神经网络中的反向传播----Back Propagation

说到神经网络，你们看到这个图应该不陌生：

 

　　这是典型的三层神经网络的基本构成，Layer L1是输入层，Layer L2是隐含层，Layer L3是隐含层，咱们如今手里有一堆数据{x1,x2,x3,...,xn},输出也是一堆数据{y1,y2,y3,...,yn},如今要他们在隐含层作某种变换，让你把数据灌进去后获得你指望的输出。若是你但愿你的输出和原始输入同样，那么就是最多见的自编码模型（Auto-Encoder）。可能有人会问，为何要输入输出都同样呢？有什么用啊？其实应用挺广的，在图像识别，文本分类等等都会用到，我会专门再写一篇Auto-Encoder的文章来讲明，包括一些变种之类的。若是你的输出和原始输入不同，那么就是很常见的人工神经网络了，至关于让原始数据经过一个映射来获得咱们想要的输出数据，也就是咱们今天要讲的话题。

　　本文直接举一个例子，带入数值演示反向传播法的过程，公式的推导等到下次写Auto-Encoder的时候再写，其实也很简单，感兴趣的同窗能够本身推导下试试：）（注：本文假设你已经懂得基本的神经网络构成，若是彻底不懂，能够参考Poll写的笔记：[Mechine Learning & Algorithm] 神经网络基础）

　　假设，你有这样一个网络层：

　　第一层是输入层，包含两个神经元i1，i2，和截距项b1；第二层是隐含层，包含两个神经元h1,h2和截距项b2，第三层是输出o1,o2，每条线上标的wi是层与层之间链接的权重，激活函数咱们默认为sigmoid函数。

　　如今对他们赋上初值，以下图：

　　其中，输入数据  i1=0.05，i2=0.10;

　　　　　输出数据 o1=0.01,o2=0.99;

　　　　　初始权重  w1=0.15,w2=0.20,w3=0.25,w4=0.30;

　　　　　　　　　  w5=0.40,w6=0.45,w7=0.50,w8=0.55

 

　　目标：给出输入数据i1,i2(0.05和0.10)，使输出尽量与原始输出o1,o2(0.01和0.99)接近。

 

　　Step 1 前向传播

　　1.输入层---->隐含层：

　　计算神经元h1的输入加权和：

神经元h1的输出o1:(此处用到激活函数为sigmoid函数)：

 

 

　　同理，可计算出神经元h2的输出o2：

　　

 

　　2.隐含层---->输出层：

　　计算输出层神经元o1和o2的值：

　　

 

这样前向传播的过程就结束了，咱们获得输出值为[0.75136079 , 0.772928465]，与实际值[0.01 , 0.99]相差还很远，如今咱们对偏差进行反向传播，更新权值，从新计算输出。

 

Step 2 反向传播

1.计算总偏差

总偏差：(square error)

可是有两个输出，因此分别计算o1和o2的偏差，总偏差为二者之和：

 

2.隐含层---->输出层的权值更新：

以权重参数w5为例，若是咱们想知道w5对总体偏差产生了多少影响，能够用总体偏差对w5求偏导求出：（链式法则）

下面的图能够更直观的看清楚偏差是怎样反向传播的：

如今咱们来分别计算每一个式子的值：

计算：

计算：

（这一步实际上就是对sigmoid函数求导，比较简单，能够本身推导一下）

 

计算：

最后三者相乘：

这样咱们就计算出总体偏差E(total)对w5的偏导值。

回过头来再看看上面的公式，咱们发现：

为了表达方便，用来表示输出层的偏差：

所以，总体偏差E(total)对w5的偏导公式能够写成：

若是输出层偏差计为负的话，也能够写成：

最后咱们来更新w5的值：

（其中，是学习速率，这里咱们取0.5）

同理，可更新w6,w7,w8:

 

3.隐含层---->隐含层的权值更新：

　方法其实与上面说的差很少，可是有个地方须要变一下，在上文计算总偏差对w5的偏导时，是从out(o1)---->net(o1)---->w5,可是在隐含层之间的权值更新时，是out(h1)---->net(h1)---->w1,而out(h1)会接受E(o1)和E(o2)两个地方传来的偏差，因此这个地方两个都要计算。

 

 

计算：

先计算：

同理，计算出：

　　　　　　　　　　

二者相加获得总值：

再计算：

再计算：

最后，三者相乘：

 为了简化公式，用sigma(h1)表示隐含层单元h1的偏差：

最后，更新w1的权值：

同理，额可更新w2,w3,w4的权值：

 

　　这样偏差反向传播法就完成了，最后咱们再把更新的权值从新计算，不停地迭代，在这个例子中第一次迭代以后，总偏差E(total)由0.298371109降低至0.291027924。迭代10000次后，总偏差为0.000035085，输出为[0.015912196,0.984065734](原输入为[0.01,0.99]),证实效果仍是不错的。