PAL算法原理及代码实现

博主发现以前写的博客都是偏程序方面，而较少涉及数学或算法方面的东西，其实不管什么软件工具，最终都是为了更好地给理论铺路搭桥，因此我以为不该该就某个程序贴个博客，而是在实际算法研究中，将理论描述清晰，再经过工具实现，两个结合。

      废话很少说，最近上台湾大学的ML课程，说到PLA（perception learning algorithm）算法，涉及到ML的一个入门算法，我花了一些时间消化整理，在这里跟你们分享一下，但愿你们再回过头去看台湾大学ML课程的时候，能更加如鱼得水。

算法具体以下：

      PLA是一种可以经过本身学习而不断改进的分类算法，可将二维或者更高维的数据切分红对应不一样的种类（1和-1），假设咱们有n个数据样本，每一个数据样本对应的维度为m，能够表示成以下：

      对于每一个样本，其对应的类别为1或-1，可表示为以下：

      咱们假设一条直线：

      其对应为样本m个维度的系数，这里须要注意的是，咱们的目标是求解出W的值，将对应的两种类别很好地分开，而不是在样本中作回归求偏差最小。

      因此咱们的目标是使下面式子成立：

      其中sign是符号函数，对于全部的正数，返回1，对于全部非正数返回-1.

      能够经过将表示为而化简上市，其中，则有以下：                                                                                                   （1）

      实际过程当中上述等式可能没办法在一开始就成立，因此当等式不成立的时候，咱们须要某种方法来修正过程当中的W参数，下面举个栗子：

      好比咱们计算出来：      是正的，而倒是负的，从某种意义上来讲，W参数是偏大的；而当是负的，而对应的倒是正的，那么W参数是偏小的，那么，咱们该如何调整W参数呢？

能够经过以下：

      这样咱们就能够经过将对应的W参数自主学习调整为愈来愈靠近正确的W。

也许你会问，为何这样经过修改W最后必定会收敛？或者换个说法，为何经过这样不断地变化W参数，最后必定会有一条直线能将样本较好地分开呢？

      下面我会证实上面这个问题，也就是证实PLA算法的收敛性：

      假设存在一条直线能将咱们样本数据很好分类，那么则有：

      该式对应上文式（1），这里我经过向量表示消除符号过多的问题。

      为了证实W会朝着靠拢，咱们能够构造以下式子：

                                                                                                   （2）

其中咱们上文以及假设是正确的分类线，那么意味式（2）中，

则算法在每次迭代修改W时，，那么从向量内积的角度来看，这意味着两个向量愈来愈靠近。

      也许你还会问，两个向量内积愈来愈大，除了角度变小的可能外，还有两个向量愈来愈大的可能？

下面我会证实其实在W参数学习的过程当中其单位长度在不断变小：

其中咱们已经知道和符号相异，那么

则在W自主学习的过程当中，其模愈来愈小，而上述式（2）咱们证实了愈来愈大，那么综合只有当向量和的角度愈来愈小时，式（2）才会成立，因此咱们证实了自主学习，W会朝着愈来愈正确的方向变更（即便有时候这种变更咱们察觉不出）。

      PLA算法在多维度分类效果也比较好，收敛速度很快，这里博主用的是双维度样本，该样本在更新1400屡次后输出了对应的结果，代码质量还有待改进。      

 

下面是算法的实现（R语言）

#加载ggplot2包

library(ggplot2)

library(plyr)

#PLA数据，取R自带数据集iris，确保直线下方数据标签为-1

     pladata <- data.frame(x1=iris[1:100,1],x2=iris[1:100,2],y=c(rep(1,50),rep(-1,50)))

     ggplot(data=pladata,aes(x1,x2,col=factor(y)))+geom_point()     #样本数据展现

#PLA函数,x表示样本数据，y为对应类别，initial为w初始值，delta为相对偏差率

PLA <- function(x,y,initial,delta){

           w <- initial;n <- length(y);

           x <- as.matrix(cbind(x0=rep(1,dim(x)[1L]),x))

           error <- 1

           while(error > delta){

              if(all(sign(x %*% w)==y)){

                   error <- 0

              }else{

                   xnt <- which(sign(x %*% w)!=y)

                   w <- w + x[xnt[1],] * rep(y[xnt[1]],dim(x)[2L])

                   xnt1 <- which(sign(x %*% w)!=y)

                   error <- length(xnt1)/n

              }

       }

             names(w) <- paste("w",0:(dim(x)[2L]-1),sep="");print(w);

