扩展欧几里德算法

提到扩展欧几里德算法，先简要介绍下欧几里德算法，又称展转相除法，用于计算两个整数a和b的最大公约数（Greatest Common Divisor(GCD)）。

为证实gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)，只需证实
　　(1)gcd(a,b) | gcd(b,a mod b)
　　　　设d=gcd(a,b) 则d|a且d|b
　　　　a mod b=a-qb (设q=[a/b])
　　　　由d|ax+by 则d|a mod b
　　　　因此d| gcd(b,a mod b)
　　(2)gcd(b,a mod b) | gcd(a,b)
　　　　设d=gcd(b,a mod b)
　　　　则d|b且d|a mod b
　　　　a=qb+(a mod b) (q=[a/b])
　　　　得d|a
　　因此d|gcd(a mod b)

求解a和b的最大公约数中，a能够表示为kb+r，则r =a mod b，假设d是a和b的一个公约数，则有d|a，d|b，r = a - kb,所以d|r（由于d是a的约数，又是b的约数，因此也是他们的多项式的约数）,因此d是(b,a mod b)的公约数。因此在这不断代换中，a 必然＞ｂ，每次将ａ换成ｂ，ｂ换成ａmod b, a ,b 不断减少。直到b为0时，此时a为他们的最大公约数。

1 int euclid(int a,int b)   
2 {   
3       if (b==0)
4           return a;   
5       else  
6           return euclid(b,a%b);   
7 } 

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而扩展欧几里德算法是用来求解已知a，b，求一组x，y使得a * x + b * y =Gcd(a,b)(这个解必定存在，数论定理)

由于Gcd(a,b)=Gcd(b,a%b),因此a * x + b * y = Gcd(a,b) = Gcd(b,a%b)。得b * x + (a%b)*y = b * x + (a - a/b*b)*y,这里的((a - a/b*b)*y)不可贵出，以前是a%b。如今我想获得这个数，怎么来呢。首先a/b，获得一个整数，在a！=b的状况下，这个整数再乘以b以后是不等于a的。因此余数就是这里的差值。即a - a/b*b。若是a==b，那么Gcd==a==b。继续，b * x + (a%b)*y = b * x + (a - a/b*b)*y。展开得b*x + a*y - a/b*b*y，合并得a*y + b*(x-a/b*y).这样，由于a，b都在减少，当b=0时，能够得出x=1,y=0，此时递归回去能够求出x，y。

 1 int extended_gcd(int a, int b, int &x, int &y) 
 2 {
 3     int ret, tmp; 
 4     if (!b) 
 5     {
 6         x = 1;
 7         y = 0;
 8         return a;  
 9     } 
10         ret = extended_gcd(b, a % b,x, y); 
11     tmp = x;
12     x = y; 
13     y = tmp - a / b * y;
14     return ret; 
15 } 
16     

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 对于方程a * x + b * y=c，该方程等价于a*c ≡ c(mod b);有整数解的充要条件是 c % gcd(a,b)==0。(定理)

因此方程 a*x+b*y=n；咱们能够先用扩展欧几里德算法求出一组x0,y0。即 a * x0 + b * y0 = Gcd(a,b)；

而后两边同时除以Gcd(a,b) ，再乘以n。这样就获得了方程   ：a * x0 * n / Gcd(a,b) + b * y0 * n / Gcd(a,b) =n；从而求出一个解

经过扩展欧几里德求的是ax + by = Gcd(a, b)的解，令解为(x0, y0)，代入原方程，得：ax0 + by0 = Gcd(a, b)，
若是要求ax + by = c = Gcd(a, b)*c'，能够将上式代入，得：                                                        
ax + by = c = (ax0 + by0)c'，则x = x0c', y = y0c'， c' = c / Gcd(a,b)
这里的(x, y)只是这个方程的其中一组解，x的通解为 { x0c' + k*b/Gcd(a, b) | k为任意整数 }，y的通解能够经过x通解的代入得出

若gcd(a,b)=1，即a、b互质，且x0,y0为a*x+b*y=n的一组解，则该方程的任一解可表示为：x=x0+b*t，y=y0-a*t；且对任一整数t，皆成立。
这样咱们就能够求出方程的全部解了，但实际问题中，咱们每每被要求去求最小整数解，因此咱们就能够将一个特解x。令t=b/gcd(a,b)=1，特解x=(x%t+t)%t；

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青蛙的约会   、 C Looooops   、The Balance  、Business Center  、 Comfort