d\n",tot);
        ///先建树
        for (int i = 1; i <= n; i ++) {
            root[i] = update(root[i - 1], 1, n, gets(arr[i]), 1);
        }
        int a, b, c;
        for (int i = 0; i < q; i ++) {
            scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
            int re = query(root[b], root[a - 1], 1, n, c);
            //printf("re = %d\n",re);
            printf("%d\n",vec[re - 1]);
        }
    }
    return 0;
}