}

w <- PLA(x=pladata[,1:2],y=pladata[,3],initial=c(1,0,0),delta=0)

#分类结果展现：

names(w) <- NULL

ggplot(data=pladata,aes(x1,x2,col=factor(y)))+

geom_point()+

geom_abline(aes(intercept=(-w[1]/w[3]),slope=(-w[2]/w[3])))

 

      其中未分类前的散点图以下：

      经过自主学习训练后的结果以下：

C++代码实现

/*<span style="font-family:Times New Roman;"> 

    Author: DreamerMonkey 

    Time : 5/3/2015 

    Title : PLA Algorithm 

*/  

#include<iostream>  

#include<vector>  

using namespace std;  

  

//以二维空间为例，x1 x2为属性  

struct Item{  

    int x0;  

    double x1,x2;  

    int label;  

};  

//权重结构体，w1 w2为属性x1 x2的权重，初始值全设为0  

struct Weight{  

    double w0,w1,w2;//  

}Wit0={0,0,0};  

  

//符号函数，根据向量内积和的特色判断是否应该发放信用卡  

int sign(double x){  

    if(x>0)  

        return 1;  

    else if(x<0)  

        return -1;  

    else return 0;  

}  

//两个向量的内积  

double DotPro(Item item,Weight wight){  

    return item.x0*wight.w0+item.x1*wight.w1+item.x2*wight.w2;  

}  

//更新权重  

Weight UpdateWeight(Item item,Weight weight){  

    Weight newWeight;  

    newWeight.w0=weight.w0+item.x0*item.label;  

    newWeight.w1=weight.w1+item.x1*item.label;  

    newWeight.w2=weight.w2+item.x2*item.label;  

    return newWeight;  

}  

int main(){  

      

    vector<Item> ivec;  

    Item temp;  

    cout<<"Please input Item.x1-Item.x2;"<<endl;  

    while(cin>>temp.x1>>temp.x2>>temp.label){  

        temp.x0=1;  

        ivec.push_back(temp);  

    }  

    Weight wit=Wit0;  

    for(vector<Item>::iterator iter=ivec.begin();iter!=ivec.end();++iter){  

        if((*iter).label!=sign(DotPro(*iter,wit))){  

            wit=UpdateWeight(*iter,wit);  

            iter=ivec.begin();//在从头开始判断，由于更新权重后可能会致使前面的点出故障，须要从头再判断  

        }  

    }  

    //打印结果  

    cout<<wit.w0<<" "<<wit.w1<<" "<<wit.w2<<" "<<endl;</span>  

  

}

matlab代码实现

x_1=[120 185 215 275 310 337];

x_2=[110 125 185 250 130 137];

plot(x_1,x_2,'ob','linewidth',3,'markersize',15); 

hold on;

x1=[55 98 115 110 95 122 70 205 225 ];

y1=[90 178 170 225 270 270 310 345 290 ];

plot(x1,y1,'xr','linewidth',3,'markersize',15)

hold on;

negpoints = [55,90,-1;310,130,1;98,178,-1;115,110,1;115,165,-1;185,125,1;110,225,-1;215,185,1;95,270,-1;275,260,1;122,270,-1;70,310,-1;337,137,1;205,345,-1;225,280,-1]

pospoints = [310,130,-1;115,110,-1;185,125,-1;215,185,-1;275,260,-1;337,137,-1]

weight = [0,300,100]

H_value = 0

sig=true

axis([50 350 50 350])

while sig

    for i=1:1:15

        sig=false

        q = sign(negpoints(i,3))

        h_x_i = sign(weight(1)+weight(2)*negpoints(i,1)+weight(3)*negpoints(i,2))

        if h_x_i == q

            if (i==15 && sig==false )            

               

                x =[50,100,200,250,350]

                y = -(weight(2)/weight(3))*x -( weight(1)/weight(3))

                plot(x,y,'b');           

                hold on;

            else

                continue

            end

        else  

            sig=true

            ew1 = weight(2)

            ew2 = weight(3)

            weight(1)= (weight(1)+ q*1)

            weight(2)= (weight(2)+ q*negpoints(i,1))

            weight(3)= (weight(3)+ q*negpoints(i,2))

           

            x =[50,100,200,250,350]

            x1 =[50,100,200,250,350]

            y1 = (weight(3)/weight(2))*(x1-200) +200

            plot(x1,y1,'b');           

            hold on;

            y = -(weight(2)/weight(3))*x -( weight(1)/weight(3))

            plot(x,y,'r');           

            hold on;

        end

    end  

end