经营类游戏：由轴对齐矩形相交断定到断定菱形构成的平行四边形相交断定（一）

普通多边形之间的相交测试是个复杂的问题，咱们只考虑 轴对齐的 菱形问题即菱形的对角线和坐标轴平行的相交问题。

和坐标轴平行的矩形的相交问题：

矩形A B由左上角定点和右下角定点描述， x轴正方向右， y正方向 向下。

             图1

设：A的左上定点 x0y0, 右下 x1 y1    B 左上 x2 y2  右下 x3 y3

二维问题通常降维度处理：

有 若是两个矩形 在 x轴y轴投影都相交， 则两个矩形相交

即： x0 < x3  &&  x2 < x1 && y0 < y3 && y2 < y1

由于两个坐标轴上的相交区域惟一肯定一个 矩形

具体的矩形 范围受 坐标的实际大小关系肯定

如今咱们须要考虑菱形的问题：

菱形的轴是倾斜的， 那么如何求轴上的投影范围， 来进行相交测试呢？

                            图2

好吧，这样计算的确有些困难， 咱们参见图1， 能够有个思路， 首先肯定一个菱形的包围盒， 任意一个菱形都有惟一的轴对称包围盒。

设一个菱形的坐标轴x方向宽度 2* sizeX,  坐标轴y方向  2* sizeY

考虑：如下三种状况

咱们须要求得这些菱形组合的包围盒的大小：

设从左上到右下的为菱形的 轴x方向， 从 右上到坐下 为 菱形轴y方向, sx 为x向 菱形的个数， sy 为y方向个数

状况1：

除了第一个菱形块以外， 其它菱形块每增长一个宽度增长一个sizeX 高度增长 一个 sizeY

宽度 = (2+sy-1)*sizeX (sizeX是单个菱形宽度的一半)  

高度=(2+sy-1)*sizeY (sizeY 是单个菱形高度的一半)

状况2：(最下面的那个)

宽度 = (2+sx-1)*sizeX

高度=(2+sx-1) *sizeY

最后的复杂状况：

先考虑 沿x 方向的 值， 再加上 y方向的值

宽度 = (2+sx-1 + sy-1)*sizeX

高度 = (2+sx-1 + sy-1)*sizeY

实际上简化以后：

宽度 = (sx+sy)*sizeX

高度 = (sx+sy)*sizeY

这些拼接图形的中点 ， 就是他们 包围盒的中点？

能够作上辅助线。 咱们根据平线线的分割原理就能够证实

下一个问题是求得这个拼接图形的四个定点的位置； 首先咱们须要假定 坐标轴的 0，0点在包围盒的左上角， x向右 ，y向下

上图就是四个顶点的所在位置的值。

最后如何断定相交？

考虑倾斜的轴构成的坐标系：

求一个点在这两个轴上的投影长度 ， 能够采用内积：

x轴向： (sizeX, sizeY)

y轴向：(-sizeX, sizeY)

t1 = (x, y) *(sizeX, sizeY)/ ( |(x, y)|)

t2 = (x, y)*(-sizeX,  sizeY) /|(x, y)|

因此向判断 矩形同样判断 t1 t2的范围就能够了

下面是pyhon代码：

import math
sizeX = 135/4
sizeY = 67/4

#菱形拼图的x y 长度 和 中心位置
ab = sx1, sy1, x1, y1 = 2, 2, 0, 0
bb = sx2, sy2, x2, y2 = 2, 2, -40, 20

#求得一个拼图的左上角点和右下角点
def getBoundary(arg):
    sx, sy, x, y = arg
    x0 = x - (sx+sy)/2*sizeX
    y0 = y - (sx+sy)/2*sizeY
    x1 = x0 + sy*sizeX
    y1 = y0
    x2 = x0 + sx*sizeX
    y2 = y0 + (sx+sy)*sizeY
    print [x0, y0, x1, y1, x2, y2, sizeX, sizeY]
    return [x1, y1, x2, y2]

#求得一个点在x方向的投影
def getT1(x, y):
    if x == 0 and y == 0:
        return 0
    return (x*sizeX+y*-sizeY)/math.sqrt(x*x+y*y)/math.sqrt(sizeX*sizeX+sizeY*sizeY)
#求得一个点在y方向的投影
def getT2(x, y):
    if x == 0 and y == 0:
        return 0
    return (x*-sizeX+y*-sizeY)/math.sqrt(x*x+y*y)/math.sqrt(sizeX*sizeX+sizeY*sizeY)
def getABound(a):
    a = getBoundary(a)
    t1 = getT1(a[0], a[1])
    t2 = getT2(a[0], a[1])
    t11 = getT1(a[2], a[3])
    t22 = getT2(a[2], a[3])
    print [a, t1, t2, t11, t22]
    return [t1, t2, t11, t22]
def main():
    aBound = getABound(ab)
    bBound = getABound(bb)
    print aBound
    print bBound
main()

错了：

不能经过 求内积来求 点在菱形边上的投影， 只有当菱形的边互相垂直的时候才成立；

这是由于 非直角 不是 普通的几何。

那么该怎么办呢？ 如何计算相交？

这个我 再想一想

若是咱们约束 全部的菱形拼图都是 n*n的话， 存在一种解法：

能够计算两个拼图中心的 x y 差值

再根据 拼图的 边的宽度 = sx*sizeX,  sx*sizeY    

只要保证两个拼图的 x ， y 差值 不 小于 边的宽度 就能够了

拼图中心相差的 x y 方向的格子数目， abs(difx)+abs(dify) >= boundA + boundB  则不相交