数据结构--2-3树

2-3 查找树(2-3-Search-Tree)

• 2-结点：标准二叉树中的结点称为2-结点（含有一个键和两条连接）。

• 3-结点：包含两个键和三条连接。

定义：一颗2-3查找树或为一棵空树，或由如下结点组成:

  2-结点，含有一个键（及其对应的值）和两条连接，左连接指向的2-3树中的键都小于该结点，右连接指向的2-3树中的键都大于该结点。

  3-结点，含有两个键（及其对应的值）和三条连接，左连接指向的2-3树中的键都小于该结点，中连接指向的2-3树中的键都位于该结点的 两个键之间，右连接指向的2-3树中的键都大于该结点。

2-3 查找树(2-3-Search-Tree) 的操做

一棵完美平衡的2-3查找树中全部空连接到根节点的距离应该都是相同的。

查找

  2-3 查找树中的查找与二分搜索树的查找相似。要判断一个键是否在树中，先将它和根结点中的键比较。若是它和其中任意一个 相等，查找命中。不然，根据比较的结果找到指向相应区间的连接，并在其指向的子树中递归继续查找。若是是个空连接，查找未命中。

在如上图所示的2-3树中查找键为2的结点是否存在，过程以下：

在如上图所示的2-3树中查找键为17的结点是否存在，过程以下：

插入

向2-结点中插入新键

  要在2-3树中插入一个新的结点，相似于二分搜索树的插入，先进行一次未命中的查找，找到要插入的结点所在的位置，将其挂在树的底部。 但这样一来树就没法保证完美平衡性。使用2-3的主要缘由：在插入新的结点以后可以继续保持平衡。

  若是未命中的查找结束于一个2-结点，就将这个2-结点替换为3-结点，将要插入的键保存在其中便可。

  若是未命中的查找结束于一个3-结点，分析过程以下。

向一棵只含有一个3-结点的树中插入新键

  在考虑通常状况以前，先假设咱们须要向一棵只含有一个3-结点的树中插入一个新键。这棵树中有两个键，因此在它惟一的结点中 已经没有可插入新键的空间了。为了将新键插入，先临时将新键存入该结点中，造成一个4-结点(含有3个键和4条链接)。建立一个4-结点很方便， 由于很容易将其转化成为一棵由3个2-结点组成的2-3树，其中一个结点(根)含有中键，一个结点含有3个键中的最小者(和根结点的左连接相连)， 一个结点含有3个键中的最大者(和根结点的右连接相连)。这棵树便是一棵含有3个结点的二叉查找树，同时也是一棵完美平衡的2-3树，由于其中全部的 空连接到跟结点的距离都相等。插入前树的高度是0，插入后树的高度是1。

向一个父结点为2-结点的3-结点中插入新键

  假设未命中的查找结束于一个3-结点，而它的父结点是一个2-结点。在这种状况下须要：在维持树的完美平衡的前提下为新键 腾出空间。 须要像刚才同样构造一个临时的4-结点并将其分解，但此时不会为中键建立一个新结点，而是将其移动到原来的父结点中。

  将此次转换当作将指向原3-结点的一条连接替换为新父结点中的原中键左右两边的两条连接，并分别指向两个新的2-结点。 根据假设，父结点中石油空间的：父结点是一个2-结点，插入以后变成了一个3-结点。另外，此次转换也不影响(完美平衡的)2-3树的 主要性质。树仍然是有序的，由于中键被移到父节点中去了；树仍然是完美平衡的，插入后全部的叶子结点到根结点的距离仍然相同。

上述过程是2-3树动态变化的核心，图示展现以下：

向一个父结点为3-结点的3-结点中插入新键

  假设未命中查找结束于一个父结点为3-结点的3-结点。依旧须要构造一个临时的4-结点并分解它，而后将它的中键插入它的父结点中。因为父结点也是一个3-结点，插入中间后又造成一个新的临时4-结点，而后在这个节点上进行相同的变换，集分解这个父结点并将它的中键插入的它的父结点中去。推广到通常的状况，就是这样一直向上不断分解临时的4-结点并将中键插到更高层的父结点，直到遇到一个2-结点并将它替换为一个不须要继续分解的3-结点，或者是到达3-结点的根。

图示过程以下：

分解根结点

  若是从插入节点到根结点的路径上都是3-结点，根结点最终变成一个临时的4-结点。此时能够按照向一棵只有一个*3-结点的树中插入新键的方法处理这个问题。将临时的4-结点分解为三个2-结点**，树高加1。此次最后的变化仍然保持了树的完美平衡性，由于它变换的是根结点。

图示过程以下：

4-结点的分解

  在2-3树中4-结点出现的位置有以下的几种状况。

• 1.根结点

• 2.父结点为2-结点的左子结点或右子节点

• 3.父节点为3-节点的左子节点、中间的子结点或右子结点

下面咱们来详细看一下在2-3树中出现上述的位置时如何分解。

情形：

当临时的4-节点出如今根节点：

当临时的4-节点出如今2-结点的左侧：

当临时的4-节点出如今2-结点的右侧：

当临时的4-节点出如今3-结点的左侧：

当临时的4-节点出如今3-结点的中间：

当临时的4-节点出如今3-结点的右侧：

上述的状况中，在变化的过程当中，只有当根节点最后为临时的4-节点，此时被分解成为3个2-结点时，整个树的高度才会增长1。除此以外，插入一个结点2-3树的高度仍是原来的高度。上述的变化过程当中：任何空连接到根节点的路径长度都是相等的。

结论

  在一棵大小为N的2-3树中，查找和插入的操做访问的结点必然不会超过lgN。

• 证实：

一棵含有N个结点的2-3树的高度在在log2 N和log3 N之间。

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